9278

110

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Существует две формы существования материи – вещество и поле. Вещество – это одна из форм материи, локализованной в пространстве, в

которой можно выделить определенный материальный вещественный объект. Известно, что все материальные объекты взаимодействуют друг с другом.

Векторной характеристикой воздействия материальных тел, как мы знаем из механики, является сила.

Физическое поле – форма материи, обеспечивающая передачу воздействия (силового) от одного объекта к другому. В классической модели «физического поля» предполагается, что оно не имеет границ и непрерывно заполняет все пространство.

Известны 4 фундаментальных физических взаимодействия и соответствующие им поля:

∙гравитационное,

∙электромагнитное,

∙сильное,

∙слабое.

Электромагнитным называется поле, существующее вокруг “заряженных” тел (т.е. имеющих электрический заряд). К электромагнитному взаимодействию относятся, в частности, силы упругости и трения, с которыми наиболее часто приходится иметь дело в обыденной практике.

Глава 9. Электростатика

§ 1. Электрический заряд

Притяжение или отталкивание наэлектризованных тел объясняется существованием электрических зарядов.

Электрическим зарядом называется характеристика материального объекта, определяющая его способность создавать электромагнитное поле и

111

взаимодействовать с электромагнитным полем. Заряженные объекты часто коротко называют просто «зарядами».

Основные свойства электрического заряда:

N

1.Заряд аддитивен, т.е. суммируется Qсум = qi

i=1

2.Заряд сохраняется: Qсум = const , если через границы нет потоков зарядов

(электрического тока).

Это свойство является фундаментальным физическим законом сохранения электрического заряда. Согласно этому закону любые природные процессы не изменяют алгебраическую сумму зарядов, участвующих в них.

3.Заряд инвариантен Q = Inv: результат измерения заряда одинаков в любой инерциальной системе отсчета, включая и движущуюся.

4.Заряд дискретен, т.е.:

1) Имеется минимальный заряд qmin = e (такой по величине заряд имеет электрон) e = 1,6×10-19 Кл.

Есть определенные теоретические предположения, что существуют частицы,

обладающие еще меньшим зарядом и называемые кварками. У них qmin = 1 e . 3

2) Любой заряд кратен элементарному Q = N×e, где N = ±1, ±2, ±3, … 5.Наличие зарядов двух “сортов” (положительного и отрицательного).

§ 2. Закон Кулона

Простейшей и наиболее широко применяемой моделью является точечный заряд. Точечный заряд – есть материальная точка, имеющая электрический заряд. Эта модель применяется для описания реальных заряженных объектов, размерами которых можно пренебречь в условиях данной задачи.

Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов Q1 и Q2 называется силой Кулона, а формула для этой силы – законом Кулона (он был получен экспериментально и в классической физике рассматривается как постулат):

112

F = | Q1 | ×| Q2 | , 4πεε0r2

где ε0 – диэлектрическая (электрическая) постоянная, равная 8.85×10-12 Ф/м, r –

расстояние между зарядами, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в среде меньше, чем в вакууме.

Сила направлена по прямой, соединяющей заряды и для одноименных зарядов является силой отталкивания (рис.1).

Рис.1. Взаимодействие точечных зарядов

Для указания направления силы Кулона удобно использовать er единичный вектор,

§ 3. Электростатическое поле

Электростатическое взаимодействие передается на расстояние. Это объясняется наличием электростатического поля (ЭСП).

Электростатическим называется поле, создаваемое неподвижными зарядами и действующее на неподвижные заряды. Источниками ЭСП являются заряды (заряженные частицы). Обозначим QИСТ – точечный заряд – источник поля.

113

Электростатическое поле, создаваемое зарядом QИСТ, воздействует на другие заряды, помещенные в это поле. Для изучения электростатического поля от QИСТ в поле вводят, так называемый, пробный заряд QПР. Пробный заряд – это всегда единичные положительный заряд. Электрическая сила, действующая на пробный заряд со стороны электростатического поля, оказывается прямо пропорциональна величине этого заряда:

FЭЛ = EИСТ × QПР ,

Коэффициент пропорциональности EИСТ есть характеристика поля, называемая

напряженностью электрического поля и равная отношению силы, действующей на заряд, к величине (алгебраической) этого заряда:

R = FЭЛ .

EИСТ

QПР

Напряженность характеризует интенсивность поля, то есть величину силы, с которой поле будет действовать на помещенный в него заряд. Для точечного заряда

R

электрическая сила FЭЛ определяется по закону Кулона, тогда напряженность Е поля точечного заряда будет равна:

Электростатическое поле удовлетворяет принципу суперпозиции: напряженность суммарного поля, создаваемого в данной точке А системой точечных зарядов, равна сумме векторов напряженности полей, созданных каждым точечным зарядом системы (рис.2).

Рис.2. Принцип суперпозиции напряженности электрического поля точечных зарядов

114

Математическая запись принципа суперпозиции для электростатического

поля:

UUUUR N UUR

Есум = Еi i=1

Удобным графическим изображением поля являются линии поля или силовые линии. Линия поля – есть геометрическое место точек, в каждой из которых вектор напряженности направлен по касательной к линии поля.

