учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

Вычисления с матрицами

А =

У

Основные приемы работы с матрицами рассмотрим на следую-

–1

1

2

щих примерах.

3

–1

1

А

1.

Задать матрицу-строку:

–1

3

4

>> s1=[1 3 2 ]

7.

Выделить заданный столбец матрицы

Г

Т

s1 =

>>А( : , 1 )

1 3 2

ans =

2.

Задать матрицу-столбец:

–1

>> s2=[2;1;–1]

>>Б

3

s 2 =

–1

Выделить заданную строку матрицы

2

8.

1

>>А( 2 , : )

ans =

–1

3

–1

1

3.

Задать одномерную

матрицу-строку,

содержащую

числа

и

от 0 до 10 с шагом 0,1.

9.

Выделить определитель матрицы

В конце команды вставить точку с запятой, чтобы созданная

>> det(А)

матрица (в рассматриваемом примере из 101 элемента) не выводи-

ans =

лась на экран.

р

й

>> dialр=0:0.1:10;

10. Вычислить обратную матрицу

>>

inv (А)

4.

Вычислить скалярное произведение векторов

ans =

>> a=[1 2 3];

−0.7000

0.2000

0.3000

>> b=[3 2 1];

т

>> a* b'

−1.3000

−0.200

0.7000

ans = 10

ыми

0.80000

0.20000

− 0.200

В соответствии с правилами умножения матриц,

в линейной алгебре, можно умножать вектор-строку на век ор-

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

столбец, поэтому, для вычисления скалярного про зведен я

A × X = B.

необходимо, как видно, предварительно транспон ровать век-

о

приня

тор b: «'» – символ транспонирования.

Для решения системы уравнений следует вычислить столбец

5.

Поэлементное умножение вект р в

значений переменных Х следующим образом: Х = A–1 B, где А –

>> a=[1 2 3 ] ;

п

з

матрица коэффициентов уравнений (А–1 – обратная матрица), B –

> > b =[3 2 1 ] ;

столбец правых частей уравнений. Для проверки полученного ре-

> > а. * b

е

шения необходимо перемножить матрицы А и Х: в результате по-

ans =

лучиться вектор правых частей уравнений B.

3 4 3

Построение графиков

графиков вида y = f(x) применяется

6.

Создать матрицу

Для

построения

простых

Р

функция рlot(х,у,'строка'), где х и у – матрицы (обычно одномер-

>> А=[–1 1 2 ; 3 –1 1 ;

–1 3 4 ]

101

102

У

ные), задающие координаты точек, по которым строится график;

Т

готовки текста нового М-файла следует использовать команду

'строка' – набор управляющих символов, задающих вид линии гра-

File, New, M-file, для загрузки существующего М-файла и его

фика (необязателен). Кроме того, в окне графика имеется собствен-

последующего редактирования – команду File, Open. В MatLab

ная система меню для настройки его внешнего вида. Можно также

А

имеются два основных вида М-файлов: файлы-сценарии и фай-

построить в одном окне графики несколько графиков.

лы-функции.

Пример. Построить график функции

Г

Файлы-сценарии

y = 0,25 + sin(x) – 1

Файл-сценарий представляет собой набор команд MatLab, со-

для значений аргумента от 0 до 10.

храненный в файле. После того, как файл-сценарий подготовлен

Решение.

и сохранен, для его выполнения требуется указать имя данного

Получить массив значений переменной 0 от 0 до 10 с шагом 0,1.

файла-сценария в командном окне или в другом М-файле. Файл-

Для этого ввести: х = 0:0.1:10; (точка с запятой требуется, чтобы на

сценарий не имеет входных или выходных параметров. При выпол-

экран не выводились все полученные величины).

нении файла-cценария используются и изменяются переменные ра-

Получить массив соответствующих значений переменной у:

бочей

области, как если бы команды, составляющие файл-

y = 0,25 + sin(x) – 1.

сценарий, просто вводились в командном окне.

Для построения графика ввести: plot(x,y).

ПримерБ. Разработать файл-сценарий для выделения последнего

Построение трехмерных графиков

столбца произвольной матрицы в отдельную матрицу.

В качестве примера построения трехмерных графиков рассмот-

р

Для подготовки текста М-файла требуется выбрать команду File,

рим построение графиков функций z = f(x,y). Такие графики стро-

и

New M-file. Вызывается

редактор для записи текста М-файла.

