9789

продукции из цеха потребителю запрещены, потребитель получает готовую продукцию со складов. Определить оптимальный план перевозок,

минимизирующий суммарные затраты.

Указание: Склады на первом этапе являются потребителями продукции,

на втором – поставщиками, поэтому им в таблице отводятся столбцы как потребителям и строки как поставщикам. Так как потребители получают продукцию со складов, запретим прямые поставки тарифами Перевозки со склада на склад также запрещены, они блокируются запретительными тарифами М. Разрешается поставка склада самому себе, что означает размер неиспользованной мощности склада.

Задача 22. (Модель производства с запасами).

Некоторая фирма переводит свой главный завод на производство опреде-

ленного вида изделий, которые будут выпускаться в течение четырех месяцев.

Величины спроса в течение этих четырех месяцев составляют 100, 200, 180 и 300 изделий соответственно. В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет:

1)избытка произведенных в прошлом месяце изделий, сохраняющихся для реализации в будущем;

2)производства изделий в течение текущего месяца;

3)избытка производства изделий в более поздние месяцы в счет невыпол-

ненных заказов.

Затраты на одно изделие в каждый месяц составляют 4 долл. Изделие,

произведенное для более поздней реализации, влечет за собой дополнитель-

141

ные издержки на хранение в 0,5 долл. в месяц. С другой стороны, каждое из-

делие, выпускаемое в счет невыполненных заказов, облагается штрафом 2

долл. в месяц Объем производства изделий меняется от месяца к месяцу в зависимости

от выпуска других изделий. В рассматриваемые четыре месяца предполага-

ется выпуск 50, 180, 280 и 270 изделий соответственно.

Требуется составить план, имеющий минимальную стоимость производ-

ства и хранения изделий.

Задача 23.

Имеются 4 рабочих и 4 вида работ. Стоимости Сij выполнения i-тым рабо-

чим j-той работы приводятся в таблице, где под строкой понимается рабочий, а

под столбцом работа. Бригадиру требуется составить план работ так, чтобы каждый рабочий был занят только на одной работе, все работы были выполне-

ны, а суммарная стоимость всех работ была минимальной.

Задача 24. Некоторая транспортная фирма имеет в пяти городах гаражи. Из каждого гаража отправляются пустые грузовики и прибывают в другие пять городов. Даны расстояния в км в следующей таблице:

Необходимо направить каждый из пяти грузовиков в некоторый город так,

чтобы общее расстояние, а следовательно, и расходы были минимальными.

Задача 25. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченно-

сти финансовых ресурсов.

142

При планировании вложений проект может быть принят к исполнению,

если он имеет положительную чистую приведенную стоимость. Однако в дей-

ствительности для предприятий существуют ограничения, связанные с нехват-

кой финансовых ресурсов на его осуществление. В этом случае возникает необ-

ходимость разработки такого метода отбора одного проекта (или группы проек-

тов), который, с одной стороны, обеспечит максимально возможную чистую приведенную стоимость, а с другой – позволит уложиться в выделенные для инвестиций средства.

Например, у предприятия для выполнения некоторых программ имеется пять инвестиционных проектов, чистая приведенная стоимость которых указа-

на в таблице. Однако предприятие не может финансировать все проекты: сум-

мы денег, выделенные на текущий год и последующие два, меньше необходи-

мых для инвестирования в полном объеме. При этом оставшиеся денежные средства не могут быть перенесены на следующие годы, также не предусмотре-

но более одного финансирования одного и того же проекта. Требуется распре-

делить выделенные средства в инвестиционные проекты оптимальным спосо-

бом.

Указание: Переменные в этой задаче – двоичные х {0,1}, где 1 – выбираем

проект, 0 – не выбираем.

Задача 26. Распределение аудиторов по фирмам.