Линии электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Расстояние между соседними силовыми линиями или их «густота» расположения в пространстве показывает величину напряженности поля в данной окрестности. Обычно уславливаются проводить силовые линии с такой густотой, чтобы число их,

пересекающих площадку площадью 1 м2 , расположенную перпендикулярно линиям поля, равнялось напряженность поля Е.

§ 4. Поток вектора напряженности E

Следующая очень важная дополнительная характеристика электрического поля получила название «поток». Сначала рассмотрим «элементарный поток». Элементарным потоком вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку ds называется скалярное произведение вектора E на вектор элемента площади ds (Рис.3):

dФЕ = E ×ds ,

где элемент площади ds равен произведению нормали к поверхности на величину площади ds = n × ds .

Таким образом,

dФЕ = E ×ds = E ×n ×ds = En ds = E ×ds ×cosα ,

где En – произведение вектора E на нормаль n к данной площадке.

115

Рис.3. Элементарный поток вектора напряженности электрического поля

Элементарной площадкой называется часть поверхности настолько малая, что

по всей этой площадке можно считать, что (не меняется по величине и по направлению).

Если проводить силовые линии с определенной ранее густотой, то поток вектора E через площадку будет численно равен числу силовых линий, протыкающих данную площадку. При этом силовые линии, протыкающие площадку в направлении нормали учитываются со знаком плюс, а против нормали – со знаком минус.

§ 5. Теорема Гаусса и ее применение для расчета электростатических полей

Теорема Гаусса - является одним из фундаментальных законов электродинамики, входящих в систему уравнений Максвелла. Теорема Гаусса определяет поток вектора напряжённости электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность:

Поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность S пропорционален суммарному заряду qi, находящемуся внутри объема V(S), ограниченного данной поверхностью S:

Таким образом справедливость теоремы Гаусса для точечного заряда и сферической поверхности нами доказана. Это доказательство можно обобщить и для любой системы зарядов и любой замкнутой поверхности.

Теорема Гаусса позволяет определить напряженность электростатического поля любого пространственно – распределенного заряда. В общем случае для этого потребуется использование специальных математических методов решения. Однако для симметричных распределений зарядов удается определить напряженность поля элементарными методами.

В качестве примера определим напряженность поля бесконечной, равномерно заряженной плоскости. Плоскость характеризуется поверхностной плотностью заряда σ (заряд, приходящийся на единицу поверхности).

а) б) в) Рис. 5. Напряженность электрического поля

от бесконечной заряженной плоскости

Схема применения закона Гаусса для вычисления напряженности поля:

∙В случае бесконечной плоскости нетрудно догадаться, что вектор E должен быть

перпендикулярным плоскости. Действительно, на Рис.5а изображено суммарное поле двух точечных зарядов плоскости, расположенных симметрично относительно точки наблюдения. Как видим вектор E1+2 перпендикулярен плоскости. В случае бесконечной плоскости для каждого точечного заряда найдется симметричный. Поэтому, суммируя поля точечных зарядов плоскости

118

симметричными парами, в результате также получим поле, перпендикулярное плоскости (Рис.5б).

∙Выбираем замкнутую поверхность S0 в виде прямого цилиндра пересекающего нашу плоскость в направлении нормали. Такая поверхность удобна для вычисления потока, поскольку через боковую поверхность поток вектора напряженности равен нулю и отличен от нуля лишь через два основания, площадью S, каждое. Вычисляем (исходя из определения потока).

FS = 2 × E × S .

·Вычисляем суммарный заряд qi в объеме, ограниченном поверхностью. На рис.5в это заряд заштрихованной части плоскости, площадью S. Поэтому Q = σ × S

.

·Подставляем поток и заряд в теорему Гаусса:

2 × E × S = σεε× S .

0

Из полученного соотношения находим напряженность поля:

E = σ .

2εε0 Видим, что поле не зависит от расстояния до плоскости, т.е. является однородным.

§ 6. Потенциал

Напряженность – векторная характеристика электрического поля. Потенциал – дополнительная скалярная характеристика поля. Такую характеристику можно вводить только для потенциальных полей (полей, у которых работа сил поля по перемещению объекта по замкнутой траектории равна нулю, т.е. не зависит от формы пути, по которому произошло перемещение, а зависит только от координат начальной точки 1 и конечной точки 2).

Потенциалом φ называется скалярная характеристика поля, численно равная работе сил поля по перемещению пробного заряда из данной точки пространства, имеющей радиус-вектор r в другую заранее выбранную точку, имеющую радиус-

119

R

вектор r0 , в которой потенциал принимается за ноль. В некоторых случаях r → ∞ .

Элементарная работа сил электрического поля имеет вид (используем сведения, полученные в механике):

R

r0 UR R

ϕ= R Ed r .

r

Мы получили уравнение связи дополнительной характеристики – потенциала с основной характеристикой – напряженностью.

Получим уравнение обратной связи, т.е. выразим напряженность поля Ñ через

потенциал j. Используем для этого выражение для ϕ = × R и получим, что модуль

d E dr

напряженности поля равен производной от потенциала по координатам:

UR = dϕ E .

dr

Таким образом напряженность показывает быстроту изменения потенциала в пространстве. Однако остается вопрос о направлении поля в пространстве.

переменных ϕ(x,y,z).

Производные от функции нескольких переменных называются частными производными. Для потенциала: