9789

Задача 9. Распределение рекламного бюджета

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств:

телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов,

которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к уве-

личению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затра-

ченную на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:

a)полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е.;

b)следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более

20% бюджета на афиши;

c)вследствие привлекательности для подростков радио на него следует

расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телеви-

дение.

Сформулируйте задачу распределения средств по различным источникам как задачу линейного программирования и решите ее.

Задача 10. Оптимизация инвестиционного портфеля

Частный инвестор предполагает вложить 500 тыс. руб. в различные цен-

ные бумаги (см. таблицу.).

После консультаций со специалистами фондового рынка он отобрал 3 ти-

па акций и 2 типа государственных облигаций. Часть денег предполагается по-

ложить на срочный вклад в банк.

Имея в виду качественные соображения диверсификации портфеля и неформализуемые личные предпочтения, инвестор выдвигает следующие

131

требования к портфелю ценных бумаг:

все 500 тыс. руб. должны быть инвестированы;

по крайней мере 100 тыс. руб. должны быть на срочном вкладе в банке.

по крайней мере 25% средств, инвестированных в акции, должны быть инвестированы в акции с низким риском;

в облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же, сколько

вакции.

Не более чем 125 тыс. руб. должно быть вложено в бумаги с доходом

менее 10%.

1. Определить портфель бумаг инвестора, удовлетворяющий всем требо-

ваниям и максимизирующий годовой доход. Какова величина этого дохода?

2. Если инвестор вносит дополнительные средства в портфель бумаг,

сохраняя сформулированные выше ограничения, как изменится ожидаемый годовой доход? Зависит ли изменение ожидаемого годового дохода от вели-

чины дополнительно инвестированных средств? Почему?

3. Ожидаемый годовой доход по той или иной бумаге (особенно по акци-

ям) – это не более чем оценка. Насколько оптимальный портфель и ожидаемая величина дохода от портфеля выбранных бумаг чувствительны к этим оцен-

кам?

Задача 11. Предприятие планирует работу на 3 года (начало первого го-

да). Имеется несколько вариантов для инвестиций. В первом варианте инве-

стируется любая сумма под 10% сроком на три года с одновременным возвра-

том в конце третьего года. Во втором варианте инвестируется сумма не ме-

нее, чем 10 у.е. с 50% возвратом кредита в конце второго и третьего годов под

15%. В третьем варианте может быть инвестирована любая сумма на год под

5%.

Необходимо найти такой вариант размещения капитала, чтобы в конце третьего года была получена максимальная сумма, если начальная сумма со-

ставляет 50 у.е.

132

Задача 12. Выбор оптимальных проектов для финансирования

Управляющему банка были представлены 4 проекта, претендующие на по-

лучение кредита в банке. Доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс. дол.).

При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов.

Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо в течение каждого периода, если цель состоит в том, чтобы мак-

симизировать прибыль?

Задача 13. (задача об оптимальной диете)

Имеется 7 видов продуктов: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры,

виноград. В одной весовой единице продукта i-го типа содержится определен-

ное количество белков жиров и углеводов. Калорийность одной весовой едини-

цы каждого из продуктов следующая: ; ; ; ; ; ;

. Стоимость одного кг каждого из продуктов следующая:

; ; ; ; ; ;

Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы:

133

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая:

в белках , в жирах ., в углеводах Предпола-

гается, что первая целевая функция является более важной, чем вторая.

1) Решить методом уступок (предполагая, что исходя из медицинских ре-

комендаций, оказывается возможной уступка по первой целевой функ-

ции, равная 100 ккал).

2)Решить методом минимального отклонения.

3)Решить методом аддитивной свертки(взять в качестве весов значения 0,2

и 0,8).

