10933

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

Очевидно, если =1 (нет сцепления) или , то =, т.е. прочность бетона (композита) равна прочности матрицы. Если модуль упругости заполнителя (воздух) =0, то =0 и тогда =.

Повышение соотношения приводит к незначительному увеличению прочности бетона (см.рис.1). Следовательно, заполнитель действительно можно в первом приближении условно представить дефектом в виде пор.

Функция (1) описывает зависимость прочности композита от соотношения объемного содержания, модулей упругости материала матрицы и заполнителя. Но функция прочности (1) не отвечает на вопросы: как меняется прочность от крупности заполнителя, размеров дефектов, масштабного уровня структуры.

Ответы на поставленные вопросы попытаемся получить, рассматривая фрактальные модели разрушения композитов, сформированные на основе следующих принципов:

-все твердые тела состоят из масштабноинвариантных структурных элементов конечного размера (фракталов), которые по физическим и химическим свойствам, соотношению фаз подобны целому;

-структура твердого тела представляется иерархически организованной системой, которая формируется по принципу «структура в структуре» или «композит в композите» и на каждом масштабном уровне может быть представлена двумя обобщенными компонентами – матрицей и наполнителем (заполнителем);

-каждый элементарный акт разрушения соответствует разрушению одного структурного элемента;

-параметры критерия разрушения фрактала не должны противоречить классической теории разрушения, применяемой в предельных случаях;

-система, состоящая из большого числа подсистем множества элементов, образующих структуру бетона, характеризуется флуктуацией физических параметров, которые являются причиной развития метастабильных состояний.

По Мандельброту структура фрактальна, если состоит из частей, которые в ка-

ком-то смысле подобны целому. Следовательно, формируя фрактальную модель разрушения композита необходимо, в соответствии с первым принципом, структуру на каждом масштабном уровне представить в виде системы структурных элементов подобных целому; основной структурообразующий элемент (первичный фрактал) дол-

_________________________________________________________________________________

220 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

жен отвечать требованиям геометрического, физического, химического подобия. Предполагая тождественность фазового, элементного, химического состава структурных элементов всех уровней условие масштабной инвариантности запишем в следующем виде:

(2)

где - относительное объемное содержание матрицы, заполнителя, пор на i

– ом масштабном уровне.

Тогда, рассматривая кубическую модель формирования структуры композита, принимаем: размер (диаметр) заполнителя в виде идеального шара равным ; расстояние между заполнителями – ; относительное содержание заполнителя в единице объема - . Ранее было показано [6], что и характерный размер структурного элемента определяются через по формуле:

. (3)

Фрактальная модель, представленная на рис. 2, построена с учетом условий:

Рис. 2. Фрактальная модель структуры бетона:

а) первичный фрактал; б) расчетная модель фрактала; в) цепочный фрактал; г) плоский фрактал; 1,2,3,4,5, - уровни структуры

_________________________________________________________________________________

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

ориентация трещин относительно силовых линий произвольная; размер трещин коррелируется с размером дефектов , диапазон изменения которых варьируется в пределах, указанных в таблице 1; при изготовлении бетонных изделий формируется множество врожденных дефектов, размеры которых зависят от качественного уровня технологий; каждой технологии изготовления цементных композитов соответствуют дефекты ℓ0, размер которых можно нормировать, как показатель качественного уровня технологии; прочность цементных композитов на различных масштабных уровнях структуры зависит от размеров трещин (дефектов) и упругопрочностных свойств матрицы.

На границе с дефектом в матрице под влиянием концентрации напряжений формируется область пластического деформирования, размеры которой Д. Броеком предложено определять по формуле вида:

Для цементного композита экспериментально определены значения

.

Соответственно получено .

Следовательно, если в расчетном условии (5) принять предельный случай , то в стадии разрушения оказываются все структурные уровни, кроме

первого (Санти). Если в условии (5) принять в качестве расчетного значение , кото-

_________________________________________________________________________________

222 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

жений 0,22 МПа и они обусловлены развитием дефектов около частиц микрокремнезема (МК), затем с повышением уровня напряжений произойдет развитие дефектов, соизмеримых соответственно с размерами пор, песка и щебня.

2. Прочность фрактального элемента при сжатии и растяжении.

Впервые зависимость прочности материала от размеров трещины установил Гриффитс. В дальнейшем работами Г.И. Баренблатта, Г.П. Черепанова, В.В. Панасюка была создана теория, согласно которой разрушение рассматривается как процесс развития трещин. С учетом теории хрупкого разрушения рассмотрим прочность фрактала.

При растяжении фрактального элемента реализуется отрывной механизм разрушения и условие прочности имеет вид:

Очевидно, разрушение произойдет в результате роста трещины длиной

2 ℓ0, расположенной под углом к силовым линиям. Тогда прочность материала структурного элемента будет равна:

Подставив выражения , и в неравенство (8) и решая его относительно, получаем:

_________________________________________________________________________________

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

прямой от начала до конца трещины. Но при фрактальной структуре материала «берега» трещины имеют характер ломаной кривой, следовательно, площадь поверхности разрушения и соответственно величина поверхностной энергии будет больше, чем учитывается в модели Гриффитса.

