9278

100

температура уменьшается при адиабатическом расширении и, наоборот, увеличивается при сжатии.

Характер изменения давления при адиабатическом процессе можно найти,

Это соотношение называется уравнением адиабаты Пуассона.

Работа при адиабатическом расширении газа равна площади под кривой процесса 1-2 (см. рис. 8). Если известны начальная и конечная температуры процесса, то нет необходимости вычислять эту площадь – достаточно

воспользоваться формулой (5.1) и выражением для внутренней энергии идеального газа. Это приведет нас к соотношению:

ад = † x ∙ (t − t!)

[ . (2.25)

§ 6. Второе начало термодинамики

Первое начало термодинамики устанавливает неизменность общего количества энергии в изолированной термодинамической системе и эквивалентность разных видов энергии при их превращениях в термодинамических процессах. Но оно не накладывает никаких ограничений на направление процессов, происходящих в термодинамических системах, не описывает условий, при которых возможно то или иное превращение энергии. Опыт показывает, что направления процессов не равновероятны. Условия, характеризующие возможное направление протекающих в термодинамических

Остановимся на двух из них.

1. Невозможен процесс, единственным конечным результатом которого является передача энергии в форме теплоты от холодного тела к горячему

(формулировка Р. Клаузиуса).

2. Невозможен процесс, единственным результатом которого является отнятие от некоторого тела энергии в форме теплоты и превращение этой энергии в эквивалентную ей работу (формулировка В. Томсона).

Обе формулировки эквивалентны. Действительно, пусть существует процесс, с помощью которого можно было бы повысить температуру одного тела за счет охлаждения другого, при одинаковых начальных температурах обоих тел. Тогда, используя известные процессы, можно было бы превратить полученную разность температур в механическую энергию без каких-либо изменений в состоянии окружающей среды.

Таким образом, если бы могли происходить процессы, запрещенные вторым началом термодинамики, то за счет отбора энергии в форме теплоты, например, от мирового океана, имелся бы практически неисчерпаемый источник механической энергии. Подобное устройство было бы равноценно вечному двигателю. Поэтому

второе начало термодинамики иногда формулируют так: «Невозможен вечный двигатель второго рода».

§ 7. Термодинамическое циклы. Цикл Карно

Циклом, как указывалось ранее, называется такой процесс, в результате которого термодинамическая система возвращается в исходное состояние. Циклы или круговые процессы используются во всех тепловых машинах: двигателях внутреннего сгорания, газотурбинных установках, холодильниках и т.п. Изучение циклов является одной из основных задач термодинамики.

102

Рассмотрим произвольный цикл 1-а-2-b-1, изображенный на рис. 11 . Его можно разбить на два процесса: 1-а-2 - процесс расширения и 2-b-1 - процесс сжатия. На участке 1-а-2 газ получает извне количество теплоты Q1 и в результате совершается работа и изменяется внутренняя энергия газа:

газом, а работа газа – A2 при этом отрицательна. Для того, чтобы суммарная работа газа AΣ, численно равная площади фигуры, ограниченной кривой 1a2b1, при выбранном направлении цикла была положительна (AΣ = A1 - A2 >0), процесс сжатия должен происходить при меньшем давлении и температуре. Это означает, что в ходе процесса сжатия газ необходимо охлаждать, отводя от него тепло другому телу. Другими словами, количество теплоты, полученное газом при сжатии – Q2 -

величина отрицательная (Q2 >0 - теплота, отданная газом). Таким образом,

уравнение первого начала термодинамики для процесса 2-b-1 можно записать в виде:

AΣ = A1 - A2 = Q1 - Q2.

Это равенство выражает первое начало термодинамики для полного цикла.

Оно показывает, во-первых, что работа совершается вследствие превышения теплоты Q1, полученной газом при расширении, над теплотой Q, отданной им при сжатии. Во-вторых, можно сделать вывод, что при циклическом процессе невозможно все полученное от нагревателя тепло превратить в работу -

103

необходимо «поделиться» частью полученного тепла с другим телом,

которое является холодильником.

