Вариант 1.

1. Найти производные данных функций :

2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой , в точке с абсциссой.

3. Показать, что если тело движется по закону

то его ускорение равно пройденному пути.

Вариант 2.

1. Найти производные данных функций :

2. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой

3. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону

Определить кинетическую энергию тела через 5 сек. после начала движения.

Вариант 3.

1. Найти производные следующих функций:

2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой , в точке с абсциссой.

3. Показать, что если тело движется по закону то его ускорение равно пройденному пути.

Практические задания общие

по темам: "Теорема Лагранжа. Условия постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум"(ОК-1, ОК-20, ОК-22):

Задание 1. На кривой y = 4 − 6x³, найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1, 10) и B(2, −44).

Угловой коэффициент хорды, соединяющей точки точки A и B, равен , а угловой коэффициент касательной к кривойy = f(x) в точке M равен . Отсюда. Так как, тоx₀ = 1. Таким образом M = (1, f(1)) = (1, −2).

Задание 2. Найти стационарные точки функции f(x) = xln x на промежутке X = (0; +∞).

Стационарной точкой функции f(x) на множестве X называется внутренняя точка x₀ множества X, такая, что . Найдем.. Точка— внутренняя точка множестваX, следовательно, она является стационарной точкой функции f(x) на множестве X.

Задание 3. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = x³ − 5 на отрезке [−1; 2] и найти соответствующее значение c.

Условия теоремы Лагранжа для этой функции выполняются, . Тогда по теореме Лагранжа:. Так как −1 (−1; 2), то c = 1.

Задание 4. Определить интервалы монотонности функции .

Область определения этой функции .

Найдем промежутки знакопостоянства производной , решив неравенствона области определения:

Следовательно, промежутки возрастания функции f(x): и, промежутки убывания:.

Задание 5. Определить интервалы монотонности функции .

Область определения этой функции .

Найдем промежутки знакопостоянства производной , решив неравенствона области определения:

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке: , а убывает на промежутке:.

Индивидуальные задания по темам: "Теорема Лагранжа. Условия постоянства, возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум"

(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

1. На кривой y = 6x³ + 7 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1, 1) и B(2, 55);

2. На кривой y = x² − 2x + 12 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(0, 12) и B(1, 11

3. На кривой y = −4x² + 9 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(0, 9) и B(1, 5);

4. На кривой y = 2x² −3 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(1, −1) и B(3, 15);

5. На кривой y = x³ − x + 12 найти точки M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(−1, 12) и B(2, 18);

6. На кривой y = 2x³ − 8x + 5 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(-1, 11) и B(2, 5);

7. На кривой y = 5 – 3x³ найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(-2, 29) и B(1, 2);

8. На кривой y = –2x² + 5x – 3 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(0, –3) и B(1, 0);

9. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = 5x³ + 8 на отрезке [0; 1] и найти соответствующее значение c;

10. На кривой y = 6x² − 4x – 2 найти точку M(x₀, y₀), в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A(0, 2) и B(2, 14);

11. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = 4x² + 2 на отрезке [0; 1] и найти соответствующее значение c;

12. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = 4x³ − 9 на отрезке [−1;0] и найти соответствующее значение c;

13. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = 11 − 7x³ на отрезке [−3; 0] и найти соответствующее значение c;

14. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = 6 − 5x³ на отрезке [−2; 1] и найти соответствующее значение c;

15. Записать формулу Лагранжа для функции f(x) = x⁴ − 2x + 1 на отрезке [−1; 0] и найти соответствующее значение c;

16. Найти стационарные точки функции f(x) = arctg x² на промежутке X = (−1; 1);+0;

17. Найти стационарные точки функции на промежуткеX = (0; 2);

18. Найти стационарные точки функции на промежуткеX = (−∞; +∞);

19. Найти стационарные точки функции на промежуткеX = (−∞; +∞);

20. Найти интервалы, на которых функция f(x) = x²e^-x возрастает;

21. Найти интервалы, на которых функция f(x) = 3x - 3x² + x³ убывает;

22. Найти интервалы, на которых функция возрастает;

23. Найти интервалы, на которых функция возрастает;

24. Найти интервалы, на которых функция возрастает;

25. Найти интервалы, на которых функция возрастает;

26. Найти интервалы, на которых функция убывает;

27. Найти интервалы, на которых функция возрастает;

28. Найти интервалы, на которых функция f(x) = x + ln(1 - 3x) убывает;

29. Найти интервалы, на которых функция убывает;