Площадь поверхности, образованной при развитии трещины в композите с фрактальной структурой, будем аппроксимировать функцией вида:

,

где - топологическая размерность; - фрактальная размерность; - масштабный уровень измерения; - площадь гладкой поверхности. Для гладкой прямой линии (i=1) =1; для гладкой поверхности = 2, i=2.

Следуя Гриффитсу с учетом фрактальности строения структуры композита, уравнение баланса энергий высвобождаемой (энергия релаксации упругих связей) и расходуемой на образование новых поверхностей разрушения V, можно записать в виде:

где - удельная плотность поверхностной энергии; ;

- толщина пластины с трещиной (=1); - площадь релаксации;

. Критическая (для заданных напряжений ) длина трещины 2ℓ будет соответствовать максимуму функции W, который находим из условия dW/dℓ=0.

Отсюда получаем:

; . (11)

Фрактальная размерность (Хаусдорфа - Безиковича) экспериментально определялась путем измерения на различных масштабных уровнях границы раздела фаз (порового пространства и матрицы) с применением программного комплекса: «Идентификация и анализ пористости строительных материалов [11]. Обоснование методов определения фрактальной размерности границы раздела фаз изложено в работах В.П. Селяева, О.А. Фролкина, Т.А. Низиной, Л.И. Куприяшкиной, Л.М. Ошкиной [11, 12, 13,

14].

Если формулы (7) и (9) записать с учетом полученного решения (11), то получим выражения для определения прочности композита на различных масштабных

уровнях в следующем виде:

дем анализ экспериментальных данных, представленных в нормативной (СНиП 2.03.01 - 84•) и научной литературе [4].

Известны решения Хука-Бенявского и Брейса-Марела, в которых показана зави-

симость прочности горных пород от коэффициента трения и получены выражения, аппроксимирующие соотношения прочностей при сжатии и растяжении [2].

_________________________________________________________________________________

224 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

Анализ экспериментальных данных показывает, что формула (10) более адекватно описывает зависимости: прочности бетона от коэффициента трения; между прочностью при сжатии и растяжении. Формулы Хука-Бенявского и Брейса-Марела дают заниженные значения. В таблице 3 и на рисунке 4 приведены данные о зависи-

киным была установлена зависимость коэффициента трения от класса бетона по прочности на сжатие B [4, 9], которую можно представить в виде линейной функции вида:

В10÷В50 и полученные результаты хорошо интерпретируются прямыми линиями (см. рис.3).

_________________________________________________________________________________

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

Т а б л и ц а 3

Зависимость соотношения прочности от коэффициента трения

Формулы (10) и (14) дают возможность получить функцию, выражающую зависимость прочности при растяжении от прочности при сжатии в более простом (по сравнению с формулой Фере) и физически обоснованном виде:

,

(15)

где 1-=(0.6-0.005 B); =4·1,35=5,4; , нормативные сопротивления бетона (СНиП 2.03.01-84*).

В литературе для оценки прочности бетона при растяжении рекомендовано применять формулу Фере, которая имеет вид:

=0,233, , (16)

где R – кубиковая прочность, следовательно R=B; - коэффициент вариации, равный 0,135.

Сравнение результатов, полученных по формулам (15) и (16), приведено в таблице 4. Первые строки таблицы 1, 2, 3 представляют данные по СНиПу. Коэффициент

определен по формуле (14), полученной по экспериментальным данным. В пятой и седьмой строках таблицы представлены расчетные значения / и , полученные по формулам (10) и (15), которые имеют хорошую сходимость с нормативными данными.

Т а б л и ц а 4

Нормативные и рассчитанные по формулам авторов, Брейса-Морела, Фере значения величин и /

_________________________________________________________________________________

226 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

Окончание табл.4

3. Масштабный эффект.

Особый интерес представляют формулы (12) и (13), которые свидетельствуют о том, что прочность цементных композитов зависит от фрактальной размерности D и

масштабного фактора . Прочность цементного композита зависит от масштабного уровня структуры, от объема материала в образце. Чем больше объем, тем большее количество фракталов участвует в работе, тем выше вероятность появления фракталов, предрасположенных к разрушению. Зависимость среднего предела прочности композитов от объема изделия исследована на вероятностных моделях в работах В.В. Болотина [10] и предложена формула вида:

где и - эмпирические коэффициенты; - некоторый стандартный объем; - соответствующий ему предел прочности.

По экспериментальным результатам исследования масштабного эффекта, проведенным Эмпергером, Бухгарцем, Г.Д. Цискрели, в работе [10] получены численные

значения коэффициентов: a=0,58, b=0,42, .

Исследование масштабного эффекта на фрактальных моделях приводит к функциям (12) и (13), согласно которым следует, что с увеличением фрактальной размерности и с уменьшением масштаба измерений прочность увеличивается D. Экспериментальными исследованиями установлено, что фрактальная размерность поровой структуры цементных композитов может изменяться в пределах от 1 до 2.0 ( при определении D по первой модели). Для высоконаполненных цементных композитов по экспериментальным данным [13] можно принять D=1,5.