ятся следующим образом:

В данном примере текст М-файла может быть следующим:

− задаются диапазоны значений переменных х и у;

% Выделение последней строки в отдельную матрицу

− строятся две матрицы значений переменных х и у, состав-

[m,n] = size(a);

ляющие координатную сетку для последующего вычисления функ-

b = a(:,n).

ции z = f(x,y) и построения ее графика. Для этого

Символ % в М-файле является признаком комментария. Функция

функция meshgrid: [х,у] = meshgrid(диапазон_x, диапазон у); ( чка

с запятой в конце строки желательна, так как матрицы координат-

size(имя_матрицы) определяет размеры заданной матрицы. Точнее,

ной сетки х и у, получаемые в результате

пр менен я функц

результатом выполнения

функции size является матрица (строка)

meshgrid, обычно достаточно велики);

о

из двух элементов, первый из которых – количество строк заданной

− вычисляются значения функции z = f(x,y) (матр ца z);

матрицы, второй

количество столбцов. В результате переменная

− строится график функции z = f(x,y): plot3(x,y,z).

используется

m получит значение, равное количеству строк матрицы а, а перемен-

ная n – количеству ее столбцов. Последняя команда в файле-

и

Основы программирования в MatLab

сценарии выделяет из матрицы с именем а последний столбец.

Система компьютерной математики MatLab имеет собственный

Для сохранения М-файла выбирается команда File, Save, в кото-

рой указывается имя. После сохранения М-файла можно закрыть

з

язык программирования высокого ур вня, включающий как стан-

окно редактора и вернуться в командное окно.

дартные возможности традиционных язык в пр граммирования,

Прежде чем использовать созданную программу-сценарий, не-

так и собственно математические возможностиоMatLab.

обходимо создать матрицу с именем а, которая будет обрабаты-

Файлы с текстами программ сохраняются в MatLab с рас-

ваться с помощью этого сценария. Например, введем в командном

ширением *.m и, как правило, называются М-файлами. Для под-

окне следующую

матрицу из трех строк и четырех столбцов:

п

103

104

е

Р

У

а = [5,8,5,7; 3,1,9,5; 5,9,6,1]. Матрица, которую предполагается

команды

Т

обрабатывать с помощью созданного файла-сценария, должна

end

иметь имя а, так как это имя указано в файле-сценарии. Чтобы вы-

Если шаг равен единице, то его можно не указывать.

делить из введенной матрицы последний столбец в отдельную мат-

А

Оператор цикла "пока":

рицу, требуется ввести в командном окне имя файла-сценария, т. е.

while условие

слово stolbec. В результате выполнения файла-сценария в рабочей

Г

команды

области создаются три новые переменные: m = 3, n = 5, b = [7; 5; 1].

end

Если до выполнения файла-сценария переменные с такими именами

Для прерывания цикла используется команда break.

уже имелись в рабочей области, то их прежние значения теряются.

Переключатель:

Файлы-функции

switch выражение

Файл-функция представляет собой программу, обычно имею-

case значение 1

щую входные и выходные параметры. Файл-функция обрабатывает

команды 1

величины, переданные ему в качестве входных параметров, и воз-

й

case значение_2

вращает переменные, указанные как выходные параметры.

команды 2

При выполнении файла-функции переменные рабочей области

и

otherwiseБ

не изменяются и не используются: все переменные файла-функции

команды

локальны. Например, если в рабочей области имеется переменная

р

end

с именем х, и в файле-функции имеется переменная с тем же име-

Если выражение равно значению_1, то выполняются команды_1;

нем, то любые операции с переменной х в файле-функции никак

если выражение равно значению_2, то выполняются команды_2

не влияют на ее значение в рабочей области (конечно, если при вы-

т. д. Если выражение не равно ни одному из указанных значений,

о

то выполняются команды, указанные после слова otherwise.

зове файла-функции переменная х не была указана в качестве вы-

ходного параметра).

Команда ввода (ввод значения переменной x):

Основные управляющие структуры для программ в MatLab

х=input('Введите переменную:');

Основные конструкции, используемые для управления вып л-

Команда вывода (вывод значения переменной у):

нением программы в MatLab, подобны аналогичным конс рукциям

disp('Значение Y равно ') ; disp(y)

в алгоритмических языках программирования Fortran, Pascal др.

