учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

Переход к эквивалентной системе неравенств

Идея этого метода состоит в следующем. Отыскивается некото-

Знак неравенства можно поменять на обратный, меняя знаки

рая вершина многогранника G и все ребра, выходящие из этой вер-

свободного члена и коэффициентов. Например, ограничение:

шины. Далее

перемещаются вдоль того из

ребер, по которому

У

a11x1 +…a1nxn ≤ b1;

функция убывает (при поиске минимума), и попадают в следую-

щую вершину. Находят выходящие из нее ребра и повторяют про-

можно заменить условием:

цесс. Когда приходят в такую вершину, в которой вдоль всех выхо-

дящих из

нее

Т

то минимум найден.

–a11x1 +…– a1nxn ≤ –b1.

ребер функция

возрастает,

Отметим,

что,

выбирая одно ребро,

исключают из рассмотрения

Переход от ограничения-неравенства к равенству.

вершины, лежащие на остальных траекториях. В результате коли-

Для этого необходимо ввести дополнительную неотрицательную

А

чество рассматриваемых вершин резко сокращается и оказывается

переменную. Так, условие:

посильным для ЭВМ. Симплекс-метод весьма эффективен и широ-

Г

a1x1 +…anxn ≤ b,

ко применяется для решения задач линейного программирования.

эквивалентно двум ограничениям:

7.2.1. Транспортная задача линейного программирования

–a11x1+…–a1nxn+xn+1

b; xn+1 ≥b1.

Б

7.2.1.1. Постановка задачи

Представление ограничения-равенства парой неравенств.

Транспортная задача является частным типом задачи линейного

Ограничение:

программирования и формулируется следующим образом. Имеется

alx1 +… anxn b,

й

и

m пунктов отправления (или пунктов производства) Аi …, Аm, в ко-

можно представить парой условий:

торых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве

a1, ..., аm единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов по-

требления) В1, ..., Вm, потребность которых в указанных продуктах

a11x1 +… a1nxn ≤ b1;

р

составляет b1, ..., bn единиц. Известны также транспортные расходы

a11x1 +…–a1nxn ≤ –b1.

Сij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта Ai в пункт

Переход к неотрицательным переменным

о

Вj, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что

m

n

Если на знак переменной хi не наложено огран чен й, можно

b

заменить ее разностью двух неотрицательных переменных:

a =

∑

j ,

(7.24)

т

∑ i

xi

xn+2 – xn+1, xn+1 ≥ 0; xn+2

≥ 0.

и

i=1

j=1

т. е. общий объем производства равен общему объему потребления.

Переход от переменных, ограниченных сни у, к неотрица-

Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько

тельным переменным

з

единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов

Если переменная

ограничена снизу

хi

≥bi

то, заменив ее

потребления за счет реализации всего продукта, произведенного

по формуле хi уi + bi

к задаче с не трицательной пере-

всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости

менной уi > 0.

о

всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи

Наиболее употребит льным числ нным методом решения задач

называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту

линейного программирования явля тся симплекс-метод.

задачу.

п

361

362

переходим

Р

Пусть хij – количество единиц продукта, поставляемого из пунк-

Задачи транспортного типа широко распространены в практике.

та Аi в пункт Вj. Подлежащие минимизации суммарные затраты

Кроме того, к ним сводятся многие другие задачи линейного про-

на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пунк-

граммирования – задачи о назначениях, сетевые, календарного пла-

ты потребления выражаются формулой:

нирования.

У

Как одна из задач линейного программирования транспорт-

m

n

ная задача принципиально может быть решена универсальным

∑∑Cij xij .

(7.25)

Т

методом решения любой задачи линейного программирования,

i=1

j=1

но этот метод не учитывает специфики условий транспортной

задачи. Поэтому решение ее симплекс-методом оказывается

Суммарное количество продукта, направляемого из каждого

А

слишком громоздким.

пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно

Структура ограничений задачи учитывается в ряде специаль-

запасу продукта в данном пункте. Формально это означает, что

Г

ных вычислительных методов ее решения. Рассмотрим некоторые

n

из них. Предварительно сделаем следующее замечание. Открытая

транспортная модель может быть приведена к замкнутой модели

∑xij

= ai ,

i =1, ... , m.

