учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

вычислений метод четвертого порядка имеет преимущество

u

−u

≈

ui+1,h

−ui+1,h

.

перед методами первого и второго порядков, так как он обес-

2

печивает малую локальную ошибку. Это позволяет увеличи-

T

i+1,h 2

2p+1

−1

(6.57)

вать шаг интегрирования h и, следовательно, сокращать вре-

У

мя расчета.

Ошибка дискретизации стремится к нулю при стремлении

h к нулю. Следовательно,Туменьшая шаг h можно сделать ло-

6.3.2.4. Погрешность решения и выбор шага

кальную ошибку (на шаге) сколь угодно малой. Однако при

уменьшении h необходимо увеличить количество шагов. По-

Как было показано выше, порядок точности метода p опре-

этому сокращение h не приводит к такому же снижению гло-

деляет ошибку дискретизации ~hр+1. Знание порядка ошибки

А

бальной (накапливаемой от шага к шагу) ошибки.

не обеспечивает ее прямую оценку. Получить такую оценку по-

Малые ошибки, появившиеся в начале вычислений, могут

зволяет правило Рунге (формула двойного пересчета).

Г

совершенно исказить решение, если только не подобрать под-

Пусть одношаговый метод имеет порядок точности p. Тогда по-

ходящий численный метод. Это явление иногда называют «не-

грешность, равная разности точного решения uT

и приближенного

усто чивостью». Неустойчивость проявляется в катастрофиче-

ui+1,h , полученного численно с использованием шага h , имеет по-

Б

ском нарастании погрешности решения вплоть до воз-

рядок p + 1:

никновения паразитной осцилляции кривой решения.

На практике уменьшению h препятствуют и ошибки округле-

u

−u

≈Chp+1,

н я, вызванные неточностью представления чисел в компьютере.

i+1,h

й

T

При уменьшении шага, начиная с некоторого h0, вклад ошибок

округления преобладает, что приводит к возрастанию погрешно-

где C – константа, не зависящая от h .

исти решения.

При расчете с уменьшенным вдвое шагом, равным h/2, п греш-

р

Обычно алгоритмы обеспечивают автоматический выбор шага.

Для этого выполняется два пробных расчета – с заданным шагом

ность изменится:

p+1

о

h и с уменьшенным вдвое h/2.

uT −ui+1,h

≈ C

h

В простейшем случае ограничиваются сравнением результатов

2

.

решений в одной и той же точке:

2

Вычитая последнее выражение из предыдущего, определтм з-

менение:

и

ui+1,h

2

−ui+1,h

< δ,

h

p+1

h

p+1

p+1

(2

p+1

−1).

ui+1,h

−ui+1,h ≈ Ch

−C

= C

где δ– некоторое малое положительное число,

определяющее

2

2

2з

требования к точности. Более сложные оценки основываются

Выражая из последнего

C и подстав-

на формулах подобных правилу Рунге. Если оценка показыва-

ляя в предыдущую формулу, олучим оценкуостояннуюпогрешности по пра-

ет большую ошибку, алгоритм переходит на уменьшенный

вилу Рунге:

п

вдвое шаг.

281

282

соотношения

Р

6.3.3. Многошаговые методы решения задачи Коши

xi∫+1 F(x)dx =

h

(3 f (xi ,ui

)− f (xi−1

,ui−1 )).

(6.59)

6.3.3.1. Многошаговые методы

xi

2

У

Из вышеизложенного видно, что снижение погрешности реше-

Приравнивая правые части (6.58) и (6.59) и применяя сокращен-

ные обозначения f i = f ( x i ,u i ) ,

fi+1 = f ( x i +1,ui+1), запишем формулу

ния задачи Коши может быть обеспечено использованием одноша-

двухшагового метода

Т

говых методов высоких порядков точности. При этом в пределах

каждого шага интегрирования приходится вводить промежуточные

ui+1

= ui

+

h

(3 fi

− fi−1 ).

точки и увеличивать объем вычислений.

Снизить вычислительные затраты без ухудшения погрешности

А

2

можно, если на очередном шаге уточняющую информацию полу-

Аналогично, учитывая большее число предыдущих точек реше-

чать не за счет дополнительных точек, а из предыдущих шагов.

ния можно построить формулы экстраполяционного метода Адам-

Действительно, если в расчете использовать не только последнюю

Г

са – ашфорта:

из известных точек решения, а еще и ряд предыдущих, можно бо-

Бui+1 = ui +

h

(23 fi −16 fi−1 + 5 fi−2 );

лее точно предсказать дальнейший ход кривой. Методы, реали-

12

зующие эту идею, получили название многошаговых.

ui+1 = ui + 24(55 fi − 59 fi−1 + 37 fi−2 − 9 fi−3 ).

6.3.3.2. Метод Адамса

йПервая формула соответствует трехшаговому, а вторая – четы-

В простейшем случае многошаговый метод опирается только на

и

рехшаговому методу.

две последние точки решения – (xi, ui) и (xi, ui). Вычисление сле-

дующей точки строится на двух интервалах – от xi–1 до xi

и от xi

6.3.3.3. Методы прогноза и коррекции (предиктор-корректор)

до xi+1. В данном случае говорят, что метод является двухшаг вым.

р

Для получения расчетной формулы двухшагового метода пр ин-

Аналогичные вышеприведенным выражения можно получить,

тегрируем обе части дифференциального уравнения (1) на ин ерва-

включая в интерполяционный многочлен рассчитываемую точку

ле от xi до xi+1. Интегрирование левой части дает:

о

xi+1 как известную. Этот подход дает формулы метода Адамса –

du(x)

Моултона:

xi∫+1

dx =u(xi+1 )−u(xi )≈ ui+1

−ui ,

(6.58)

ui+1

= ui

+

h

( fi+1 + fi−1 );

xi

dx

т

2

Для интегрирования правой части (6.47)

аменимиf ( x , u ) =

ui+1 = ui

+

h

(5 fi+1 +8 fi − fi−1 );

12

f(x, u(x)) на интерполяционный мног член F ( x ) . Для двух извест-

ных точек x

i–1

и x

может быть

ен линейный многочлен, сов-

h

i

з

ui+1

= ui +

(9 fi+1 +19 fi

− 5 fi−1 + fi−2 ).

падающий с кривой решения в точках (xi– 1 ,ui ) и (xi, ui):

12

F

x

= x − xi−1 f

x

,u

− x − xi f

x

,u

.

Данный метод является неявным, то есть требует решения уравне-

(

)

(

i

i )

(

i−1

i−1 )

h

о

ния относительно ui+1, что представляется неудобным. Тем не менее,

h

Тогда интегрирование правой части дает:

неявные формулы применяются на практике, так как позволяют повы-

постр

ситьустойчивость решения и существенно увеличить шаг.

283

284

е

Р

У

Обычно решение строится в два этапа. Сначала по явной схеме

Т

Поскольку эти точки определяют границы области a < x < b, в кото-

определяют прогноз ui+1, например, по формуле Адамса – Башфор-

рой обычно и отыскивается решение, поставленные в них дополнитель-

та. На втором этапе производится коррекция ui+1 по неявной фор-

ные условия называют граничными или краевыми. В инженерной прак-

муле. Далее, многократно используя неявную формулу, можно до-

А

тике, например, такая задача может быть связана срасчетом прогиба

полнительно уточнять ui+1 подобно тому, как это делается в методе

стержняпризаданномспособезакрепленияегоконцов.

простой итерации. Но обычно ограничиваются единственной ите-

Г

Одним из методов решения краевой задачи является метод

рацией. Описанный алгоритм многошаговых методов получил на-

конечных разностей. Этот метод будет рассмотрен в следующей

звание метода прогноза и коррекции.

лабораторной работе. Другим способом решения краевой задачи

6.3.3.4. Общая характеристика многошаговых методов

является ее приведение к задаче Коши путем замены дополни-

тельных условий. Рассмотрим метод стрельбы, использующий

По сравнению с одношаговыми методами многошаговые ме-

этот подход.

тоды требуют меньшего объема вычислений (сравните формулы

6.3.4.2. Метод стрельбы

Рунге – Кутта и Адамса – Башфорта). К недостаткам многошаго-

вых методов относится трудность смены шага, так как расчетные

ИтакБ, если дана краевая задача, например, в вышеприведенной

формулы не учитывают эту возможность.

Данная проблема ре-

формулировке, то в методе стрельбы она заменяется задачей Коши

шена в многозначных методах, использующих иную экстраполя-

для того же уравнения (6.60) но с начальными условиями:

цию решения.

р

й

Кроме того, многошаговые методы не обладают свойством са-

du

мостартования, так как требуют задания ряда предыдущих точек.

и

u(a)=A,

= k = tgθ

(6.62)

dx

В то же время любой из одношаговых методов способен стартовать

Здесь u(a) – точка,

которая является началом кривой решения

из единственной начальной точки.

u(x) дифференциального уравнения, θ – угол наклона касательной

6.3.4. Краевая задача и метод стрельбы

к этой кривой в начальной точке.

6.3.4.1. Краевая задача

и

Считая решение задачи Коши зависящим от начального условия

обыкновенногоо

du = tgθ, будем подбирать такое значение θ,

при котором кривая

В краевой задаче требуется

найти решен е

дифференциального уравнения с дополнительными услов ями,

dx

заданными при нескольких

различных

начен

ях не

тав с мой

решения u(x) в точке

b даст

совпадающий

с (6.61) результат

переменной.

u ( b ) = B. Если это условие будет выполнено,

то решение задачи

Коши совпадет с решением краевой задачи.

Например, для обыкновенного дифференциального уравнения

Применительно к описанному подходу называние «метод

второго порядка:

з

п

стрельбы» вполне оправдано, поскольку в нем производится

d 2u (x)

du

как бы «пристрелка»

по углу наклона кривой u(x) в началь-

= f

x,u,

,

(6.60)

ной точке.

dx

2

dx

е

x = a и x = b:

Чтобы сократить количество попыток при поиске решения u(x),

эти условия задаются в двух разных т

применяют различные стратегии подбора параметра θ. Например,

очках

u(a)= A, и u(b)=B.

(6.61)

при использовании метода половинного деления действуют следую-

Р

щим образом. Вначале выполняют два пробных расчета при значе-

285

286

ниях параметра θ равных θ1 и θ2 . Эти значения выбирают таким

У

Подставляя в это выражение при x = a значения u1(a) = A и при

образом, чтобы при θ = θ1 решение давало в точке x = b «перелет»,

x = b значения u 1( b ) = B 1, u 2( b ) = B 2 нетрудно убедиться, что оно

удовлетворяет обоим исходным граничным условиям задачи.

то есть u(b) > B, а при θ = θ2 – «недолет», то есть u(b) < B.

Далее,

используя

в

начальном

условии

(6.61)

значение

6.4. Решение дифференциальных уравнений

Г

θ1 =

θ1 + θ2

,

вновь численно решают задачу Коши.

Из трех полу-

в частных производныхТ

2

6.4.1. Краткие теоретические сведения

ченных решений отбрасывают то, которое дает в точке x = b наи-

большее отклонение от B. Затем от двух оставшихся значений па-

Б

А

раметра

θ

находят

среднее

θ4

и

вновь

выполняют

с этим

ольшое число

задач,

связанных

с

анализом

физических

значением расчет.

(и не только физических) полей описываются дифференциальными

уравнениями в частных производных. К сожалению, во многих

Повторение описанного процесса

прекращают,

когда раз-

й

ность двух

последовательно

найденных значений

θ

станет

случаях, представляющих практический интерес, найти аналитиче-

меньше некоторого заданного малого числа или достаточно

и

ское решение таких задач трудно или практически невозможно.

Это обычно обусловлено сложной формой или неоднородностью

малым будет отклонение u(b) от B. Подобный алгоритм может

сво ств области, в которой отыскивается решение.

быть построен и с использованием метода Ньютона.

Однако результат можно получить численно с помощью ком-

пьютера. Подходы к решению

дифференциальных

уравнений

6.3.4.3. Метод стрельбы

по

с частными производными определяются их математической фор-

мой. Поэтому рассмотрим классификацию уравнений с этой точки

dx

dx

для линейного дифференциального уравнения

зрения.

Если обыкновенное дифференциальное уравнение втор го -

р

рядка является линейным, при граничных условиях:

6.4.2. Классификация уравнений по математической форме

d

2

u(2x) = f1 (x)du + f2

(x)u + f3 (x),

Во многих случаях для описания физических процессов исполь-

(6.63)

зуют уравнения с частными производными до второго порядка

т

включительно.

Так, например, изучение свободных колебаний различной при-

то поиск решения методом стрельбы существенно упрощается.

роды приводит к волновым уравнениям вида:

u

x

=

1

B − B

u

x

то+ B − B u x .

(6.64)

x , у, z – координаты;

Выполнив два «пристрелочных» расчета при

θ1

θ2

, как это

было описано

ранее,

получим

два

решения

u1(x)

u2(x). Если

∂

u ∂

u ∂

u

1 ∂

u

и

2

2

2

2

u1(b) = B1 и u2(b) = B2, причем B ≠ B

2

,

решением краевой зада-

2 +

2 +

2

−

2

2 = 0,

1

з

п

∂x

∂y

∂z

c

∂t

(6.65)

чи будет линейная комбинация двух решений:

е

где u(x,y,z,t) – функция, описывающая волновой процесс;

(

)

B1 − B2

((

2 )

1 (

)

( 1

)

2 (

))