учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

У

Сложив (6.82) и (6.84) получим выражение для второй произ-

Т

В зависимости от геометрии и размерности задачи используют

водной:

различные виды конечных элементов (см. рис. 6.7). Чаще всего

∂

u(xi )

u(xi + x)− 2u(xi )+u(xi − x)

x ∂

u(xi )

применяются простейшие элементы – симплексы.

2

=

−

2

4

−….

А

(6.85)

∂x

2

x

2

12

∂x

4

Из сравнения (6.85) и (6.72) видно, что погрешность (8) опреде-

ляется не учтенными в ней слагаемыми высоких порядков, начиная

с

2 x ∂4u(xi

).

Поэтому ошибка (6.72) уменьшается пропорцио-

12

∂x4

Г

нально квадрату x . Данный результат полезно учитывать при вы-

боре

шага

сетки.

Так,

например, уменьшение

вдвое

шага

Б

x =

y = h

приводит к

снижению

ошибки аппроксимации

для

уравнения эллиптического типа в четыре раза.

и

Нельзя утверждать, что уменьшение шага сетки однозначно

повышает точность

решения методом

конечных

разностей.

р

а

б

в

С увеличением количества узлов сетки возрастает объем вычис-

лений и, следовательно, растут вычислительные погрешности.

й

Рис. 6.7. Некоторые виды конечных элементов:

На практике для оценки погрешности решения можно провести

а – омерные; б – двумерные; в – трехмерные

ряд пробных расчетов с разными значениями

о

Количество узлов в симплексе на единицу превышает размер-

шага сетки и вы-

брать вариант,

обеспечивающий приемлемую точность при не-

ность задачи. Для двумерной задачи симплекс-элементом будет яв-

высоких вычислительных затратах.

эта

ляться прямолинейный трехузловой треугольник, а для трехмер-

6.4.4. Основы метода конечных элементов

ной –

прямолинейный четы-рехузловой тетраэдр. Широкое

применение симплексов обусловлено тем, что они позволяют за-

Существуют различные формулировки метода конечных эле-

полнять

расчетную

область произвольной формы

полностью

ментов, различающиеся как в основных, так и в менее знач

ель-

без разрывов, а также на них удобно использовать в качестве ап-

ных деталях. Ограничимся кратким рассмотрен ем основных

-

проксимирующих функций линейные полиномы.

пов решения задачи этим методом.

одобластей(конечных элемен-

Обычно для разбиения расчетной области на элементы исполь-

определенных на конечном

наносятся узлы. Поочередное соединение узлов на первом и втором

6.4.4.1. Формирование сетки

и

зуется специальный алгоритм покрытия, обеспечивающий автома-

тическую генерацию сетки.

Метод конечных элементов основывается на т м, что любое не-

Одна

из таких

процедур работает следующим образом

п

(см. рис. 6.8, а). Вначале производится нанесение с некоторым ша-

прерывное распределение физическ й переменнзй u(x,y,z,t) в рас-

четной области, например деформации или температурного поля,

гом узлов на границу области. После этого внутри области строится

числе

вспомогательная кривая эквидистантная границе. На кривую также

можно аппроксимировать набором кусочно-непрерывных функций,

тов). Данные элементы им ют общие узловые точки и в совокуп-

контурах дает симплексы. Далее все операции повторяются до за-

Р

полнения симплексами всей области.

ности аппроксимируют форму области.

301

302

У

Известны и другие алгоритмы формирования конечных элементов:

Т

это узловые

Выберем и пронумеруем ряд точек вдоль оси х –

«картографический», использующий наложение нарасчетную область

точки (рис. 6.9, б). В нашем примере взято всего пять точек. Вооб-

сетки, которая затем адаптируется к границам инеоднородностям гео-

ще говоря, их может быть произвольное количество, и располагать-

метрии, или методы, основанные на заполнении объекта набором фигур

А

ся они могут не на равном расстоянии друг от друга. Предположим,

(тел) сиспользованиемсвойствсимметрииилиотражения.

