9278
.pdf150
§ 2. Принцип суперпозиции для магнитного поля
Если в пространстве есть магнитное поле с индукцией В1 (создаваемое, например постоянным магнитом), то сила, действующая на кокой – либо проводник с током будет определяться законом Ампера. Если поднести к проводнику второй магнит,
создающий поле В2 , то магнитная сила, действующая на проводник изменится.
Поскольку проводник и ток в нем остались прежними, следовательно, изменилось магнитное поле в месте расположения проводника. На опыте можно установить, что сила действия двух магнитов F1+2 равна векторной сумме сил F1 и F2 , с которыми действует на элемент тока каждый из магнитов. Используя закон Ампера и свойства векторного произведения это можно записать в виде:
F1+2 = F1 + F2 = [Il × B1 ] + [Il × B2 ] = [Il × (B1 + B2 )] .
С другой стороны, поскольку сила Ампера определяется вектором магнитной индукции B1+2 , имеющимся в пространстве, можно записать:
F1+2 = [Il × B1+2 ].
Сравнивая два последних выражения приходим к выводу, что суммарный вектор магнитной индукции равен векторной сумме индукции магнитных полей, создаваемых каждым магнитом в отсутствии другого:
B1+2 = B1 + B2 .
Сказанное справедливо не только для двух источников магнитных полей, но и для произвольного их числа. Принцип суперпозиции говорит о независимом наложении магнитных полей.
§ 3. Закон Био-Савара-Лапласа
На опыте наблюдается не только взаимодействие между постоянным магнитом и проводником с током, но и между двумя проводниками с током в отсутствие магнита. Можно объяснить наличие силы, действующей на первый проводник тем, что другой
151
проводник с током окружен своим собственным магнитным полем, которое действует на первый проводник по закону Ампера. Таким образом можно сделать вывод, что вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле. Определить индукцию магнитного поля проводника с током можно при помощи закона Био – Савара – Лапласа, являющегося обобщением опытных фактов.
Удобно сформулировать закон генерации магнитного поля для бесконечно малого элемента тока (длиной dl). Тогда, в соответствие с принципом суперпозиции, индукция любого проводника с током может быть найдена в любой точке наблюдения как векторная сумма полей, создаваемых всеми элементами тока, из которых состоит проводник.
На рис.1 изображен элемент прямого тока. Вектор r соединяет элемент тока и точку наблюдения. Индукцию магнитного поля, создаваемую бесконечно малым элементом тока в точке наблюдения обозначим как dB .
Рис.1.
dB – элементарное магнитное поле, создаваемое элементарным отрезком провода с током I. Закон Био – Савара – Лапласа в векторной форме можно записать в виде (используется система СИ):
R = μμ0 I [ R; R].
dB 4pr 3 dl r
В данной форме закон определяет и величину и направление магнитного поля. Видим, что магнитное поле пропорционально величине элемента тока и направлено
перпендикулярно и элементу тока и вектору R . Здесь μ - магнитная постоянная,
r 0
равная 4π ×10−7 Тл×м/А. Величина μ учитывает влияние среды, в которой возникает магнитное и называется относительной магнитной проницаемостью. μ
показывает во сколько раз в данной среде индукция магнитного поля больше, чем
152
было бы при тех же условиях в вакууме.
Для модуля индукции магнитного поля можно записать следующую формулу:
dB = μμ0 I × dl × sinα 4πr 2 ,
где a - угол между векторами R и . Видим, что магнитное поле убывает обратно r dl
пропорционально квадрату расстояния до точки наблюдения и существенно зависит от направления на точку наблюдения. В частности, электрический ток не создает магнитного поля в точках, лежащих на прямой, совпадающей с направлением тока
(a=0).
Кроме индукции для описания магнитного поля используют напряженность магнитного поля H, в изотропной среде связанную с индукцией по формуле:
B = μμ0 H .
На напряженность магнитного поля не оказывает влияния окружающая среда. Она определяется только макроскопическими токами.