Задача 14. (о погрузке автомобиля)

Для перевозки штучного товара используется грузовой автомобиль с огра-

ниченными грузоподъемностью и объемом кузова. Груз представляет собой ко-

робки с продуктами питания следующих видов: тушеная говядина, лосось в масле, шпроты, сгущенное молоко, томатный соус и зеленый горошек. Масса одной коробки и ее объем, а также стоимость и субъективная ценность для за-

казчика одной коробки по каждому из видов продуктов питания представлены в следующей таблице

При этом общая грузоподъемность автомобиля равна 5 т, а объем кузова –

120 . Требуется определить оптимальную загрузку автомобиля коробками c

различными продуктами питания, так чтобы обеспечить максимальную стои-

мость и субъективную ценность для заказчика всего груза, но при этом не до-

пустить перегрузки автомобиля и превышения допустимого объема его груза.

134

Задача 15.

Обувная фабрика производит три вида обуви: мужскую, женскую и дет-

скую. На каждую пару мужской, женской и детской обуви, соответственно,

требуется кожи 4, 2 и 1 , клея 20, 20 и 10 г. Стоимость мужской, женской и детской обуви с учетом всех работ, соответственно, равна 1000, 1500, 500 руб.,

а предпочтения покупателей, согласно выполненному маркетинговому иссле-

дованию, соответственно, составляют: 60, 30, 50 баллов для каждой пары обу-

ви. Запасы кожи на складе фабрики составляют 4000, а клея – 3 т. Требуется определить оптимальный план изготовления мужской, женской и детской обу-

ви, при котором стоимость и общая сумма баллов предпочтений покупателей всей выпущенной партии является максимальной.

Задача 16.

Требуется распределить 5 сотрудников фирмы: Андреева, Бубнова, Васи-

льева, Григорьева, Дмитриева на 5 вакантных должностей в этой фирме: мене-

джера, программиста, бизнес-аналитика, маркетолога и руководителя проектов.

Затраты на замещение должностей кандидатами, связанные с необходимостью их предварительного обучения и стажировки, заданы в форме следующей таб-

лицы «Затраты (в тыс.руб.)»

Таблица «Ожидаемая прибыль от работы кандидатов в должностях (в тыс.рублей)

135

Требуется определить такое назначение кандидатов на вакантные должно-

сти, при котором общие затраты на их подготовку будут минимальными, а об-

щая прибыль при их работе в соответствующих должностях будет максималь-

ной.

Решить задачу методом уступок и методом минимального отклонения.

Задача 17. (оптимальное использование ресурсов)

В распоряжении фабрики имеется определенное количество ресурсов: ра-

бочая сила (80 чел./дней), сырье (480 кг) и оборудование (130 станко/час). Фаб-

рика может выпускать ковры четырех видов. Требуется найти такой план вы-

пуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максималь-

ной, если нормы расхода и цена на единицу изделия каждого типа заданы в следующей таблице:

I. Сформулировать экономико-математическую модель задачи и, используя По-

иск решения, найти оптимальный план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальной.

II. Используя протоколы Поиска решения, выполните анализ полученного оп-

тимального решения исходной задачи:

a). Все ли типы ковров выгодно производить?

b). Проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане.

III. Проведите анализ полученного решения на чувствительность.

1. Первая задача анализа на чувствительность: на сколько можно сократить

или увеличить запасы ресурсов?

136

a). На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении по-

лученного оптимального значения целевой функции.

b). На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции.

c). Как изменится общая стоимость и план выпуска продукции при увеличе-

нии запаса ресурса «труд» на 12 ед.

d). Попробуйте изменить ограничения на ресурсы, чтобы все ресурсы стали дефицитными.

2.Вторая задача анализа на чувствительность: увеличение объема какого из ресурсов наиболее выгодно?

a)Выяснить ценность дополнительной единицы каждого вида ресурсов.

b)Пусть стоимость дополнительного рабочей силы 1100 руб./день, а стои-

мость дополнительного часа работы оборудования 50 руб. Увеличение какого ресурса будет экономически выгодно для получения большей прибыли.

c)Будет ли экономически целесообразным увеличивать время работы обо-

рудования, если стоимость дополнительного часа работы оборудования будет 350 руб.