что значения в узловых точках известны. Они

обозначены

на рис. 6.9, б в соответствии с номерами узлов – u 1

u 2, u 3, u 4.

Г

а

б

Б

й

а

б

Пример автоматически сгенерированной трехмерной сетки для

круглогодискапоказаннарис. 6.8, б.

и

Рис. 6.10. Варианты разбиения стержня на элементы

6.4.4.2. Конечно-элементная аппроксимация

Разбиение расчетной области, то есть стержня,

на конечные

Рассмотримпостроениеаппроксимациинаодномерномпримере.

р

элементы может быть проведено различными

способами.

Можно, например, выделить четыре элемента,

включив в каж-

требуется найти распределение некоторой непрерывной функции u(x)

вдольстержня(см. рис. 6.9, а). Напрактикеэтафункцияможетописыва ,

дый из них по два соседних узла (рис. 6.10, а). А можно выде-

лить в стержне всего два элемента, содержащие по три узла

например, распределениетемпературыилидеформациюстержня.

о

(рис. 6.10, б).

Пусть

При использовании четырех элементов, каждый из которых

включает только два узла, аппроксимирующая функция в пре-

и

делах элемента будет линейна по х, так как две точки одно-

значно определяют прямую линию. Общая аппроксимация за-

висимости и(х) по всей длине стержня будет складываться из

з

четырех отрезков прямых (рис. 6.10, а).

Зависимость u(x) в пределах одного элемента, ограниченно-

о

го двумя соседними узлами xi и Xj (j = i + 1), можно предста-

вить линейным интерполяционным полиномом u(x) ~ а + ax x.

а

б

Определив параметры а и ах по известным в точках xi и xj зна-

. 6.9. Одном рное распределение

чениям функции ui и Uj, запишем интерполяционный полином,

то есть функцию элемента следующим образом:

п

303

304

е

Рис

u(x)≈

x j

− x

ui +

x

− x

i

u j

= Ni ui

+ N j u j = [N (e ) ][u(e ) ],

Функция формы элемента будет представлена плоскостью, если

(6.86)

для него взято минимальное число узлов, которое для треугольного

x j

− xi

x j

− xi

элемента равно трем, а для четырехугольного – четырем. В этом

У

где Ni и Nj – функции формы конечного элемента, ui и uj – значения u(x) в

случае используют линейную аппроксимацию:

u (x, y) ≈ α + αx x + αy y .

точкахxi иxj, [N (e) ]= [Ni , N j ] – матричнаястрокафункцийформыэлемента:

Т

u

По аналогии с одномерным случаем линейный интерполяцион-

u(e)

ный многочлен для простейшего

треугольного

элемента,

вклю-

=

i

.

чающего только три узла, записывают в виде

u j

А

Следует отметить, что ряд терминов метода конечных элементов полу-

u(x, y) ≈ Niui + N juj +

(e)

(e)

(6.87)

Nk uk = N

u

,

чилиназваниеизмеханики, гдеонивпервыеначалактивноиспользоваться.

Г

где Ni , Nj ,

Nk – функции формы элемента;

В случае разбиения области на два элемента (рис. 6.10, б) три узло-

вые точки в каждом из них позволяют однозначно определить функции

иi

,uj , uk

– значения функции вузлах, принадлежащих элементу;

элементов в виде полиномов второй степени. Соответственно, распре-

(e)

[NБ] – матричная строка функций формы элемента;

делениеu(х) навсей длине стержнябудетаппроксимироваться кусочно-

[u(e)] – вектор-столбец значений функции u(x,y) в его узлах.

непрерывной квадратичной функцией. Приэтом общая аппроксимация

Если элемент содержит большее количество узлов,

для стержня может содержать излом из-за несовпадения углов наклона

графиковполиномов(ихпервыхпроизводных) втретьемузле.

й

и

то аппроксимирующая функция элемента будет отображаться кри-

Для двумерной или трехмерной задачи аппроксимация строится

волинейной поверхностью.