Условный оператор:

т

Решение алгебраических и дифференциальных уравнений

if условие_1

Функция для решения алгебраических уравнений

команды_1

и

о

Основная функция для решения алгебраических уравнений вида

elseif условие_2

f(х)=0 функция zero. Она может применяться в двух формах:

команды_2

fzero('уравнение', начальная_точка)

else

п

з

или

команды_3

fzero('уравнение', [а, b]),

end

мые

Здесь команды_1, команды 2 и команды 3 – произвольные набо-

где 'уравнение' – левая часть решаемого уравнения f(x)=0 или имя

ры команд MatLab, выполня

ри соответствующих условиях.

М-файла, реализующего функцию f(x); начальная_точка – значение

Оператор цикла "до":

переменной, в окрестности которого ищется решение; a, b – границы

Р

for переменная=начальное знач ние : шаг : конечное_значение

105

106

отрезка, на котором ищется решение, при этом величины f(a)и f(b)

fminbnd('функция', a, b),

должны иметь разные знаки. Если уравнение имеет несколько ре-

где 'функция ' – функция f(x), для которой требуется найти мини-

шений, то функция fzero находит лишь одно из них. Другие реше-

мум, или имя М-файла, реализующего эту функцию;

ния требуется определять, изменяя значения начальной точки или

У

a, b – границы отрезка, на котором ищется минимум.

границы отрезка (а или b).

Если функция y = f(x) имеет несколько минимумов, то

Решение систем алгебраических уравнений

Т

функция fminbnd находят лишь один из них. Другие миниму-

Основная функция для решения систем алгебраических уравне-

мы требуется определять, изменяя значения а или b. Если тре-

ний – функция:

буется найти максимум функции y = f(x), то необходимо ис-

fsolve('система_уравнений', начальная_точка),

А

пользовать функции MatLab fminbnd, указав в них функцию

где 'система уравнений' – имя М-файла (функции), реализующего ле-

f(x), умноженную на –1.

вые части уравнений системы; начальная_точка – массив, задающий

Г

Для поиска минимума функций нескольких переменных приме-

начальную точку для поиска решения. Для использования функции

няется функция fminsearch:

fsolve решаемую систему уравнений необходимо преобразовать

Бfminsearch('функция',x0),

к виду, где правые части уравнений представляют собой нули.

Решение дифференциальных уравнений

где 'функция' – функция f(x), для которой требуется найти мини-

мум, или имя М-файла, реализующего эту функцию; x0 – вектор ар-

Для решения дифференциальных уравнений в MATLAB имеется

гументов, с которого начинается поиск экстремума.

ряд специальных функций, называемых решателями. Решатель

й

ode55 вызывается следующим образом:

и

Решение задач линейного программирования

[x,y] = ode55('ду',[xmin, xmax], у0),

Для решения задач линейного программирования в MATLAB

используется функция:

где 'ду' – имя М-файла (функции), реализующего правую часть сис-

р

linprog(f, a, b, ar, br, xmin, xmax),

темы дифференциальных уравнений; xmin, xmax – границы диапа-

зона значений независимой переменной; у0 – массив начальных ус-

где f – массив-столбец коэффициентов целевой функции, подлежа-

ловий для функций у1, у2, ... , уn.

о

щей минимизации;

а – матрица коэффициентов ограничений-неравенств, имеющих

Выходные параметры решателя ode55 имеют следующ й смысл:

х – массив-столбец значений независимой переменной;

т

вид «меньше или равно» (коэффициенты каждого ограничения ука-

зываются в отдельной строке матрицы);

у – матрица из n столбцов, представляющих собой наборы зна-

чений переменных у1, у2, ..., уn, полученные по ре ультатам решен я

b – массив-столбец правых частей ограничений-неравенств;

системы дифференциальных уравнений. Каждый ст лбец содержит

аr – матрица коэффициентов ограничений-равенств (коэффици-

набор значений одной переменной.

и

ентыкаждогоограниченияуказываютсявотдельнойстрокематрицы);

з

Поиск экстремумов функций.

br – массив-столбец правых частей ограничений-равенств;

пр граммирования

xmin – массив-столбец ограничений на минимальные значения

Решение задач линейного и нелинейн

переменных;

Поиск экстремумов функций

го

хmах – массив-столбец ограничений на максимальные значения

Для поиска минимумов функций одной

еременной y = f(x) ис-

переменных.

пользуются функция MATLAB:

п

107

108

е

Р

У

Большой класс практических задач оптимизации может быть

Т

3) ограничения по спросу:

сведен к решению задачи линейного программирования.

х2 – x1 ≤ 1,

(2.4)

Пример. Молочный завод выпускает два вида молочных продук-

А

≤ 2.