Магнитное поле в центре кругового витка с током
Применим закон Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля в центре кругового тока. Пусть радиус витка равен R, а сила тока, текущего по нему – I. Разделим виток на большое число N кусков. При очень большом числе N каждый элемент тока практически совпадает с направлением касательной к окружности.
R
Проведем из каждого элемента тока, с номером i радиус вектор ri в точку наблюдения
(в центр окружности). Очевидно, что все радиусы перпендикулярны направлению тока в соответствующем элементе (αi =π / 2). Нетрудно убедиться, что все элементы тока создают одинаково направленное магнитное поле в центре витка – перпендикулярное плоскости витка. В этом случае модуль результирующего магнитного поля можно найти как сумму модулей полей, создаваемых каждым витком:
B = dBi |
= μμ02 I × dli = μμ0 I2 |
× dli = μμ0 I2 × 2π R = μμ0 I |
, |
|||||
N |
N |
|
|
|
N |
|
|
|
i =1 |
i =1 |
4πr |
|
4π R |
i =1 |
4π R |
2R |
|
i |
|
|
|
|
|
|||
где учтено, во-первых, что расстояния от всех элементов тока до точки наблюдения равны радиусу кольца и, во-вторых, что сумма длин всех элементов тока, на которые
153
мы разбили кольцо равна длине окружности. При выводе этой формулы мы избегали интегрирования. Однако в других случаях расчета полей с использованием закона Био – Савара – Лапласа, интегрирование является необходимым математическим аппаратом.
Магнитное поле прямого тока
Воспользуемся законом Био – Савара – Лапласа для вычисления магнитного поля, созданного прямым проводом с током (рис.2). Пусть точка наблюдения удалена от провода на расстояние R. Основные величины, входящие в закон представлены на рис.2 (Т.Н. – точка наблюдения):
Рис.2.
Поскольку все векторы dB параллельны, то модуль вектора суммарной индукции
будет равен |
|
R |
|
= |
|
R |
|
. Для разных элементов тока будет разным угол a, который |
|
|
|
|
|||||
|
B |
|
|
dB |
|
удобно выбрать в качестве переменной интегрирования, а расстояния от элементов тока до точки наблюдения выразить через переменную интегрирования.
Найдем выражение для |
dL. |
Из |
треугольника: |
L |
= ctgα , т.е. L = Rctgα . |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
Дифференцируем по переменной α: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dL |
= R × |
|
1 |
dL = R × |
|
dα |
. |
|||||
|
|
sin2 α |
|
|
|||||||||
|
dα |
|
|
|
|
sin2 α |
|
|
|||||
Далее выражаем r через α: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
R |
= sinα r = |
R |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|
sinα |
|
|
|||||
Подставляем все в формулу для индукции B и замечаем, что для бесконечного
провода угол α может |
|
|
|
154 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
принимать |
|
значения от −π / 2 до + π / 2 : |
||||||||||||||
π |
μμ |
|
|
sin2 α |
|
|
|
|
|
μμ |
|
π |
μμ |
|
|
||
2 |
I |
|
|
1 |
|
|
I |
2 |
I |
|
|||||||
B = 2 × |
0 |
|
× |
|
|
|
×sin α × R × |
|
|
|
dα = |
0 |
|
sin αdα = |
0 |
|
. |
4π |
|
|
R |
2 |
sin |
2 |
α |
2π R |
2π R |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или, окончательно формула магнитного поля прямого провода с током имеет вид:
B = μμ0 I .
2πR
Интересно, что при равенстве токов, магнитное поле на расстоянии R от бесконечного провода с током в π раз меньше, чем в центре витка такого же радиуса. Это связано с тем, что вклад в полное магнитное поле удаленных элементов тока провода быстро убывает с расстоянием до точки наблюдения, а у витка все элементы вносят одинаковый вклад.
