9789

Итак, получаем время обслуживания первых двадцати клиентов, подходящих к кассе.

Среднюю длину очереди вычислим как среднее арифметическое длины

Задача 3. Вводится дополнительное условие о том, что если три покупа-

теля уже стоят в очереди в ожидании обслуживания, то следующий покупа-

тель направляется к другой кассе. Смоделируйте ситуацию, как в задаче 2, и

определите среднее время ожидания и среднюю длину очереди за указанный отрезок времени.

Решение. Воспользуемся таблицей, полученной в задаче 2. Для первых семи человек таблица не изменится. Но когда подходит восьмой покупатель, в очереди уже стоят 3 человека, поэтому он перейдет к кассе №2. Для таких покупателей оставим пустые места в колонках начала и конец обслуживания. Исправим таблицу с учетом этого требования.

111

Среднюю длину очереди вычислим как среднее арифметическое длины очереди для каждого покупателя, который не отходит к другой кассе. Таких по-

лучилось 16 человек. l li 15 0,94

16 16

Среднее время ожидания: t ti 39 2,44 .

16 16

Как и следовало ожидать, среднее время ожидания и средняя длинна оче-

1) При условии наличия только одного сотрудника, обслуживающего покупателей, смоделируйте прибытие 25 клиентов, исходя из следующей ин-

формации:

а) Каждый покупатель тратит в среднем 15 ф. ст.

б) Если очередь более 2-х человек, то покупатель уходит из магазина,

не дожидаясь обслуживания.

в) Определено, что каждый покупатель, уходящий, не дожидаясь об-

служивания, обходится компании в 30 ф. ст. потерянных требований и пре-

стижа.

С помощью моделирования определите:

а) Среднюю длину очереди.

б) Число ушедших покупателей.

в) Общий дневной доход (при условии, что магазин открыт в течение

10 часов в день).

г) Общий чистый доход (рассчитывается как доход минус расходы,

связанные с потерей «гудвила».

Решение.

Имеется только один сотрудник, обслуживающий клиентов. Интенсив-

ность прихода покупателей определим по таблице случайных чисел.

Скорость обслуживания определяется по следующей таблице.

Смоделируем подход 25 клиентов. Получаем таблицу.

113

Таким образом, получили, что уйдут, не дождавшись очереди, 10 человек.

Будут обслужены 15 человек, за время – 92 минуты.

Средняя длина очереди равна: l li 20 1,33 .

15 15

Доход за 92 минуты составит:15 клиентов х 15 ф. ст. = 225 ф. ст.

Таким образом, доход магазина за 10 часов работы составит

D 225ф.ст. 92мин. 10час 3450 ф. ст. 60мин.

Потеря «гудвила» составит R 30ф.ст. 10чел. 92мин. 10час. 4600ф.ст.

60мин.

Общий чистый доход равен: D R 3450 4600 1150 ф.ст.

Можно сделать вывод о необходимости введения дополнительного работ-

ника.

114

Задачи для раздела 7. Моделирование непрерывных процессов при

помощи разностных уравнений.

Задача 1.

Пусть требуется найти на протяжении года значения величины, динамика которой описывается уравнением

где t – время в годах, значения a известны для первых шести месяцев пе-

риода, и равны 0,5; 0,8; 0,9; 0,9; 1,0 и 0,9 на начало месяцев, а значения b пред-

ставляют собой случайную величину, распределенную на промежутке [0;1]

квадратично. Предполагается, что динамика величины a может быть описана полиномом второго порядка. Начальное значение x равно 0.

Для проведения расчетов запустите Microsoft Excel и создайте новую кни-

гу.

Поскольку в уравнении (1.1) время задано в годах, а значения a известны с интервалом в месяц, выберем шаг по времени равным 1 месяц и будем считать время в месяцах. При этом уравнение (1.1) видоизменится следующим образом:

Начнем с моделирования динамики a. Отведем первую строку под значе-

ния времени. Озаглавим первую строку «Время», в ячейку B1 поместим 0, а в

C1 – значение 1. Теперь выделим B1 и C1, и «протянем» их до ячейки N1 вклю-

чительно. Вторую строку озаглавим a и внесем в нее известные значения этого параметра. Теперь построим по диапазону ячеек B2:G2 график любого вида,

вызовем контекстное меню (щелкнув правой кнопкой мыши непосредственно по графику) и выберем «Добавить линию тренда».

115

В открывшемся диалоговом окне выберем полином 2-й степени, а на вкладке «Параметры» установим флажки «показывать уравнение на диаграм-

ме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации». Мы получили предполагаемую зависимость параметра a от времени. Следует иметь в виду, что в данном случае существенно, что значения времени выражались последовательными натуральными числами.

Перенесем эту формулу в ячейку H2, беря в качестве переменной ячейку

H1. После этого «протянем» ячейку H2 вправо до N2 включительно, и получим предполагаемые значения параметра a для всех остальных месяцев. Теперь по-

строенную ранее диаграмму можно удалить.