аналогичным образом. В зависимости от вида элементов (количест-

Для всей расчетной области аппроксимацией распределения

ва используемых в них узлов) также применяется линейная или не-

u(x,y) является кусочно-линейная (или кусочно-нелинейная) по-

р

линейная аппроксимация. Примеры аппроксимации двухмерн й

верхность, каждый из участков которой определяется на от-

непрерывной функции u(x,y) приведены на рис. 6.11.

дельном элементе с помощью значений u(x,y) в принадлежащих

о

ему узлах.

Для построения аппроксимации так, как это было показано вы-

ше, необходимо знать распределение u(x,y) во всей расчетной об-

т

ласти. Однако до решения задачи эта зависимость обычно как раз

и не известна. Тем не менее, используя аппроксимирующие форму-

и

лы (6.86) или (6.87), решение можно получить. Способы поиска

решения рассмотрены ниже.

з

6.4.4.3. Построение решения

о

Вначале необходимо провести объединение конечных элемен-

а

б

тов в ансамбль. Значения u1, u2, и3, ... в узлах теперь будем рас-

сматривать как неизвестные переменные, которые необходимо

Рис. 6.11. Моделирование двухм рной скалярной функции с помощью линейной

( а) и н лин йной ( б) а

роксимации

найти. Сформируем из этих значений, взятых по всей расчетной

п

306

305

е

Р

области, столбцовую матрицу, которую обозначим [u(∑ ) ]. Каж-

В методе конечных элементов также как и в методе конечных

дой строке [u(∑ )]соответствует узел сетки конечных элементов.

разностей матрица коэффициентов системы уравнений включает

Тогда аппроксимацией для всей расчетной области (в двухмер-

большое число нулевых элементов, что облегчает решение задачи.

У

ном случае) будет:

К достоинствам метода конечных элементов, благодаря кото-

рым он находит широкое применение, относятся гибкость и раз-

нообразие сеток, четко формализованные алгоритмы построения

u(x, y)≈ [N (∑ ) ][u(∑ ) ],

Т

дискретных задач для произвольных областей, простота учета

]

естественных краевых условий. Кроме того, этот метод приме-

(

)

ним к широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей

где

[N ∑

– матричная строка функций формы всех конечных

А

приближенных решений, как правило, получаются при менее же-

элементов, входящих в расчетную область.

стких ограничениях, чем в методе конечных разностей.

При составлении матриц [N (∑ )] и [u (∑ )] производится сквозная

Г

Несмотря на то, что метод конечных разностей на первый

взгляд представляется наиболее легким в реализации и был раз-

нумерация узлов. Для двух- и трехмерных задач эта процедура

работан раньше метода конечных элементов, последний в на-

сложна и от нее в значительной степени зависит время расчета.

стоящееБвремя является доминирующим в современных расчет-

Следующий этап – построение разрешающей системы алгеб-

ных программах.

раических уравнений на основе конечно-элементной аппроксима-

6.5. Элементы математической статистики

ции. В результате решения задачи узловые значения u1, u2, u3, ...

должны быть «подобраны» так, чтобы они обеспечивали наилуч-

й

и

Результаты наблюдений во многих случаях можно представить

шее приближение к истинному распределению u(x,y). Этот «под-

последовательностью действительных чисел (x , x

,..., x

) = x .

бор» может осуществляться различными способами.

2

n

1

Для того, чтобы из ряда наблюдений можно было извлечь по-

Существуют вариационная и проекционная формулировки мето-

р

лезную информацию, необходимо иметь модель явления. Вероят-

да конечных элементов. При вариационном подходе произв

ностные модели оказываются наиболее пригодными при анализе

минимизация некоторого функционала, связанного с исх дным

явлений, исходы x X которых обладают некоторой степенью не-

дифференциальным уравнением. Например, в задачах механики

может минимизироваться потенциальная энергия системы. Процесс

определенности. Понятие неопределенности в теории вероятностей

о

формализуется

путем

введения распределения

вероятностей

минимизации приводит к решению системы алгебра ческ х урав-

нений относительно узловых значений и(х).