(7.26)

добавлениемБфиктивного

пункта отправления (потребления),

j=1

от которого поступает весь недостающий продукт или в который

Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт на-

свозится весь избыточный запас. Стоимость перевозок между ре-

альными пунктами и фиктивным принимается равной нулю.

значения из всех пунктов отправления, должно быть равно потреб-

й

ности. Это условие полного удовлетворения спроса:

и

Вследствие простоты перехода от открытой модели к замкнутой

в дальнейшем рассматриваются методы решения замкнутой моде-

n

ли транспортной задачи.

∑xij

= bj ,

j =1, ... , n.

(7.27)

р

j=1

7.2.1.2. Венгерский метод

Объемы перевозок – неотрицательные числа, так как перев зки

из пунктов потребления в пункты производства

:

о

Идея метода была высказана венгерским математиком Эгер-

xij ≥ 0, i 1, ..., m; j 1, ..., n.

вари и состоит в следующем. Строится начальный план пере-

(7.28)

возок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям за-

Транспортная задача сводится к минимизации суммарныхатратпри

дачи (из некоторых пунктов производства не весь продукт

выполнении условий полного удовлетворения

равенства выво-

вывозится, потребность части пунктов потребления не полно-

зимогоколичествапродуктазапасамеговпунктахотправления.

стью удовлетворена). Далее осуществляется переход к новому

исключены

плану, более близкому

к оптимальному.

Последовательное

В ряде случаев не требуется, чтобы весь пр и веденный продукт

в каждом пункте производства был реализ ван. В таких случаях ба-

применение этого приема за конечное число итераций приво-

з

дит к решению задачи.

ланс производства и потребления м жет быть нарушен:

метода состоит из

подготовительного

n

i =1,спроса... , m.

Алгоритм венгерского

этапа и из конечного числа итераций. На подготовительном этапе

∑xij

≤ ai ,

(7.29)

строится матрица X0 = (xij[0])m,n, элементы которой неотрицательны

j=1

и удовлетворяют неравенствам:

Введениеэтогоусловияприводиткоткрытойтранспортноймодели.

п

363

364

е

Р

У

n

число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По до-

∑xij [0]≤ ai ,

i =1, ... , m.

(7.30)

пустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число,

j=1

называемое его предварительным потенциалом. Пунктам Аi соот-

А

– числа vj. Они выбираются таким

m

ветствуют числа ui, пунктам Bj

∑xij [0]≤ bj ,

j =1, ... , n.

(7.31)

образом, чтобы их разность на k-й итерации была равна Сij – стои-

Г

i=1

мости перевозки единицы продукции между пунктами Аi и Вj:

Т

Если эти условия являются равенствами, то матрица Х0 – реше-

vj[k] – ui[k] Cij, i 1, ..., m; j 1, …, п.

(7.33)

ние транспортной задачи. Если среди условий имеются неравенст-

Если разность предварительных потенциалов для каждой пары

ва, то осуществляется переход к первой итерации. На k-й итерации

пунктов Аi, Вj не превосходит Сij, то полученный план перевозок

строится матрица Хk

(xij[0])m,n. Близость этой матрицы к решению

является решением задачи. В противном случае указывается способ

задачи характеризует число

k — суммарная невязка матрицы Хk:

получения нового допустимого плана, связанного с меньшими

й

m

n

m

n

транспортными издержками. За конечное число итераций находит-

k

∑ i

∑ j

∑∑ ij

[

]

(7.32)

Б

=

a +

b

− 2

x

k .

ся оптимальный план задачи.

i=1

j=1

i=1 j=1

7.3. Прямые методы условной оптимизации

В результате первой итерации строится матрица Хl, состоящая из

р

неотрицательных элементов. При этом

l

< 0. Если

l 0,

то Хl –

и

7.3.1. Основные определения

оптимальное решение задачи. Если

l

>0, то переходят к следую-

Задача условной оптимизации заключается в поиске минималь-

щей итерации. Они проводятся до тех пор, пока

k при некотором k

ного или максимального значения скалярной функции f(x) n-

не станет равным нулю. Соответствующая матрица Хk является ре-

мерного векторного аргументах (в дальнейшем без ограничения

шением транспортной задачи.

общности будут рассматриваться задачи поиска минимального зна-

Венгерский метод наиболее эффективен при решении

-

чения функции):

→ min ,

портных задач с целочисленными объемами производс ва и -

f(x)

(7.34)

и

требления. В этом случае число итераций не превышает величины

при ограничениях:

0/2 ( 0 – суммарная невязка подготовительного этапа).