3.Третья задача анализа на чувствительность: в каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции? (Коэффициенты целевой функ-

ции определяются ценами на готовую продукцию).

a). Определите интервал изменения прибыли от продажи ковра каждой мо-

дели, в котором оптимальное решение остается неизменным (нужно опре-

делить диапазон изменения (увеличения или уменьшения) того или иного коэффициента целевой функции).

b). Насколько уменьшится прибыль, если, несмотря на оптимальное реше-

ние, включить в план один ковер первого вида? То же вопрос, если вклю-

чить в план ковер четвертого типа.

137

c). Если есть убыточная модель, то какие изменения надо внести, чтобы ее производство стало выгодным? Попробуйте изменить что-нибудь в цено-

вой политике так, чтобы все модели стали выгодными.

Задача 18.

Три нефтеперерабатывающих завода с максимальной ежедневной произ-

водительностью в 6, 5 и 8 млн. галлонов бензина снабжают три бензохранили-

ща, спрос которых составляет 4, 8 и 7 млн. галлонов. Бензин транспортируется в бензохранилища по трубопроводу. Стоимость перекачки бензина на одну ми-

лю, рассчитанная с учетом длины трубопровода, составляет 1 цент на 100 гал-

лонов. В таблице расстояний показано, что завод 1 не связан с хранилищем 3.

a)Сформулируйте соответствующую транспортную задачу. Найдите оптимальное решение.

Бензохранилища

b)Пусть в задаче производительность нефтеперерабатывающего заво-

да 3 снизилась до 6 млн. галлонов. Кроме того, обязательно полное удовлетворение спроса бензохранилища 1, а не допоставки в храни-

лища 2 и 3 штрафуются 5 центами за каждый галлон. Сформулируй-

те соответствующую транспортную задачу. Найдите оптимальное решение.

c)Пусть в задаче ежедневный спрос хранилища 3 падает до 4 млн.

галлонов. Избыток продукции на нефтеперерабатывающих заводах

1 и 2 должен переправляться на грузовиках в другие хранилища.

Соответствующие средние транспортные издержки составляют 1,5

долл. за 100 галлонов при перевозке с завода 1 и 2,2 долл. за 100

галлонов при перевозке с завода 2. Завод 3 может использовать из-

138

быток бензина для нужд своего химического производства. Сфор-

мулируйте соответствующую транспортную задачу. Найдите опти-

мальное решение.

Задача 19. (Многопродуктовая транспортная модель). Фирма произво-

дит автомобили четырех различных марок М1, М2, М3, М4. Завод в Детройте выпускает автомобили марок М1, М2 и М4. В Новом Орлеане производятся только автомобили марок М1 и М2. Завод в Лос-Анжелесе выпускает автомо-

били марок М3 и М4. В приведенной ниже таблице указаны объемы выпуска разных заводов и величина спроса в центрах распределения для автомобилей каждой марки. Стоимость перевозки автомобиля любой марки на одну милю равна 8 центам.

Сформулируйте задачу как транспортную задачу. Найдите оптимальное решение.

Задача 20. (Многопродуктовая транспортная модель).

Три автомобильных завода выпускают три марки автомобилей: легковые, гру-

зовые и спортивные, которые поставляются для продажи пяти автосалонам.

Стоимость транспортировки одного автомобиля отдельных марок задана в табл.1, а объемы производства автомобилей заводами и заказа их автосалонами

представлены в табл.2.

139

Таблица 1

Таблица 2.

Задача 21. (Двухэтапная производственно-транспортная задача).

Пусть предприятие имеет три цеха по производству продукции и два склада, где хранится изготовленная продукция перед отправкой ее потребителю. Со складов продукция доставляется трем потребителям. Известны мощности цехов по производству продукции ai 240,260,300 ,

140