дится

на множестве

X . В простейшем случае,

когда

X конечное или

Проекционный вариант метода конечных элементов является

счетное множество, задаются вероятности

p(x) всех его элементов

частным случаем метода взвешенных невя ок. Последн й основан

x , так что 0 ≤ p(x) ≤1

и ∑ p(x) =1.

на минимизации невязки в дифференциальн

при под-

x X

становке в него приближенного решения

уравнении

чного. В методе

конечных элементов оценка невязки

извздится по отдельным

Любое множество A X называют в этом случае событием,

элементам и также сводится к решению системы алгебраических

а его вероятность определяют формулой p(A) = ∑ p(X ) .

уравнений относительно узловых значенийвместои(х).

x A

Взаимоотношение явления и его вероятностной модели имеет

При построении реш ния функции формы N позволяют определять

статистический характер, то есть обнаруживается при повторных на-

в пределах каждого эл м нта ространственные дифференциальные

блюдениях за явлением. Частоты исходов в длинном ряду испытаний

операторы первого порядка отскалярного или векторного поля.

пр

307

308

е

Р

стабилизируются, их колебания с ростом числа испытаний умень-

x1 = min(x1, x2 ,..., xn ), ... , xn = max(x1, x2 ,..., xn ) .

(6.88)

шаются. Это эмпирический факт, называемый законом устойчивости

частот, наблюдается в самых различных ситуациях. Уже выходя

Такую перенумерованную последовательность часто называют

за пределы реального опыта, полагают, что при неограниченном по-

вариационным рядом.

У

вторении частоты стремятся к пределам, которые и принимают

Числа, показывающие сколько раз отдельные варианты встре-

за вероятности соответствующих исходов или событий.

чаются в данной совокупностиТ, называются частотами или весами

вариант и обозначаются p или f .

6.5.1. Генеральная совокупность. Выборка.

Общая сумма частот всегда равна объему выборки. Говорят еще

Статистические ряды

об относительных частотахА(выражаются в частях или % от n ).

Интервальный вариационный ряд, такой

статистический

ряд,

Пусть задача состоит в том, чтобы исследовать заданный каче-

в котором частотыГраспределяются по отдельным интервалам или

ственный или количественный признак, характеризующий элемен-

промежуткам (от–до), на которые разбивается вариация признака

ты некоторой последовательности

(совокупности)

наблюдений.

в пределах от минимальной до максимальной варианты совокупно-

Все множество объектов,

входящих в рассматриваемую совокуп-

сти. Эти промежутки или классовые интервалы могут быть равны-

ность называют генеральной совокупностью. Число элементов ге-

Б

ми и неравными по ширине. Чаще всего рассматриваются равные

неральной совокупности может быть достаточно большим (в теоре-

нтервалы. Величина равных интервалов определяется делением

тических рассмотрениях используется и совокупности, содержащие

размаха варьирования признака ( xmax − xmin )

на число групп или

бесконечное множество элементов).

й

Часть генеральной совокупности, выбранную из нее некоторым

и

классов ( K ), намечаемых при построении вариационного ряда:

(случайным) образом, называют выборочной совокупностью (вы-

xmax − xmin

боркой). Объем выборки,

обозначаемый n (по количеству элемен-

i =

,

(6.89)

тов), может быть и сравнительно большим и малым, но не м жет

р

K

i – величина классового интервала, а величина K определяет-

содержать меньше двух единиц. Выборочный метод

с-

где

новным при изучении статистических совокупностей. Его преиму-

ся по формуле Стерджеса K =1+3,32lg n .

щество перед сплошным учетом всех членов генеральной сов куп-

ности заключается в том,

что он сокращает время за ра ы рудао

В общем случае техника построения вариационного ряда сво-

(за счет уменьшения числа наблюдений), а главное позволяет полу-

дится к следующему:

чать информацию о таких совокупностях, сплошное

являетсясследован е

1.

Составляем сводку исходных данных.

которых практически невозможно или нецелесообра но.

2.

Отыскиваем xmin и xmax варианты.

Элементы совокупности называют вариантами. Существует

3.

