Лекция 4ЭТ с решением задач
.pdfЛекция 4
Анализ электрических цепей в частотной области. Синусоидальные источники. Установившиеся режимы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e t U |
max |
sin |
t U |
m |
sin t |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC (t) uL (t) ur (t) e(t) |
(2-й закон Кирхгофа) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
(t) r i(t) |
|
u |
|
(t) L |
di |
u |
(t) |
1 |
|
i(t)dt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
L |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
C |
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r i(t) |
L |
di |
|
1 |
|
i(t)dt e(t) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
C |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продифференцируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
i |
|
di |
|
1 |
|
de(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
|
|
r |
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t |
2 |
dt |
C |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разделим обе части на |
L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
i |
|
|
r di |
|
|
1 |
|
1 de(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i(t) |
. |
|
|
|
Решать очень сложно. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
t |
2 |
L dt |
LC |
L |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i C |
du |
|
C |
||
|
||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод комплексных амплитуд |
|
|
|
|
|||||||||||||
j |
2 |
|
1 |
(обозначение в электротехнике «мнимой единицы») |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
j |
|
cos j sin – |
формула Эйлера, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
j |
|
e |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e |
j |
e |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i(t) Im cos t |
1 |
Im |
e |
j |
t |
Im |
e |
j t |
|
1 |
Im e |
j |
e |
j t |
Im e |
j |
e |
j t |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
m |
|
|
|
I m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
j t |
|
|
* |
|
j t |
|
|
|
|
|
j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Im |
e |
|
|
|
I m e |
|
Re Im |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i(t) Re I |
m |
e j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
I |
m |
|
I |
m |
e j |
|
– комплексная амплитуда тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Im |
– модуль комплексной амплитуды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
– фаза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
I m |
– комплексно-сопряженная амплитуда тока. |
||||
|
* |
|
|
2 |
|
I m |
I m |
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
|
m |
Если во временной области i(t) Im cos t , то в частотной области этому току
соответствует I |
m |
I |
m |
e j , i(t) |
I |
m |
. (где значок эквивалентен значку |
|
|
|
|
|
|||
соответствия). |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
e |
j |
I |
|
cos jI |
|
sin a jb |
|
m |
m |
|
m |
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a Re Im |
, b Im Im |
|
|
1. |
2. |
3. |
|
Z a jb z e |
j |
z |
|
|
1. алгебраическая форма записи комплексного числа
2. показательная форма записи
3. полярная форма записи
|
z |
a |
2 |
b |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Представление электрических сигналов во временной и частотной областях
u(t) |
– периодический сигнал во временной области. |
Используя преобразования Фурье, его можно представить в частотной области:
u(t) u t T . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u t U0 |
Ucn cos n 1t Usn sin n 1t , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где n 1, 2..., 1 |
|
2 |
– частота 1-й (основной) гармоники. |
|||||||||
T |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
u(t)dt |
(1) – среднее значение сигнала (постоянная составляющая) |
||||||||
|
||||||||||||
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
Usn |
|
|
u(t)sin n 1t |
dt – амплитуда синусоидальной составляющей |
||||||||
T |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ucn |
|
|
u(t) cos n 1t |
dt – амплитуда косинусоидальной составляющей |
||||||||
T |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) U0 |
|
Umn sin n 1t 0n (2) , |
||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
где Umn Usn2 Ucn2 – амплитуда n -й гармоники.
|
|
arctg |
Ucn |
– (аргумент), начальная фаза n - й гармоники. |
0n |
|
|||
|
Usn |
|
||
|
|
|
e(t) E |
|
|
|
|
sin n t |
|
E |
|
|
n t |
|
|
|
|||||||
|
|
U |
0n |
e |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
mn |
1 |
|
|
|
0 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e(t) E U |
m1 |
sin t |
01 |
U |
m2 |
sin |
2 t |
02 |
|
... U |
mn |
sin n t |
0n |
|||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
J t J |
0 |
J |
m1 |
sin t |
01 |
J |
m2 |
sin 2 t |
02 |
... J |
mn |
sin n t |
0n |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
Если источники представить в виде ряда Фурье, тогда для расчёта цепи может быть использован принцип суперпозиции, то есть необходимо рассчитывать каждую гармоническую составляющую в отдельности, так как частоты у них разные.