Тогда запишем формулу (13) в виде произведения прочности стандартного кубика бетона на i – ом масштабном уровне на коэффициент приведения к стандартному объему:

.

Если принять, что прочность стандартного кубика с размером ребра равна = , то получим, что /=1, если =1.97.

В относительных единицах с учетом, что D=1,5; =15 см получим формулу

вида:

. (18)

Изменение прочности кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра определялось по формулам (17) и (18). Результаты вычислений приведены в таблице 5 и на рис. 5.

_________________________________________________________________________________

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

Т а б л и ц а 5

Изменение прочности /кубов из цементных композитов в зависимости от размера ребра (масштабного фактора )

Результаты анализа, полученных данных, свидетельствуют о том, что для описания масштабного эффекта предпочтительнее применять формулы (13, 18), которые: дают более точные оценки изменения прочности при испытании кубов различных размеров; учитывают, через фрактальную размерность D, структурную неоднородность композита. Если D – фрактальная размерность равна единице, что соответствует однородной бездефектной структуре, то прочность образцов из такого материала не зависит от размеров, т.е. масштабный эффект отсутствует. Если принять D равной 2, что характеризует структуру материала с высокой степенью неоднородности, то масштабный эффект будет проявляться сильнее.

Выводы

1.Предложены принципы, на основании которых сформированы фрактальные модели структуры цементных композитов, в виде иерархически организованной масштабноинвариантной системы.

2.Анализ предложенных моделей позволил установить: зависимость прочности от размеров дефектов структуры (формулы 7 и 9); влияние сил трения на прочность

_________________________________________________________________________________

228 Вестник ПТО РААСН, выпуск 20

ПТО РААСН

_________________________________________________________________________________

цементных композитов при сжатии (9); вид функции, определяющей связь между прочностью при растяжении и сжатии (15).

3. Учет фрактального строения структуры цементных композитов позволил получить физически обоснованную аналитическую функцию для описания масштабного эффекта, согласно которой прочность композита зависит от масштабного уровня струк-

туры, размеров образцов () и фрактальной размерности (D) (см. формулы 13 и 18).

Библиография

1.Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т1. Наука.

1975, 832-с.

2.Селяев В.П., Куприяшкина Л.И., Неверов В.А. Селяев П.В. Фрактальные модели разрушения бетонов. Региональная архитектура и строительство. – Пенза: ПГУ-

АС, 2015. – N1 - c.11-23.

3.Разрушение и усталость. Под редакцией Л. Браутмана. Том 5. Перевод с английского под редакцией Г.П. Черепанова. Мир. М. 1978. С.483.

4.Селяев В.П., Селяев П.В., Кечуткина Е.Л. Основы фрактальной механики разрушения бетона. Механика разрушения строительных материалов и конструкций. Материалы VIII Академических чтений РААСН. – Международной научно-технической конференции. – Казань. КГАСУ. 2014. С. 298-304.

5.Зиновьев В.Н., Романовский Д.В., Шувалов Р.А. Классификация микротрещин и границы их появления в бетоне при сжатии. Часть 4-1. Бетон и железобетон. N4

(595), 2015, с. 20-32.

6.Селяев В.П., Селяев П.В. Эволюция и проблемы технологий, надежности создания изделий на основе цементных композитов. Сборник трудов. КитайскоРоссийский форум инженерных технологий. В 2015 г. Ханчжоу, Китай 2015, с. 185-195.

7.Селяев В.П., Селяев П.В., Алимов М.Ф., Кечуткина Е.Л. Анализ физических характеристик диаграмм деформирования цементных композитов при сжатии. Академия. Архитектура и строительство N1, 2016 г., с. 129-134.

8.Савенков Г.Г., Барахтин Б.К., Рудомешкин К.А., Лебедева Н.В. Динамическая трещиностойкость металлических материалов в условиях быстрого распространения самоподобной трещины. ЖТФ, Т.84, вып.7, 2014, с. 52-57.

9.Селяев В.П., Селяев П.В., Сорокин Е.В., Колотушкин А.В.,

10.Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. Изд-во литературы по строительству. М., 1965, 278 c.

11.Идентификация и анализ пористости строительных материалов / В.П. Селяев, Т.А. Низина, О.А. Фролкин, В.В. Цыганов, Ю.А. Ланкина // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, N200 66 103 64 от 24.01.2006г. в Роспатенте по заявке N 200 56 130 72 от 24.11.2005 г.

12.Селяев В.П., Соломатов В.И., Ошкина Л.М. Химическое сопротивление наполненных цементных композитов. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2001-152 с.

13.Куприяшкина Л.И. Наполненные цементные композиции. – Саранск: Изд-во Мордов. ун-та. 2007. – 180с.

14.Низина Т.А. Защитно-декоративные покрытия на основе эпоксидных и акриловых связующих. – Саранск. Изд-во Мордов. ун-та. 2007. – 260 с.

_________________________________________________________________________________