Ход занятия

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная форма работы.

Студентам необходимо:

- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой

из рассматриваемых тем;

- ответить на контрольные вопросы по по каждой

из рассматриваемых тем;

- изучить решение общих исходных практических заданий;

- выполнить представленные задания для малых групп;

- оформить отчет о лабораторной работе;

- защитить лабораторную работу

ГЛОССАРИЙ

Определение производной

Производной функции у =f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция у = f'(x) дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна. Если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Правила дифференцирования:

с - постоянная, u=u(x), v=v(x) - дифференцируемые функции

с' = 0; x' = 1; ;

;

Производная сложной функции. Если ,, т.е., гдеиимеют производные, то.

Производная обратной функции.

Если - дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция, обратная к данной, также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

,

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

.

Дифференцирование неявных функций.

Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением F (х, у)= 0, то для нахождения производной функции необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматри­вая у как функцию от х. Из полученного уравнения первой степени (относительно у') находится у'.

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Если функция аргумента х задана параметрически уравнениями х = и у =, то

Геометрические и механические приложения производной

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравне­нием у =f(х) или F (х, у)=0, то еcть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнение касательной к кривой у =f(x) в точке имеет вид:,

а уравнение нормали: .

Углом между двумя кривыми в точке их пересеченияназывается угол между касательными к этим кривым в точке, тангенс которого находится по формуле:

.

2. Механический смысл производной. Если точка движется по закону s=s(t), где s - путь , t - время, то представляет скорость изменения пути в момент времениt. Вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент времениt.

Исследование поведения функции

Изучение этой темы следует начать с усвоения понятий возрастания и убывания функции, максимума и минимума функции, выпуклости и вогнутости кривой.

Обратите внимание на следующие обстоятельства:

1) функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только при значениях х, заключенных внутри рассматриваемого отрезка;

2) не следует считать, что максимум и минимум функции являются соответственно ее наибольшим и наименьшим зна­чениями на рассматриваемом отрезке (например, в точке мак­симума функция имеет наибольшее значение лишь по срав­нению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума).

При решении задач на построение графика функции следует учесть, что порядок исследования функций может быть нарушен, так знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах. Так, например, если при исследовании точек разрыва функции выяснено, что односторонние пределы функции в некоторой точке бесконечны, то это означает наличие в этой точке вертикальной асимптоты графика.

Иногда целесообразно намечать элементы графика парал­лельно с исследованием функции.