§ 4. Линии индукции магнитного поля. Циркуляция
Для наглядного графического изображения магнитного поля так же, как в случае электрического поля, используют линии индукции магнитного поля. Линия индукции
магнитного поля (силовая линия) это линия, касательная в которой в данной точке
совпадает с направлением вектора В.
Найдем направление вектора индукции магнитного поля прямого провода с током в разных точках пространства (рис.3).
Рис.3. Силовые линии магнитного поля прямого провода с током
155
Вектор индукции во всех точках окружности радиуса R одинаков по величине и направлен по касательной. Следовательно, линия индукции прямого провода с током есть окружность с центром на оси провода. Принимая во внимание закон Био – Савара – Лапласа, можно сделать вывод, что линии индукции магнитного поля всегда замкнуты. Так обстоит дело с силовыми линиями элемента тока, которые вблизи от элемента похожи на линии бесконечного прямого тока. Для проводника произвольной формы такая форма линий сохраняется вблизи от провода, где наибольший вклад в поле дает ближайший к точке наблюдения элемент тока.
Замкнутый характер силовых линий магнитного поля принципиально отличает их от аналогичных линий электростатического поля. Это проявляется при вычислении циркуляции поля. Циркуляцией СВ вектораВпо замкнутому контуру L
называется интеграл вида:
CB = B ×dL .
L
Для напряженности электрического поля циркуляция определяется аналогичным выражением:
CE = Е × dL
L
и представляет собой работу электрических сил по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру L. Ясно, что поскольку электростатическое поле потенциально, CЕ ≡ 0. В том случае, если циркуляция равна нулю поле называют безвихревым или потенциальным. Если циркуляция отлична от нуля, поле имеет вихревой характер. Таким образом можно сказать, что электростатическое поле – безвихревое.
Вычислим циркуляцию магнитного поля прямого провода с током, равным I. В качестве контура L выберем одну линию индукции магнитного поля (окружность радиуса R, изображенную на рис.4).
Рис.4.
156
Т.к. вектора коллинеарны, то B × dL = B × dL . Тогда
C = B × dL = B × dL = μμ0 I |
dL = μμ0 I |
dL = μμ0 I × 2π R = μμ I . |
||||||
|
|
R |
R |
|
2π R |
2π R |
2π R |
|
OB |
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
|
|
L |
L |
L |
|
|
Таким образом мы получили, что циркуляция магнитного прямого провода с током по замкнутому контуру пропорциональна току.
Замечание: Мы убедились, что COB = μμ0I в одном частном случае, однако можно убедиться, что этот закон справедлив всегда. Только справа должен стоять
суммарный ток, пронизывающий площадь S(L), ограниченную контуром L:
æç = mßсум,
где Iсум – сумма токов, которые пронизывают поверхность S (L), ограниченную контуром L (рис.5).
Рис.5.
Закон (теорема) о циркуляции магнитного поля: циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру пропорциональна величине суммарного тока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром.
Используя плотность тока j этот закон можно записать так:
|
R |
= μ0 |
|
R |
R |
Bdl |
j |
×ds . |
|||
L |
|
|
S (L ) |
|
|
Это соотношение может быть использовано вместо закона Био – Савара – Лапласа для расчета магнитного поля по заданному распределению токов. Если к токам проводимости добавить токи смещения, имеющие место при переменных во времени электрических полях, то полученное соотношение будет представлять собой одно из системы уравнений Максвелла, позволяющей рассчитывать электромагнитные поля
157
во всех ситуациях.
Воспользуемся законом о циркуляции для вычисления индукции магнитного
поля внутри длинного соленоида – цилиндрической катушки, на поверхности
которой намотан провод (в изоляции), по которому пропущен ток. В случае длинного соленоида можно пренебречь влиянием его торцов. Магнитное поле соленоида представляет собой сумму полей всех его витков и поэтому направлено вдоль оси (рис.6).
Рис.6. Магнитное поле соленоида
Исследуем замкнутый контур 1-2-3-4 на рис.6.