Комплексная форма ряда Фурье
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1t 0n |
|
{ с точностью до значения аргумента } = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
u(t) U |
|
Umn sin |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
j n t |
|
|
|
|
|
j n t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
U0 |
Umn cos n 1t |
0n U0 |
Umn |
e |
|
Umn e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 n |
|
|
|
||
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U |
|
|
1 |
|
|
|
e |
j |
|
e |
jn t |
U |
|
|
j |
|
|
|
jn t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
jn t |
|
|
* |
|
jn t |
||||||||||
|
|
|
U |
|
|
|
e |
|
e |
U |
|
|
|
|
|
e |
U mn e |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
0 |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Umn |
– |
комплексная амплитуда n - й гармоники. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
* |
|
|
– |
комплексно-сопряженная амплитуда |
|
- й гармоники. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U mn |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
Umn |
e |
jn t |
(3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
U U |
|
|
e j 0 n |
|
2 |
T |
u(t)e jn 1t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
mn |
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действующее значение периодической функции: |
U |
|
|
u |
2 |
(t)dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U U 2 Umn 2 0 n 2
u(t) Um sin t
U
U m
2
– связь между действующим и максимальным значением.
Модели двухполюсных элементов в частотной области
|
1 |
|
|
|
|
u(t) |
Umn |
e |
jn t |
||
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
i(t) |
|
Imn e jn 1t |
|||
|
|
||||
|
2 n |
|
|
Резистивный элемент:
u(t) |
|
Umn |
|
U |
mn |
|
|
|
2 |
r i(t)
r Imn
r Imn
2
r |
1 |
|
e |
|
Imn |
jn t |
|||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
, Un r In
Фазы напряжений и тока на резисторе совпадают.
n 1
U r I
Индуктивный элемент:
u(t) L |
di |
|
1 |
|
||||||
dt |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
mn |
jn LI |
mn |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|||||
Z |
L |
jn L jx |
Ln |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
индуктивности.
LI |
|
|
jn |
e |
|
|
|
|
|
|
jn t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
mn |
1 |
|
|
Z |
L |
I |
mn |
|
|
|
|
|
– комплексное сопротивление
xLn n 1L – модуль комплексного сопротивления индуктивности.
|
n 1 |
xL L , |
ZL jxL – комплексные сопротивления на индуктивности |
U Z |
L |
I |
|
|
Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°.
Емкостной элемент:
i(t) C |
du |
|
1 |
CU |
|
|
|
jn |
e |
jn t |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
2 |
|
|
mn |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Imn jn 1CUmn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
U |
|
|
1 |
|
I |
|
|
Z |
I |
|
|
|
|
|
mn |
|
|
mn |
mn |
|
|
|
|||||||
|
jn C |
|
C |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
C |
|
|
|
1 jn 1C
j |
1 |
|
n C |
||
|
||
|
1 |
jxc
,
xc |
|
1 |
|
|
|||
n 1C |
|||
|
|
||
n |
|||
|
|
1 |
– модуль комплексного сопротивления на конденсаторе.
U Z |
I jx I |
c |
c |
Напряжение на конденсаторе отстает от тока на 90°.
Z |
c |
jx |
|
c |
R
L
C
|
Z |
|
|
|
R |
|
|
|
j L |
|
|
1 |
j |
1 |
|
j C |
C |
||
|
Y
1 R
j 1
L j C
Y |
|
x |
L |
|
xC
|
1 |
– комплексная проводимость |
|||
Z |
|||||
|
|
|
|||
L |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
C |
||||
|
|
Законы Кирхгофа на комплексной плоскости:
Ik
k Uk
k
0 – 1-й закон Кирхгофа,
0 – 2-й закон Кирхгофа
Пример 1.
Дано: r=10 Ом С=10-4 Ф
ω=103 рад/с u(t)=10sin(ωt-45°) B Найти: i(t), ir(t), ic(t) – ?