КПД тепловой машины. Цикл с положительной работой газа называется прямым циклом и лежит в основе всех тепловых двигателей. В них рабочее вещество (газ или пар) получает от нагревателя некоторую теплоту, а отдает холодильнику теплоту Q2. Отношение

(6.1)

показывает, какая доля полученной от нагревателя теплоты превращена в работу и носит название коэффициента полезного действия тепловой

машины. Видим, что эта величина не может быть большей 1.

КПД холодильной машины. Если при круговом процессе газ, расширяясь, совершает работу, меньшую той работы, которую производят внешние силы при его сжатии, т.е. A1 < A2, то такой цикл носит название обратного цикла. Он может происходить, когда расширение газа происходит при более низкой температуре, чем сжатие. Легко видеть, что обход прямого цикла на графике в координатах {p,V} всегда происходит по часовой стрелке, а обратного цикла - против часовой стрелки.

Обратные циклы используются в холодильных установках. В холодильных установках рабочее тело отбирает тепло Q2 у тела с более низкой температурой,

вызывая его охлаждение, и отдает телу с более высокой температурой теплоту Q1

(по аналогии с прямым циклом Q2 < Q1). Этот процесс требует совершения работы внешними силами, AΣ = A2 – A1. Первое начало термодинамики для обратного цикла запишется в виде:

Q2 - Q1 = A1 - A2 < 0.

Поскольку цель холодильника - забрать тепло от охлаждаемого тела, а затраты при этом - совершаемая работа, эффективность холодильника можно

может превышать 1 и называется холодильным коэффициентом.

104

Цикл Карно. В термодинамике особое место занимает цикл, рассмотренный французским инженером Сади Карно в 1824 году. Цикл состоит из четырех обратимых процессов для идеального газа (см. рис. 12). Подразумевается, что имеется нагреватель с температурой T1 и холодильник с температурой T2.

циклами в диапазоне температур между Т1 и Т2, а также не зависит от рода рабочего тела. Действительно, на участке 1-2 тело получает от нагревателя теплоту, которая

вся (без потерь) идет на выполнение работы A1-2 (см. 4.12):

¹ = i! = †[ ~t ∙ ln xx,h.

Значения объема V1 газа в точке 1 и V2 в момент окончания изотермического участка 1-2, как будет видно, не войдут в окончательное выражение для КПД.

Далее газ необходимо подготовить к стадии сжатия. Чтобы работа газа в цикле была положительной, необходимо понизить давление, охладив газ от температуры T1 до T2. Охлаждение осуществляется на участке 2-3 адиабатически.

Этот процесс также оптимален, поскольку на этом участке не происходит потери тепловой энергии (¸¹ = 0), а, кроме того, совершается дополнительная положительная работа A2-3 за счет уменьшения внутренней энергии газа (см.

Таким образом, на стадии расширения газ совершил работу A1=A1-2+A2-3,

получив теплоту Q1.

105

В процессе 3-4 изотермического сжатия газа от объема V3, который газ имел в конце адиабатического расширения, до некоторого объема V4 газ совершает

работу A3-4, получив такое же по величине количество тепла Q3-4:

¹ i• = i• = †[ ~t! ∙ ln xxfÎ.

Поскольку V4 <V3, логарифм в этой формуле, а вместе с ним и величины

Q3-4=A3-4 отрицательны, что означает не получение газом, а передачу тепла

Q2=-Q3-4 холодильнику. Положительная работа также совершается внешними силами. Работа внешних сил на этом участке имеет наименьшее из возможных значение, поскольку газ все время имеет наименьшую температуру T2 (значит, и

наименьшее давление).

Участок 4-1 необходим, чтобы вернуть газ в исходное состояние с температурой T1. Это нагревание в цикле Карно осуществляется также оптимальным образом - адиабатически (без затраты тепловой энергии). При этом работа A4-1 <0,

т.е. совершается над газом внешними силами.