2 R R
На участке 1-2 B || dL поэтому B × dL = BL12.
1
Участок 3-4 на бесконечном расстоянии от соленоида так, что B = 0.
На участках 2-3 и 4-1 B ^ dL , следовательно, их скалярное произведение равно 0. Окончательно:
Далее в соответствии с законом о циркуляции, находим суммарный ток, пронизывающий площадку S(L), ограниченную контуром интегрирования. Замечаем, что каждый виток соленоида, расположенный на отрезке L12 пронизывает этот контур. Таких витков будет N штук, следовательно суммарный ток в N раз больше, чем I, т.е.
Iсум = I × N .
Подставляя все в закон циркуляции COB = μμ0 Iсум , получим:
B × L12 = μμ0 IN ,
откуда выразим индукцию магнитного поля:
B = μμ0 IN .
L12
Магнитное поле соленоида определяется произведением тока на число витков, т.е.
|
|
|
|
158 |
|
числом |
ампер-витков. |
Удобно |
использовать также количество витков |
||
на единицу длины n = |
N |
. В этом случае N |
= n × L и для индукции магнитного поля |
||
|
|||||
|
|
L12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||
длинного соленоида получим:
B = μμ0 nI
Реальные соленоиды имеют конечную длину, поэтому данная формула справедлива вблизи центральной части соленоида, а при приближении к его концам поле уменьшается. Нетрудно убедиться, что поле в торцевой части соленоида в два раза меньше, чем в центральной части, поскольку витки расположены только с одной стороны от точки наблюдения.
§ 5. Взаимодействие параллельных токов
Пусть имеется два параллельных проводника, длиной L1 и L2 , расположенных на расстоянии R друг от друга (рис.7). Если по проводникам текут токи I1 и I 2 , то проводники взаимодействуют через создаваемое ими магнитное поле. Сила F12
действующая на первый проводник со стороны второго может быть найдена по закону Ампера:
F12 =[L1 I1 ; B2 ],
где B2 - магнитное поле второго проводника в точках расположения первого
проводника: B2 = |
μμ0 I 2 |
2πR . |
Рис.7. Взаимодействие двух прямых проводников с токами
159
Это поле перпендикулярно первому проводнику и обуславливает силу притяжения F12 = L1 I1 B2 , если токи в проводниках одного направления и силу отталкивания в случае токов противоположного направления. Объединяя две последние формулы для модуля силы получим выражение:
F = μμ0 I1I2 × L . |
||
12 |
2πR |
1 |
|
||
Аналогично можно вычислить силу F21 |
действия первого проводника на второй. Мы |
|
предлагаем Вам повторить аналогичные рассуждения в качестве упражнения. Однако симметрия задачи позволяет сразу записать выражение для величины этой силы. Действительно, поскольку проводники полностью равноправны, то при замене их местами нужно просто изменить их номера. Таким образом в полученном выражении можно произвести замену индексов 1→2, 2→1, в результате получим:
F = μμ0 I1 I 2 × L . |
||
21 |
2πR |
2 |
|
||
При этом сила, действующая на единицу длины проводника одинакова для обоих проводников:
F12 = F21 = μμ0 I1 I2 .
L1 L2 2πR
Полученная формула в системе единиц СИ положена в основу определения единицы силы тока Ампер (А), которая является основной среди электрических единиц.
Согласно полученной формуле, если I1=I2=1 А, R=1 м, то в вакууме сила,
действующая на единицу длины проводника будет равна 2 ×10−7 Н. Поэтому можно сказать, что один Ампер, это сила такого тока, который, протекая по каждому из двух параллельных длинных проводников, вызывает действие силы 2 ×10−7 Н, на единицу длины проводника.
§ 6. Рамка с током в магнитном поле. Магнитный момент
Предположим имеется прямоугольная рамка из проволоки, которая может вращаться относительно вертикальной оси, лежащей в плоскости рамки, а однородное магнитное поле - горизонтально. Если по рамке пропускать ток I, на проводники