9278

50

горизонтальном участке дороги, если мощность его двигателя всё время остается постоянной?

6.Под действием постоянной силы вагонетка проходит путь 100 м и приобретает скорость 12 м/с. Определить работу этой силы, если масса вагонетки 200 кг и коэффициент трения качения 0,05.

7.Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы ящик массой 100кг поднять по наклонной плоскости длиной 2м с ускорением 1 м/с2? Уклон плоскости 30°, коэффициент трения 0,1.

8.Определить наименьшую скорость, которую нужно сообщить телу на полюсе Земли, чтобы оно покинуло околоземное пространство. Радиус Земли считать равным

6400 км.

9.Вследствие нецентрального удара бильярдного шара о такой же неподвижный шар, они разлетаются всегда под одним и тем же углом. Определите величину этого угла. Столкновение шаров считать упругим.

10.Шар массой m = 0,6 кг, движущийся со скоростью 20 м/с налетел на покоящийся шар, масса которого в 2 раза меньше. В результате упругого соударения первый шар изменил направление своего движения на 30˚. С какими скоростями будут двигаться шары после удара?

11.Груз массой 2 кг, падающий с высоты 5 м, проникает в мягкий грунт на глубину 5 см. Определить среднюю силу сопротивления грунта.

12.В шар массой 50 г, висящий на невесомой нерастяжимой нити, попадает горизонтально летящая пуля массой 10 г и застревает в нем. Определить количество выделившейся при этом теплоты, если после взаимодействия с пулей шар поднялся на высоту 20 см.

51

Глава 4. Механика твердого тела

§ 1. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

i=1

Вслучае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

Rкоординатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 20). Разобьем

цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним – r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра, 2πrhdr – объем рассматриваемого элементарного цилиндра. Если ρ — плотность материала, то его масса

dm = ρ·2πrhdr и dJ = 2πhρr3dr.

Тогда момент инерции сплошного цилиндра

R

J = dJ = 2πhρ r3dr = 1 2 πhR4 ρ ,

0

но так как πR2h – объем цилиндра, то его масса m=πR2hρ, а момент инерции J = 1 2 mR2 .

52

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции JС относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы тела на

В заключение приведем значения моментов инерции (табл.1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

§ 2. Кинетическая энергия вращения

Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к ним сил деформируются, т. е. тем или иным образом изменяют свою форму. Для упрощения дальнейших рассуждений введем понятие абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких условиях не

53

может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками, или, точнее, между двумя частицами этого тела остается постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси ОО, проходящей через него (рис. 21). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, mn, находящиеся на расстоянии r1, r2, …, rn от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mn опишут окружности различных

Используя выражение (2.1), получим

Из сравнения формулы (2.2) с выражением (2.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Т=mυ2/2), следует, что момент инерции вращательного движения – мера инертности тела. Чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости.

Формула (2.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела (колеса), катящегося по горизонтальной поверхности, энергия движения будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

54

T = mυ2 + Jω2 ,

22

где m — масса катящегося тела, υ — скорость поступательного движения, J — момент инерции тела, ω — скорость вращательного движения.

§ 3. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой-либо силой, то

расстоянии r, α — угол между направлением силы и радиусом вектором. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dφ точка приложения В проходит путь ds=rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину

есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо:

М=Fl.

55

Момент силы – величина векторная. Так как l = r sin α , то вектор

K = L ;M.

Его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и он определяется по правилу правого винта.

Подставляя (3.2) в (3.1), получим, что работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

dA = Mdφ.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA = dT,

но

поэтому

Mdω = Jωdω

или

т. е. момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Уравнение (3.4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

56

§ 4. Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения (моментом импульса) Li отдельной частицы тела массой mi называется произведение расстояния ri от оси вращения до

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц:

n

L= miυi ri . i =1

Так как для вращательного движения υi=ωri, то

т.е.

L = Jω .

Таким образом, момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент количества движения твердого тела — это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящим по часовой стрелке (рис. 23).

0 L

r

m

mv

Продифференцируем уравнение (4.2) по времени:

Уравнение (4.3) – еще одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента количества движения твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил

Выражение (4.4) представляет собой закон сохранения момента количества движения: момент количества движения замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Продемонстрировать сохранение момента количества движения можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в поднятых на уровни плеч руках

58

гири (рис. 24), приведен во вращение с угловой скоростью ω1. Человек обладает некоторым моментом количества движения, который сохраняется. Если он опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость ω2 его вращения. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Примеры решения задач

Задача 1. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массой m1 = 100 г и m2 = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Направим ось OY вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

Под действием моментов силы T1′ и T2′ относительно оси OZ, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение β. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

где β = a / r ; Jz=½mr2 – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.