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
10 Ом |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
C |
|
C |
|
|
|
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u(t) |
|
|
E |
|
10e |
45 j |
10 45 |
В |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
E |
m |
|
|
10 45 |
1 45 A |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
10 45 |
1 45 A |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C |
|
|
jX |
|
|
|
10 90 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I |
|
|
I |
|
|
1 45 145 |
1 |
j |
1 |
|
1 |
|||||||||||||
m |
r |
|
C |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ir (t) 1 sin( t 45 ) A
iC (t) 1 sin( t 45 ) A
i(t) 2 sin t A
Пример 2. |
|
|
|
|
|
Дано : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 2 10 3 Гн |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 5 10 4 Ф |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) 100 2 sin103 t B |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: iL(t) – ? |
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
2 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L 10 |
2 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
|
C |
|
10 |
510 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Z |
|
jx |
|
R( jx |
) |
|
2 j |
4 j |
2 j |
|
4 j(2 2 j) |
||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вх |
|
L |
|
R |
jx |
|
|
|
|
2 2 j |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j
2
1 2
j
|
2 |
j 1
А
1 j |
2 45 Ом |
|
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
IL |
|
|
100 2 |
100 45 А |
|||||
Zвх |
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
m |
|
|
|
2 45 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iL (t) 100sin(103t 45 ) A - мгновенное значение тока на индуктивности
Комплексный (символический) метод расчёта электрических цепей синусоидального тока и напряжения
Во временной области
e(t) E |
m |
sin(t ) |
|
|||
|
|
|
|
|
||
J (t) J |
m |
sin(t ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u(t) U |
m |
sin(t |
) |
|||
|
|
|
|
u |
|
|
i(t) I |
m |
sin(t |
) |
|
||
|
|
i |
|
|
u r i(t)
u |
|
(t) L |
di |
|
L |
dt |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
(t) C |
du |
i |
C |
|
C |
|
dt |
|
|
k |
(t) 0 |
i |
|
k |
|
uk (t) 0 |
|
k |
|
В частотной области
E E e |
|
j |
, E |
|
E |
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J J e |
j |
, |
J |
|
J |
m |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U U e |
j |
u |
, U |
U |
m |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
I I e |
j |
i |
, |
|
I |
I |
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
U r I
U j LI Z |
I jx |
I |
L |
L |
|
U |
|
j |
1 |
I Z |
|
I jx |
I |
C |
|
C |
|||||
|
|
C |
|
C |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ik |
0 |
k |
|
k |
0 |
U |
|
k |
|
Комплексное сопротивление
|
U |
|
Ue |
j |
u |
|
U |
|
j |
|
|
j |
||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
u |
i |
|
ze |
|
|
I |
|
Ie |
j |
i |
|
I |
|
|
|
|
|
|
z UI (модуль комплексного сопротивления)
u i (аргумент комплексного сопротивления)
Z
R x
z e |
j |
z cos j z sin R jx |
|
||
z cos Re Z – активное сопротивление цепи |
||
z sin Im Z – реактивное сопротивление цепи |
Последовательные схемы замещения двухполюсников
Если x 0 |
Активно-индуктивное сопротивление |
Если x 0 |
Активно-емкостное сопротивление. |
Комплексная проводимость
|
I |
|
Ie |
j |
i |
|
|
I |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
i |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
Ue |
j |
u |
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
R jx |
|
|
|
|
R |
|
j |
|
|
x |
|
g jb |
|||||
Z |
R jx |
R |
2 |
x |
2 |
|
R |
2 |
x |
2 |
R |
2 |
x |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b 0 |
|
|
Пример 3
Дано:
e(t) 10 sin10 |
3 |
t B |
|
|
|||
i(t) 0,1 sin(10 |
3 |
t 30) A |
|
|
|
|
Найти: Zвх, Yвх, параметры параллельной и последовательной схем замещения - ?
Em 10 0 B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I |
m |
0,1 30 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
10 |
100 30 |
100 cos 30 |
j 100sin 30 |
100 |
3 |
j100 |
1 |
|
|||
вх |
|
0,1 30 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
Im |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
503 j50 86,6 50 j 100 30 Ом
Последовательная схема:
86,6 50j
Комплексная проводимость:
Y |
|
I |
m |
|
0,1 30 |
0,01 30 |
0,01( |
3 |
j |
1 |
) 0,0087 |
j0,005 См |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вх |
|
E |
|
10 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
g jb |
|
|
|
|
|
|
|
||||
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параллельная схема:
-0,005j 0,0087
То же самое выражение для Yвх можно получить из перехода от последовательной схемы к параллельной:
Y |
|
1 |
|
1 |
|
R jx |
|
|
|
R |
|
|
|
|
jx |
|
|
86, 6 |
|
|
50 |
|
j 0,0087 |
0,005 j См |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||||||||
вх |
|
Z |
|
|
R jx |
|
R |
x |
|
R |
x |
|
R |
x |
|
86,6 |
50 |
|
86,6 |
50 |
|
|
||||||||||
|
|
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные теоремы и принципы для расчёта цепей синусоидального тока
A I |
в |
0, |
|
B U в 0 - законы Кирхгофа в комплексной форме
Метод наложения (принцип суперпозиции):
I j Yjk Ek k Ijk Jk
k |
k |
U j Rjk Jk kUjk Ek |
|
k |
k |
Метод эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике):
Последовательная схема де Винена:
Параллельная схема замещения Нортона
Y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вх |
Z |
|
|
|
|
||
|
|
вх |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
I |
|
|
U |
p |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
вх |
||
|
|
|
|
|
|