Менеджер-координатор аудиторской фирмы должен распределить аудито-

ров для работы на следующий месяц. Есть заявки от 10 клиентов на 75 аудито-

ров. В четырех конторах фирмы работают 90 аудиторов. 15 аудиторов можно

143

отправить на плановую учёбу. Аудиторы различаются по квалификации и опы-

ту работы. Прежде чем приступить к аудиту конкретной фирмы, они должны затратить определенное время на подготовку и консультации. Менеджер-

координатор, учитывая опыт работы аудиторов каждой конторы, оценил время,

необходимое в среднем аудитору каждой конторы для подготовки к аудиту конкретного клиента. Результаты приведены в таблице. Знаки вопроса в клет-

ках таблицы означают, что аудиторы из этой конторы не имеют опыта аудита в отрасли, которой занимается данный клиент, и их нельзя к нему посылать. Рас-

пределить аудиторов так, чтобы суммарные временные затраты на подготовку были минимальны.

В реальной практике обычно требуют, чтобы аудиторы не все были из од-

ной конторы. Попробуйте выполнить это условие и не слишком ухудшить ре-

шение.

Задача 27. Закрепление самолетов за воздушными линиями.

Три типа самолетов требуется распределить между четырьмя авиалиния-

ми. В приводимых ниже таблицах заданы число самолетов каждого типа, ме-

сячный объем перевозок каждым самолетом на каждой авиалинии и соответ-

ствующие эксплуатационные расходы.

Требуется распределить самолеты по авиалиниям так, чтобы при мини-

мальных суммарных эксплуатационных расходах перевезти по каждой из четы-

рех авиалиний соответственно не менее 300, 200, 1000 и 500 ед. груза.

Задача 28. Планирование штатного расписания.

Вам, как руководителю фирмы, необходимо определить минимальное ко-

личество персонала, которое способно удовлетворить известную дневную по-

требность в работниках в каждый день недели. Каждый служащий будет рабо-

тать 5 дней подряд. Поэтому служащие должны начинать свои 5-дневные неде-

ли в разные дни недели.

Определить количество работников, начинающих работу в каждый из дней недели и общее число служащих фирмы, если потребность в сотрудниках зада-

на в следующей таблице:

После решения поставленной задачи в какие-то дни недели у вас могут оказаться «лишние» служащие (сверх необходимого количества в эти дни).

Найдите оптимальную потребность в сотрудниках в каждый день недели с тем расчетом, чтобы суммарная потребность в сотрудниках за неделю осталась неизменной, но при этом общее количество «лишних» служащих было бы ми-

нимальным.

Раздел 3. Принятие решений в условиях неопределенности и риска.

Задача 1.

Магазин может завести в различных пропорциях товары трех типов (а, б и в). И реализация, а, следовательно, и получаемая магазином прибыль зависят от вида товаров и состояния спроса. Предполагая, что последний может характе-

ризоваться тремя состояниями (1,2 и 3), и учитывая, что спрос связан с измене-

145

нием моды и прогнозирование его невозможно, определить оптимальные про-

порции в закупке товаров из условия средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:

Задача 2.

Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую оно может сразу отправить потребителю (стратегия а), отправить на склад (стратегия б),

или затребовать ее после длительного периода времени (стратегия в) для дли-

тельного хранения.

В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продук-

цию (стратегия 1), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (стра-

тегия 2) или затребовать ее после длительного периода времени (стратегия 3).

Если предприятие выберет стратегию а, то дополнительные затраты на хранение и обработку продукции не потребуется.

Если потребитель применит стратегию 2 и 3, то предприятие потерпит убытки из-за порчи продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию

в, а потребитель – стратегию 1, то возникнут неоправданные расходы на кон-

сервацию продукции. Определить оптимальное соотношение между продукци-

ей, отправляемой на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь минимаксным критерием при следующей матрице затрат

Задача 3.

Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать две культуры – а и б. Необходимо определить, как сеять эти культуры, если при прочих равных условиях их урожаи зависят от погоды, а план посева должен обеспечить наибольший доход (прибыль от реализации выращенной продукции

определяется полученным объёмом). В зоне рискованного земледелия (а тако-

146

вой является большая часть России) планирование посева должно осуществ-

ляться с учётом наименее благоприятного состояния погоды.

Таким образом, одной из сторон выступает сельскохозяйственное пред-

приятие, заинтересованное в том, чтобы получить наибольший доход (игрок 1),

а с другой стороны – природа, способная навредить сельскохозяйственному предприятию в максимальной степени (от неё зависят погодные условия) и пре-

следующая тем самым прямо противоположные цели (игрок 2).