Перейдем к параметру b. По условию, он представляет собой значения случайной величины, распределенной квадратично, то есть функция плотности

116

вероятности вида p(x) C1x2 . Находим ее первообразную, то есть функцию рас-

пределения F (x) C31 x3 C2 . Из условий F(0) 0 и F(1) 1 находим константы и

получаем F(x) x3 . Таким образом, значения b находим по формуле b 3R . Для генерации случайных чисел R используем встроенную функцию Microsoft Excel

СЛЧИС. Соответствующую формулу (СЛЧИС())^(1/3) поместим в ячейку B3 и «протянем» эту ячейку вправо до N3 включительно. Строка 3 будет заполнена случайной величиной с требуемым законом распределения.

Теперь рассчитаем динамику величины x. Принимая во внимание то, что мы перешли к измерению времени в месяцах, положим h=1. Запишем (1.2) в

значения t, a и b находятся в ячейках B1, B2 и B3) в ячейку B4, в ячейку B5 по-

местим начальное значение x, а в ячейку C5 – сумму B4 и B5. Следует обратить внимание, что ни одна ссылка на ячейку в этих формулах не фиксируется!

Теперь, осуществив «протяжку» ячеек B4 и C5 до M4 и N5 включительно,

мы получим в строке 5 ряд значений, соответствующих рекуррентной формуле

(1.3), представляющих собой динамику величины x.

Задание 2. Модель «Эффективность рекламы».

Предположим, что торговыми учреждениями реализуется продукция В, о

которой в момент времени t из числа потенциальных покупателей N знают лишь x покупателей. Предположим далее, что для ускорения сбыта продукции В, были даны рекламные объявления по радио и телевидению. Последующая

117

информация о продукции распространяется среди покупателей посредством общения друг с другом. С большой степенью достоверности можно считать,

что после рекламных объявлений скорость изменения числа знающих о про-

дукции В 1пропорциональна как числу знающих о товаре покупателей, так и числу покупателей, о нем еще не знающих.

Если условится, что время отсчитывается после рекламных объявлений,

когда о товаре узнало n человек, то приходим к дифференциальному уравнению

dxdt k x(N x) , с начальным условием x(0)=n.

Запишем это уравнение в виде:

x(t) x(t) x ,x kx(N x) t

Для следующих значений параметров: N=100, k=0,4, x(0)=4, t 0,01 (1/100

часть года) рассчитайте динамику величины x и постройте график зависимости

х от t. Через какое время все потенциальные покупатели узнают о существова-

нии товара В?

Изменяя начальные значения параметров модели, рассмотрите разные ва-

рианты и сравните их между собой.

4. Методические указания по организации самостоятельной работы

4.1 Общие рекомендации для самостоятельной работы

Самостоятельная работа студентов является основным способом

овладения учебным материалом в свободное от обязательных учебных занятий

время.

Целями самостоятельной работы студентов являются:

-систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

-углубление и расширение теоретических знаний;

- формирование умений использовать нормативную, правовую,

118

справочную документацию и специальную литературу;

-развитие познавательных способностей и активности студентов:

-формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Запланированная в учебном плане самостоятельная работа студента рассматривается как связанная либо с конкретной темой изучаемой дисциплины, либо с подготовкой к курсовой, дипломной работе, а также к защите ВКР. В данном разделе рассматривается только самостоятельная работа первого вида.

Самостоятельная работа выполняется в два этапа: планирование и реализация.

Планирование самостоятельной работы включает:

-уяснение задания на самостоятельную работу;

-подбор рекомендованной литературы;

-составление плана работы, в котором определяются основные пункты предстоящей подготовки.

Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в работе.

На втором этапе реализуется составленный план. Реализация включает в себя:

-изучение рекомендованной литературы;

-составление плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу);

-взаимное обсуждение материала.

Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал. Оставшийся восполняется в процессе самостоятельной работы. В

связи с этим работа с рекомендованной литературой обязательна.

Работа с литературой и иными источниками информации включает в себя две группы приемов: техническую, имеющую библиографическую направленность, и содержательную. Первая группа – уяснение потребностей в

119

литературе; получение литературы; просмотр литературы на уровне общей,

первичной оценки; анализ надежности публикаций как источника информации,

их относимости и степени полезности. Вторая – подробное изучение и извлечение необходимой информации.

Для поиска необходимой литературы можно использовать следующие способы:

-поиск через систематический каталог в библиотеке;

-просмотр специальных периодических изданий;

-использование материалов, размещенных в сети Интернет.

Для того, чтобы не возникало трудностей понимания текстов учебника,

монографий, научных статей, следует учитывать, что учебник и учебное пособие предназначены для студентов и магистрантов, а монографии и статьи ориентированы на исследователя. Монографии дают обширное описание проблемы, содержат в себе справочную информацию и отражают полемику по тем или иным дискуссионным вопросам. Статья в журнале кратко излагает позицию автора или его конкретные достижении в исследовании какой-либо научной проблемы.

В процессе взаимного обсуждения материала закрепляются знания, а также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний,

развивается речь.

При необходимости студенту следует обращаться за консультацией к преподавателю.

Составление записей или конспектов позволяет составить сжатое представление по изучаемым вопросам. Записи имеют первостепенное значение для самостоятельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого материала, выделить основные положения, проследить их логику.

Ведение записей способствует превращению чтения в активный процесс. У

студента, систематически ведущего записи, создается свой индивидуальный

120