Определяем величину классового интервала i по формуле

и

два основных способа отбора вариант из генеральн й совокупно-

данной выше. Если значения признака выражены целыми числами

сти: повторный и бесповторный. В

бычно применяют

и классовый интервал i окажется равным 1 (или ≈1), выборка рас-

бесповторный отбор.

з

пределяется в безинтервальный вариационный ряд. Если i ≠1,

вы-

Статистическими рядами называют ряды числ вых значений

борку следует распределять в интервальный

вариационный

ряд.

некоторого признака,

в

ределенном порядке.

Кроме того, следует соблюдать правило, согласно которому вели-

Расположим варианты x1, x2 , ..., xn

о

( n – объем выборки) в порядке

чина классового интервала должна соответствовать точности, при-

возрастания и перенумеру м их заново:

x1

≤ x2 ≤... ≤ xn

, где:

практике

309

310

расположенного

Р

нятой при измерении учитываемого признака (если

ε

=

0,001,

признак. Но они недостаточны для полной характеристики

то классовый интервал тоже определяется с точностью 0,001).

статистической совокупности. Количественные показатели,

4. При построении интервального вариационного ряда следует

которые

(логически и теоретически

обоснованы) позволяют

добиваться того, чтобы минимальная варианта

xmin попадала в се-

судить

о

качественном

У

своеобразии

варьирующих объектов

i

и сравнивать

их между

собой,

называются статистическими

l1 – нижняя

Т

редину классового интервала,

то есть, l1 = xmin −

, где

характеристиками.

2

числовых характеристик

граница первого классового интервала.

Определяем верхнюю

В

отличие

от

индивидуальных

средние величины обладают большей устойчивостью, способ-

границу первого классового интервала m1 = l1 +i , второго клас-

ностью характеризовать группу однородных вариант одним

сового

интервала

m

= m + i , K – того

классового

интервала

2

А

абстрагируют нас от кон-

mK

= mK −1 + i .

1

(средним) значением. И хотя средние

кретных вещей, они вполне понятны и ощутимы. Средний рост,

5. Наметив классовые интервалы, остается распределить по ним

Г

средняя масса, и т. д. (то есть, здесь уравновешиваются все ин-

варианты выборки, то есть, определить частоты каждого класса.

дивидуальные отклонения и появляется качественное своеобра-

зие группового объекта).

6.5.2. Графическое изображение вариационных рядов.

ПоБопределению Гаусса, истинной средней служит такая вели-

Эмпирическое распределение

чина, сумма квадратов отклонений от которой обладает нименьшим

При построении графика зависимости частот от значений вари-

значением.

й

ант безинтервального вариационного ряда по оси абцисс отклады-

n

ваются значения классов (вариант) по оси ординат – частоты. В ре-

и

∑xik

зультате

будет

построена

геометрическая

фигура

в

виде

M =

k

i

,

многоугольника. Полученный график называют полигоном распре-

(6.90)

n

р

деления частот.

M – средняя величина;

При построении графика зависимости частот от значений вари-

где

ант интервального вариацинного ряда по оси абцисс о

xi

- варианта,

n – объем выборки;

границы классовых интервалов, по оси ординат – час о ы. В ре-

k

– величина, определяющая вид средней.

зультате – гистограмма распределения частот. Можно пос упоь

иначе:

по

оси абцисс

отложить срединные

я

классов

Средние величины могут характеризовать только однородную

lk

+ mk , по оси ординат частоты для указанного класса.кладывают

массу вариант (если это не так, следует сгруппировать варианты

в отдельные качественно однородные группы и вычислять груп-

2

Вариационная кривая – это сглаженные

начения

.

повые средние).

Совокупность значений xi

полигона

k = −1 – средняя гармоническая. В этом случае:

и со тветствующих им частот назы-

вается эмпирическим распределением.

значен

n

оказателиовариации

x h =

n

6.5.3. Средние величины и

∑xi .

i=1

В некоторых случаях для усреднения количественных признаков

Вариационные ряды и их графики дают наглядное пред-

ставление о том,

как варьирупт тот или иной количественный

используется такой тип средней.

311

312

е

Р