Принятие природы за противника равносильно планированию посева с учётом наиболее неблагоприятных условий; если же погодные условия окажут-

ся благоприятными, то выбранный план даст возможность увеличить доход.

Налицо антагонистический конфликт, в котором у игрока 1 две стратегии а

иб, у игрока 2 – три: засушливое лето, нормальное лето, дождливое лето.

Вкачестве выигрыша игрока 1 возьмём прибыль от реализации и будем считать, что расчёты прибыли сельскохозяйственного предприятия (в млрд.

руб.) в зависимости от состояния погоды сведены в матрицу:

Задача 4.

Администрация некоторой фирмы ведет переговоры с профсоюзом рабо-

чих и служащих о заключении контракта. Платежная матрица, отражающая ин-

тересы договаривающихся сторон, имеет вид:

Матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администра-

ции фирмы (игрок В). Найти решение игры.

Задача 5.

Владелец небольшого магазина в начале каждого рабочего дня закупает для реализации некий скоропортящийся продукт по цене 55 руб. за ед. Цена реализации этого продукта – 70 руб. за ед. Из наблюдений известно, что спрос

147

на этот продукт за день может быть равен 1, 2, 3, или 4 ед. Если продукт за день не продан, то в конце дня его всегда покупают по цене 40 руб. за ед.

Пользуясь критериями максимакса, максимина, минимакса, Гурвица,

математического ожидания и Лапласа, определить, сколько единиц этого продукта должен закупать владелец каждый день. Чему равна ожидаемая стоимость полной информации?

Задача 6.

Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо закупить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; ком-

плект поставки – 10 станков. Минимальный объем поставок – 20 станков. Соот-

ветственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).

Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, составляет

21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс. руб., эксплуатационные расходы – 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5

тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.

Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S рабо-

тающих станков, и для простоты можно ограничиться вектором состояний спроса S = (0,10,20,30,40,50).

1)Используя решающее правило прибыль="доход–издержки", рассчитать элементы матрицы полезности.

2)Найти оптимальный вариант поставок станков, дающий максимальную ожидаемую прибыль.

Задача 7.

Определите вектор состояний внешней среды и вектор решений. Найдите решение задачи, используя критерии принятия решений в условиях неопреде-

ленности. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.

148

Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПЭВМ. Каждый сотрудник фир-

мы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтоимость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполне-

ния 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не пре-

вышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).

Задача 8. Задача о производстве CD-дисков.

Для производства имеются след. условия.

1.Постоянные затраты 50000 д.е.

2.Переменные 10 д.е. на каждый диск

3.Продажная цена 20 д.е. на каждый диск.

4.Гонорар 50000 д.е.

Необходимо решить вопрос о производстве 50000 шт. дисков для их широкой продажи.

Дополнительные сведения.

Часто используется практика пробного выпуска 5000 шт. и продажи в ограниченном регионе. Обычно, если пробная партия хорошо продаётся, то вероятность продажи крупной партии составляет 80%, если же пробная партия продаётся плохо – 20%.

1. Прямой ход. Построение дерева решения.

149

успех 1000

G K7 -400

K8 -600

неудача

2. Обратный ход. Оценка альтернатив.

Вычислите математического ожидание и ответьте на вопрос задачи.

Задача 9.

Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий.

A. Построить большой завод стоимостью M1, = 650 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере R1 = 300 ты-

сяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р1= 0,7 и низкий спрос (ежегодные убытки R2 = 85 тысяч долларов) с вероятностью p2 = 0,3.

Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 360 тысяч долларов. При этом варианте возможны большой спрос (годовой доход в размере T1, = 120

тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью р1 = 0,7 и низкий спрос (ежегодные убытки Т2 = 60 тысяч долларов) с вероятностью р2 = 0,3.

B. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью р3 = 0,9 и р4 = 0,1 соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низкого спроса меняются на р5=0,8 и р6 = 0,2 соответственно. Доходы на по-

следующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет.

Все расчеты выражены в текущих ценах и не должны дисконтироваться.

Попробуйте самостоятельно нарисовать дерево решений и определить наиболее эффективную последовательность действий, основываясь на ожидаемых дохо-

дах. Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения?

Ответ: Нужно строить большой завод. 272,5 тысяч долларов.

150