Асимптоты графика функции

1. Прямая L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными.

2. Прямая x=является вертикальной асимптотой графика функцииy=f(x), если хотя бы один из пределов (правосторонний или левосторонний) равен .

Прямая x=может быть вертикальной асимптотой функцииy=f(x), в том случае если- точка разрыва.

3. Прямая y=b является горизонтальной асимптотой, если .

4. Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существует и.

Общая схема исследования функций:

1. Найти области определения функции;

2. Исследовать функцию на четность и нечетность;

3. Найти вертикальные асимптоты;

4. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба;

7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат

Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-20, ОК-22):

1. Дать определения производной, дифференциала, дифференцируемой

функции.

2. Сформулировать необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.

3. Сформулировать теорему о связи дифференцируемости и непрерывности.

4. Сформулировать правила нахождения производной и дифференциала.

5. Записать формулу производной сложной и обратной функции.

6. Записать таблицу производных элементарных функций.

7. Дать понятие о графике функции, касательной к графику, секущей прямой.

8. Дать понятие о приращении функции, приращении касательной.

9. Изложить геометрический смысл производной и касательной.

10. Записать уравнение касательной.

11. Как формулируется теорема Лагранжа?

12. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

13. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции

14. Приведите пример, показывающий, что обращение нуль производной

не является достаточным условием экстремума функции

15. Дать определение ограниченной функции

16. Сформулировать теорему о локальной ограниченной функции

3. Необходимо выполнить:

- представленные общие исходные задания;

- представленные индивидуальные задания для студентов, работающих в более быстром темпе (можно выполнить в качестве Д/з);

- оформление отчета о лабораторной работе;

- защита лабораторной работы производится в индивидуальном порядке.

Практические задания общие по темам: "Понятие производной. Техника дифференцирования функций. Геометрические и механические приложения производной"

(ОК-1, ОК-20, ОК-22):

1. Используя определение найти производные функций:

, , , y=x²

2. Исследовать на дифференцируемость и непрерывность функции

y=x² , .

3. Найти производные алгебраических, тригонометрических логарифмических, показательных, обратных функций:

; ;;;

; ;;;

;

4. Вычислить значение производной данной функции в указанной точке:

,

, ,,

5. Найти производные функций:

а) ;

б)

в)

г)

Решение.

а) Используя правило логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получаем

б) Предварительно прологарифмируем по основанию обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно у. Чтобы найти производную у^/, следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у^/. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у и у^/, находим производную у^/:

откуда

г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у^/, найдем предварительно дифференциалы dy и dx и затем возьмем отношение этих дифференциалов

6. Найти уравнение касательной к графику функции у=4-х² в точках пересечения с осью Ох.

7. Найти уравнение касательной к графику функции у=2-х в точках пересечения с осью Оу.

8. Под каким углом прямая у=0,5 пересекает кривую у=соsx.

9. В какой точке касательная к параболе у=х² + 4х параллельна оси Ох.

Индивидуальные задания по темам: "Понятие производной. Техника дифференцирования функций. Геометрические и механические приложения производной"(ОК-1, ОК-20, ОК-22)