(2.5)

тов 1 и 2, для чего используются два исходных вида сырья – А и B.

x2

Очевидно, должно также выполняться условие неотрицательности

Суточные запасы этих видов

сырья составляют

соответственно

6 и 8 т. Расходы сырья А и В на 1 т соответствующих продуктов

параметров:

приведены в табл. 2.1.

x1 ≥ 0 ;

x2 ≥ 0.

(2.6)

Таблица 2.1

Как видно, рассматриваемая математическая модель записыва-

ется в форме общей задачи линейного программирования: найти

значения оптимизируемых параметров x1 и x2, обеспечивающие

Исходный вид

Расход исходных видов сырья

Г

на 1 т продуктов, т

Запас сырья, т

максимум целевой функции 2.1 при ограничениях 2.2–2.5, а также

й

сырья

при ограничениях на не отрицательность параметров 2.6.

Решение задачи в системе MatLab

Продукт 1

Продукт 2

и

ДляБрешения задач линейного программирования применим

А

1

2

6

процедуру linprog

прикладного пакета Optimization Toolbox сис-

В

2

1

8

р

темы MatLab. Процедура имеет много вариантов обращения и мо-

жет использовать различные алгоритмы.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на продукт

Процедура решает задачу:

Aeq x = beq;

1

2

про

2 не превышает спроса на продукт 1 более чем на 1 т и, кроме того,

min S(x) ,

не превышает 2 т. Прибыль от продукта 1 составляет 3000 ден.ед./т,

x

от продукта 2 – 2000 ден.ед./т. Требуется определить, какое к личе-

lb ≤ x ≤ ub,

Целевой функцией S является прибыль:

получить

ство продуктов каждого вида следует производить, чтобы

при ограничениях:

максимальную прибыль.

и

A x ≤ b;

Построение математической модели задачи

Обозначим через x

и x (т)

суточный обьем про зводс ва

-

дуктов 1 и 2 соответственно.

S = (3x1 + 2x2) 1000 → max.

(2.1)

где S, x, b, beq, lb и ub – векторы, а A и Aeq – матрицы.

Запишем условие задачи в виде системы граничений:

Наиболее простая форма обращения:

1) ограничение по сырью А:

п

з

x1 + 2x2 ≤ 6,

(2.2)

x = linprog(S,A,b,Aeq,beq),

е

о

а наиболее полная:

2) ограничение по сырью В:

2x1 + x2 ≤ 8,

(2.3)

[x,Sval,exitflag,output,lambda] =

Р

= linprog(S,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options).

109

110

У

Для рассматриваемой задачи достаточно:

Т

Таким образом, первый продукт должен производиться в объеме

[x,Sval] = linprog(S,A,b,Aeq,beq,lb).

3,3333 т,

а второй –

1,3333 т. При

этом прибыль составит

12,6667 тыс. ден. ед. и будет максимальной.

Здесь Sval – значение целевой функции.

Решение задач нелинейного программирования

Для решения задач нелинейного программирования в MatLab

Если необходимо найти максимум целевой функции, то ее ко-

Г

эффициенты следует взять с обратным знаком. Если в огра-

используется функция:

ничениях неравенств стоят знаки ≥, то знаки левых и правых частей

fmincon('ц ф',х0, a, b, ar, br,xmin, xmax, 'н_о'),

неравенств следует взять с обратным знаком.

Б

где 'ц ф'

– целеваяАфункция или имя М-файла, реализующего эту

Рассмотренный пример может быть решен с помощью следую-

функцию;

щего сценария:

х0 –

массив-строка,

задающий начальные значения пере-

function optim

менных;

% ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

а – матрица коэффициентов линейных ограничений-неравенств

% ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

и

(коэффициенты каждого ограничения указываются в отдельной

% S = (3*X(1) + 2*X(2))*1000 →max

строке матрицы);

% ОГРАНИЧЕНИЯ

b – массив-столбец правых частей линейных ограничений нера-

% X(1) + 2*X(2) <= 6

р

венств;

% 2*X(1) + X(2) <= 8

йаr – матрица коэффициентов линейных ограничений-равенств

% X(2) – X(1) <= 1

(коэффициенты каждого ограничения указываются в отдельной

% X(2) <= 2

строке матрицы);

% X(1) >= 0; X(2) >= 0

br – массив-столбец правых частей линейных ограничений-

%

т

равенств;

S = [–3; –2];

