Практические задания общие

по темам:"Нахождение наибольших и наименьших значений функций"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

Задание № 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=на множествах [0;5], [-1;1], [1;1₀].

Задание № 2. Среди цилиндров, полная поверхность которых равна (м²), найти цилиндр, имеющий наибольший объем.

Решение. Пусть радиус основания цилиндра равен , а высота равна. Тогда,

откуда ,

то есть объем цилиндра может быть выражен следующим образом:

.

Исследуем полученную функцию на максимум при.

Имеем при.

Так как при выполняется условие, то объем имеет наибольшее значение. При этом

,

поэтому искомые значения радиуса основания и высоты цилиндра равны соответственно 1 и 2.

Индивидуальные задания по теме:

"Нахождение наибольших и наименьших значений функций"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

y= 5+2x на множествах [0; ], [;], [;].

2. Разложить число 10 на два слагаемых так чтобы произведение их было наибольшим.

3. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить площадь прямоугольника.

4. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32м² так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Практические задания общие

по темам: "Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

Задание № 1. Исследовать направление выпуклости, найти точки перегиба графика функции: ,, , ,

Задание № 2. Найти пределы, используя правила Лопиталя:

, ,

Задание № 3. Следующие функции исследовать на наличие вертикальных и наклонных асимптот:

, ,.

Индивидуальные задания по теме:

"Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, а также исследовать наличие точек перегиба.

1. y = 2. y =

3. y = 4. y =

5. y = 6. y =

7. y = 8. y =

9. y = 10. y =

Найти пределы, используя правила Лопиталя:

, ,,

Следующие функции исследовать на наличие вертикальных и наклонных асимптот:

, ,.

Практические задания общие

по теме: "Общая схема исследования функции и построения ее графика"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)

Задание №1 Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение. 1. Область определения - вся числовая ось, кроме точки х = -1, т.е. D_у = R \ {-1}.

2. Функция непрерывна на множестве D_у как частное двух непрерывных на D_у функций: f₁=x³ и f₂=2(х+1)² так как , то прямая

х = -1 является вертикальной асимптотой.

1. Так как множество D_у не симметрично относительно нуля, то функция У общего вида (т.е. ни четная, ни нечетная). Функция не периодическая, так как предположив противное, т.е. что У - периодическая с периодом Т>0 и взяв сразу получим, что. Последнее означает, что множествоD_у не является периодическим множеством .

2. Находим точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства функции: - единственная точка пересечения графика с осями координат. Функция положительна прии отрицательна на промежутках.

3. Для определения промежутков возрастания и убывания, а также экстремумов функции найдем ее первую производную, приравниваем ее нулю и решим полученное уравнение.

Производная определена на множествеD_у

Стационарные точки разбивают множествоD_у на интервалы на каждом из которых взяв по пробной точке определяем знак производной.

Будем иметь:

Воспользовавшись достаточным условием возрастания (убывания) функции заключаем, что У в первом , третьем и четвертом интервалах возрастает, а во втором - убывает.

При переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. В соответствии с достаточным признаком существования экстремума (с помощью первой производной) в точкефункцияУ имеет максимум, равный

В точке х = 0 экстремума нет.

6. Для отыскания точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графика, находим производную , приравниваем ее к нулю и решаем полученное уравнение.

Вторая производная определена на множестве D_у.

Эта точка разбивает множество D_у на интервалы

Определяем знак второй производной на указанных интервалах. Будем иметь

В соответствии с достаточным признаком выпуклости (вогнутости) графика функции на интервале, заключаем, что график данной функции на и наявляется выпуклым, а на- вогнутым.

Так как вторая производная при переходе через точкуменяет свой знак , то 0(0; 0) - точка перегиба графика функции.

7. Выясним вопрос о существовании наклонных асимптот.

Будем иметь

Итак, прямая является наклонной асимптотой графика данной функции и «налево» и «направо».

8. Исходя из аналитического задания функции составим таблицу дополнительных опорных точек:

Х	-4	-2			1	2
У		-4

и используя полученные данные, строим эскиз графика функции (рис. 1).

Рис. 1

Замечания.

1. В случае отсутствия наклонных а симптомов у графика функции для которой , в пункте 7 исследуется поведение функции на бесконечности. Для этого необходимо найти значения

2. Если исследуемая функция окажется четной (нечетной), то при построении ее графика используется симметрия графика относительно оси ординат (начала координат). Поведение периодической на D_у функции достаточно использовать на периоде; в остальных точках множества D_у поведение функции и ее график будут повторятся.

3. Построение графика функции целесообразно выполнять по его элементам, вслед за выполнением отдельных пунктов исследования.

Задание 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция терпит разрыв при x=2. При всех других значениях аргумента она непрерывна.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как и

3. Исследуем функцию на экстремум, используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке х₀ вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция f(х) имеет максимум при f^//(х₀)<0 и минимум при f^//(х₀)>0. Находим первую производную:

(1)

или

Первая производная равна нулю при х = 1 и х = 3 и не существует при х = 2. Так как при х = 2 заданная функция не существует, то эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную у^//:

Сократив на (х – 2) и выполнив преобразования в числителе, получим

(2)

Так как у^// (1) = -2<0, то при х₁=1 функция имеет максимум. Так как у^//(3) = 2>0, то при х₂=3 функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в точках экстремума: у(1)=3; у(3)=7. Следовательно, А(1;3) – точка максимума, В(3;7) – точка минимума.

4. Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в нуль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.

5. Определим асимптоты графика функции. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид х=2. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

Следовательно, у = х + 3 – уравнение наклонной асимптоты.

Задание 2. Исследовать функцию и построить ее график

Задание 3. Исследовать функцию и построить ее график