Нетрудно убедиться, что !i = − •i и работа газа на двух адиабатических участках компенсирует друг друга, так же как и изменение внутренней энергии (теплопередача на этих участках отсутствует). Поэтому основу цикла составляют два изотермических процесса, при первом из которых полученная теплота полностью превращается в работу, а второй происходит при наименьшей возможной температуре и давлении и соответствует наименьшей отрицательной работе газа и наименьшей теплоотдаче холодильнику. Эти доводы еще раз подчеркивают оптимальность цикла Карно.

Подставив величины Q1 и Q2 в общую формулу (6.1), вычислим КПД

идеальной тепловой машины Карно:

Ê = yh∙Ï Â,iy,∙Ï Âf Âh Â, ÂÎ yh∙Ï Âh .

Найдем соотношения между объемами V1, V2, V3, V4. Напишем соотношение для адиабатного расширения газа от объема V2 до V3 и для адиабатического сжатия

от объема V4 до V1 (см. формулу 5.4):

t }!Æi = t!}Æi ,

106

t }Æi = t!}•Æi .

Поделим левую часть первого равенства на левую часть второго, а правую часть

первого на правую часть второго:

}Å2−1 = }Åf−1 }Å1−1 }Å4−1.

Это равенство можно упростить:

}}! = }}•,

и с его помощью исключить V2/V1 в выражении для КПД. Это приведет к сокращению одинаковых логарифмических множителей. Окончательно получим:

Этот вывод можно сформулировать так: термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и является только функцией температур нагревателя и холодильника. Это заключение получило название теоремы Карно.

Цикл Карно сыграл большую роль в развитии тепловых двигателей. Соотношение (6.3) показывает путь повышения КПД реальных двигателей: повышение температуры рабочего тела и снижение температуры холодильника. Одновременно можно утверждать, что в рамках заданных температур Т1, Т2 тот цикл будет иметь больший КПД, который ближе к циклу Карно.

Примеры решения задач

Задача 1. В цилиндре под поршнем находится кислород. Определить массу кислорода, если известно, что работа, совершаемая при нагревании газа от 273 К до 473 К, равна 16 кДж. Трение не учитывать.

109

Задачи для самостоятельного решения

1.При нагревании на 359 K некоторый газ массой 3.47 кг совершил работу 144 кДж. Определить молярную массу газа. Что это за газ?

2.Идеальная тепловая машина Карно совершает за один цикл работу А=2,94 кДж и отдает за один цикл холодильнику количество теплоты Q=13,4 кДж. Найти КПД машины.

3.Гелий, находящийся при нормальных условиях, изотермически расширяется от объема 1 л до 2 л. Найти работу, совершённую газом при расширении, и количество теплоты, сообщенное газу.

4.Газ расширяется адиабатически, причем объем его увеличивается вдвое, а термодинамическая температура падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы имеют молекулы этого газа?

5.Определить изменение внутренней энергии гелия, который изобарно расширяется при сообщении ему количества теплоты 15 кДж.

6.Водород массой 7 кг нагрели при постоянном давлении на 200°С. Какова работа расширения газа? Сколько тепла он получит?

7.Воздух находится при начальном давлении 0,4 МПа и имеет начальный объем 200 л. После адиабатного сжатия его объем уменьшился в 4 раза. Найти давление воздуха после сжатия.

8.Идеальный газ совершает цикл Карно, КПД которого равен 40%. Определить работу изотермического сжатия газа, если известно, что работа изотермического расширения составляет 400 Дж.

9.Для нагревания некоторого газа массой 2 кг на 5 К при постоянном давлении требуется количество теплоты 9,1 кДж, а для нагревания на ту же температуру при постоянном объеме – количество теплоты 6,5 кДж. Определить молярную массу газа.

10.Какое количество теплоты нужно сообщить 5 молям кислорода, находящегося при температуре 10˚С, чтобы в ходе изобарного нагревания его объем увеличился втрое?