по

gi(x) 0, i 1, ..., k;

Достоинством венгерского метода является

ь оцен ва ь

возможнос

hj(x) ≤ 0, j 1, .., m;

(7.35)

близость результата каждой из итераций к оптимальному планутрансперево-

зок. Это позволяетконтролироватьпроцесс вычислен й

прекрат тьего

a ≤ x ≤ b.

Метод

потенциалов

модификациейсимплекс-метода

x = …,

a

= … ,

b =

….

(7.36)

при достижении определенных точностных пока ателей. Данное свойст-

Здесь x, a, b – векторы-столбцы:

восущественнодлязадачбольшойразмерн сти.

x1

a1

b1

оптимальное

7.2.1.3. Метод потенциалов

x2

a2

b2

решения

задачи

является

применительно

лин йного рограммирования

xn

an

bn

к транспортной задаче. Он

озволя

,

от

равляясь от некоторого

Р

допустимого решения,

получить

решение за конечное

365

366

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией.

7.3.2. Метод проекции градиента

Каждая точка x в n-мерном пространстве переменных x1, ..., х, в ко-

Рассмотрим данный метод применительно к задаче оптимизации

торой выполняются ограничения задачи, называется допустимой

с ограничениями-неравенствами. В качестве начальной выбирается

точкой задачи. Множество всех допустимых точек называется до-

У

некоторая

точка допустимой области G. Если х[0] –

внутренняя

пустимой областью G . Будем считать, что это множество не пус-

точка множества G (рис. 7.11), то рассматриваемый метод является

то. Решением задачи считается допустимая точка х*, в которой це-

Т

левая функция f(х) достигает своего минимального значения.

обычным градиентным методом:

x[k + l]

x[k] –akf'(x[k]), k = 0, 1, 2, ...,

(7.38)

Вектор х* называют оптимальным. Если целевая функция f(x) и ог-

раничения задачи представляют собой линейные функции незави-

А

T

симых переменных х1, ..., хn, то соответствующая задача является

где f ′(x[k]) = ∂f (x[k])

,…,

∂f (x[k])

(7.39) –

градиент

целевой

задачей линейного программировании, в противном случае – зада-

∂x1

∂xn

чей нелинейного программирования. В дальнейшем будем полагать,

Г

функции f(х) в точке x[k].

что функции f(x), g(x), i 1, ..., k , hj(x), j 1, …, m, – непрерывные

и дифференцируемые.

Б

В общем случае численные методы решения задач нелинейного

программирования можно разделить на прямые и непрямые. Пря-

После выхода на границу области G в некоторой граничной точ-

ке х[k] , k 0, 1, 2,..., движение в направлении антиградиента –

мые методы оперируют непосредственно с исходными задачами

f’(х[k]) может вывести за пределы допустимого множества (см. рис.

оптимизации и генерируют последовательности точек {x[k]}, таких

7.11). Поэтому антиградиент проецируется на линейное многообра-

что f(х[k + 1])<(x[k]). В силу этого такие методы часто называют

й

и

з е М, аппроксимирующее участок границы в окрестности точки

методами спуска. Математически переход на некотором k-ом шаге

х[k]. Двигаясь в направлении проекции вектора –f'(x[k]) на много-

(k

0, 1, 2, ...)

от точки х[k]

к

точке x[k + 1] можно записать

образие

М, отыскивают

новую

точку

х[k + 1],

в

которой

в следующем виде:

р

f(х[k + 1]) < f(x[k]),

принимают х[k + 1] за исходное приближение

x[k + l] x[k] + akp[k] ,

(7.37)

и продолжают процесс. Проведем более подробный анализ данной

процедуры.

где р[k] – вектор, определяющий направление спуска; аk – длина

шага вдоль данного направления.

При этом в одн х алгор

о

мах

прямых методов точки х[k]

выбираются так, чтобы для н х вы-

т

полнялись все ограничения задачи, в других эти огран чен

я мо-

гут нарушаться на некоторых или всех итерац ях. Так м обра-

зом,

в прямых

методах

при

выб ре

направленияиспуска

ограничения, определяющий

допустимую

бласть G, учиты-

ваются в явном виде.