о

xmin – массив-столбец ограничений на минимальные значения

A = [1 2

и

переменных;

2 1

xmax – массив-столбец ограничений на максимальные значения

–1 1

переменных;

0 1];

'н_о' – имя М-файла (функции), реализующего нелинейные ог-

b = [6; 8; 1; 2];

раничения задачи.

lb = zeros(2,1); % ФОРМИРОВАНИЕ ВЕКТОРА [0; 0]

[x,Sval] = linprog(S,A,b,[],[],lb)

з

Моделирование динамических систем в пакете Simulink

Результат будет в виде:

п

Основные сведения о системе Simulink

Система Simulink предназначена для моделирования динами-

Optimization terminated successfully.

x =

о

ческих систем, состояние которых изменяется во времени. Сис-

3.3333

е

тема Simulink может применяться для моделирования самых раз-

1.3333

нообразных объектов и процессов: электрических схем, систем

Sval =

передачи и обработки сигналов, механизмов, тепловых процес-

–12.6667

Р

сов и т. д. Модель в системе Simulink

строится в виде набора

111

112

У

стандартных блоков, описывающих моделируемый объект или

Т

Необходимые блоки перетаскиваются из библиотек в окно модели

явление. На основе такой модели система Simulink автоматиче-

с помощью мыши.

ски строит описание объекта моделирования в виде систем диф-

Двойной щелчок мыши по любому из блоков,

размещенных

ференциальных уравнений, решает эти системы и отображает

А

в окне модели, вызывает на экран окно параметров выбранного

характеристики объекта моделирования.

блока. Эти параметры могут представлять собой, например, ампли-

Для начала работы с системой Simulink требуется в командном

Г

туду и частоту моделируемого сигнала, сопротивление резистора,

окне ввести команду simulink. На экран выводится окно библиотек

формулу математического преобразования и т. д.

Simulink (Simulink Library Browser).

Результаты моделирования не только отображаются на экране

В состав системы Simulink входят основная библиотека блоков

с помощью соответствующих блоков, но и представляются в виде

(собственно Simulink) и ряд специализированных

библиотек.

матриц, которые могут выводиться в рабочую область MATLAB.

Для удобства пользования библиотеки Simulink разбиты на группы

Это позволяет выполнять их дальнейшую обработку, используя все

и подгруппы блоков.

средства MATLAB. Сохранение файла модели осуществляется ко-

Приведем примеры некоторых из них:

мандой File, Save. Файл сохраняется под указанным именем с рас-

1. Sources (источники) – набор блоков, используемых для имита-

ширением MDL.

ции источников моделируемых величин, например: Clock (сигнал,

и

Б

имитирующий

независимую переменную), Constant (постоянный

Контрольные вопросы

сигнал),

Pulse

Generator

(импульсный

сигнал),

Random Number

1.

Каково назначение независимых окон графического интер-

(случайный сигнал), Sine Wave (синусоидальный сигнал), Step (сту-

пенчатый сигнал), From File (ввод величины из файла), From

фейса пользователя MatLab?

Workspace (ввод величины израбочей области MATLAB) и т. д.;

о

2.

Выводится ли результат на экран, если команда завершается

2. Sinks (приемники) – набор блоков, используемых для имитации

р

точкой с запятой?

приема и отображения моделируемых величин, например: Display

3.

Можно ли в качестве разделителя элементов матриц исполь-

(отображение числовой величины), Scope (осциллограф), То File (вы-

зовать запятую?

вод результатов моделирования в файл), То Workspace (выв д ре-

4.

Как построить в одном окне графики нескольких функций?

зультатовмоделирования в рабочую область MATLAB) и

. д.;

5.

Имеет ли файл-сценарий входные или выходные параметры?

ли

6.

В чем особенность поэлементного умножения векторов?

3. Continuous (непрерывные процессы): Derivative (производ-

7.

Для решения дифференциальных уравнений в MatLab имеет-

ная), Integrator (интегрирование), Delay (задержка) т. д.:

4. Math Operations (математические операц

): Add (тсумм ро-

ся

ряд специальных

функций, называемых

решателями.

вание и вычитание входных величин),

Divide (делен е

перемно-

Как называется решатель ode55?

мы), SimPowerSystems (эл ктрот хника электроника) ит. д.

11.

Какой набор блоков используется для имитации приема

жение входных величин),

Gain

(умножение на ч сло

матр цу),

8.

Как выполняется обращение к решателю дифференциальных