з

Непрямые методы сводят исходную задачу нелинейного про-

граммирования к последовательности задач безусловной оптимиза-

Рис. 7.12. Геометрическая интерпретация метода проекции градиента

о

ции некоторых вспомогат льных функций. При этих методах огра-

В точке х[k] часть ограничений-неравенств удовлетворяется как

ничения исходной задачи учитываются в неявном виде.

равенство:

Рассмотрим некоторые алгоритмы

методов.

прямых

367

368

е

Р

У

hi(x) 0, j 1, ..., l; l<m.

Т

Эти условия означают, что антиградиент ( –f’(х[k])) целевой

Такие ограничения называют активными.

функции является линейной комбинацией с неотрицательными ко-

эффициентами градиентов ограничений hj(x) 0.

А

Обозначим через J набор индексов j(1 ≤ j

≤ l) этих ограничений.

В соответствии с изложенным, алгоритм метода проекции гра-

Их уравнения соответствуют гиперповерхностям, образующим грани-

диента состоит из следующих операций.

цу области G в окрестности точки х[k] . В общем случае эта граница

1.

В точке х[k] определяется направление спуска р[k].

является нелинейной (см. рис. 3.1). Ограничения hj(x), j J, аппрок-

2.

Находится величина шага аk.

симируются гиперплоскостями, касательными к ним в точке х[k]:

3.

Определяется новое приближение х[k + 1].

Рассмотрим детально каждую из этих операций.

∂hi (x[k])

N

(xi − xi [k]) = 0,

1. Определение направления спуска состоит в следующем.

∑

j J.

Пусть найдена некоторая точка х[k] G и известен набор актив-

=

∂x

(7.39)

Г

i 1

ных ограничений hi(х[k]) 0, j J. На основании данной инфор-

й

Полученные

гиперплоскости ограничивают некоторый много-

мации вычисляют ( –f'(х[k])) и определяют проекцию Р[ –f'(х[k])].

гранник М, аппроксимирующий допустимую область G в окрестно-

При этом возможны два случая:

сти точки х[k] (см. рис. 7.11).

и

−

БР[ –f'(х[k])] не равна 0. В качестве направления спуска р[k]

принимают полученную проекцию;

Проекция р[k] антиградиента – f'(x[k]) на многогранник вычис-

−

Р[ –f'(х[k])] 0, т. е.

ляется по формуле:

р

p[k] P[ –f'(x[k])].

(7.40)

l

− f ′(x[k]) = ∑u jaj .

(7.46)

Здесь Р – оператор ортогонального проектирования, определяе-

j=1

мый выражением:

Данное выражение представляет собой систему из п уравнений

Р E – AT(AAT)–1A,

(7.41)

для определения коэффициентов иj. Если все иj ≥0, j J, то в соот-

где Е – единичная матрица размеров п; А – матрица размер в lхn .

ветствии с вышеизложенным точка х[k] является решением задачи.

Если же некоторый компонент иq <0, то соответствующий ему гра-

решением

некоторого положительного числа ε. Считают, что точка х удовле-

Она образуется транспонированными векторами-градиен ами аj, j

1, ..., l, активных ограничений. Далее осуществляется спуск вовы-

диент выводится из матрицы А и порождается новая проецирующая

бранном направлении:

т

матрица Р. Она определит новое направление спуска.

Для определения величины шага аk целевая функция минимизиру-

x[k + 1] x[k] + akp[k].

(7.42)

ется по направлению р[k] при условии соблюдения ограничений за-

Можно показать, что точка х[k + 1] является

задачи

дачи с установленной точностью. Последняя задается введением

минимизации функции f(х) в области G т гда и т лько тогда, когда:

Р[ –f'(x[k])] 0,

з

(7.43)

творяет условиям задачи с заданной точностью, если hi(х)

≤ ε,

− f ′(x

l

j 1, ..., m. Величина шага аk определяется решением задачи вида:

т. е.

[k]) = ∑u j aj

(7.44)

f(x[k] + ар[k]) > min;

(7.47)

е

j=1

hj(x[k] + ар[k]) ε, j 1, ..., m.

(7.48)

и

u

о

(7.45)

(u1, ..., ul) = (ATA)–1AT( –f’(х[k])) > 0.

Определение нового приближения состоит в следующем. Очеред-

Р

п

ная точка вычисляется по формуле: