- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 16
- •Основные понятия
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Отношения между множествами.
- •3, Операции над множествами.
- •Алгебра множеств.
- •Теорема о количестве подмножеств конечного множества.
- •Формула включений и исключений.
- •Лекция 2
- •1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Лекция 3
- •2. Понятие высказывания.
- •3. Логические операции над высказываниями
- •4.Формулы алгебры логики.
- •Лекция 4
- •2. Важнейшие равносильности алгебры логики.
- •3.Равносильные преобразования формул.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 5
- •Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная форма.
- •Проблема разрешимости.
- •Лекция 6
- •Функции алгебры логики.
- •3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.
- •4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 7
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Лекция 8
- •2.Понятие минимальной днф. Метод минимизирующих карт.
- •3.Метод Квайна.
- •4.Метод Карно.
- •5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
- •6.Сокращенная днф.
- •7.Тупиковая днф. Днф Квайна.
- •Лекция 9
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Лекция 10
- •Полная система . Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Полная система. Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Лекция 11
- •Понятие предиката.
- •Логические операции над предикатами.
- •1. Понятие предиката
- •2. Логические операции над предикатами
- •Лекция 12
- •2. Формулы логики предикатов.
- •Значение формулы логики предикатов.
- •4. Равносильные формулы логики предикатов.
- •Лекция 13
- •Построение противоположных утверждений.
- •3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
- •4. Необходимые и достаточные условия.
- •5. Доказательство методом от противного.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 14
- •2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых
- •3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число
- •4. Обобщение метода математической индукции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 15
- •Операции над бинарными отношениями.
- •3. Свойства бинарных отношений.
- •4. Специальные бинарные отношения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 16
- •Функция
- •1. 4. Отображение
- •Обратная функция
- •2. Свойства отображений и функций
- •3.Операции над функциями. Свойства операций
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 17
- •Основные понятия .
- •2. Смежность, инцидентность, степени вершин.
- •3. Способы задания графов
- •Маршруты в неориентированном графе
- •Операции над графами.
- •Связность. Компоненты связности
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 18
- •2. Метрические характеристики неориентированного графа
- •Минимальные маршруты в нагруженных графах
- •Задачи на деревьях
- •Цикловой ранг графа. Цикломатическое число
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 19
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 20
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания . Реберные покрытия
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания. Реберные покрытия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 21
- •Основные определения
- •Алгоритм плоской укладки графа
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 22
- •Способы задания ориентированного графа
- •Путь в ориентированном графе
- •4. Связность. Компоненты связности в орграфе
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 23
- •2. Минимальные пути в нагруженных орграфах
- •3. Порядковая функция орграфа без контуров
- •Контрольные вопросы
5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
Обозначим через Еn множество всех наборов из 0 и 1. Это множество будем рассматривать как множество всех вершин единичного n –мерного куба. Само множество Еn будем называть единичным n – мерным кубом. Количество вершин куба Еn равно 2n.
0-мерный куб – это одна вершина или точка.
Одномерный куб – Е1 , множество вершин {(0), (1)}:
Двухмерный куб – Е2 , множество вершин {(00), (01), (10), (11)}:
Т рехмерный куб – Е3 , множество вершин {(000), (001), (010), (001), (110), (011), (101), (111)}:
Четырехмерный единичный куб – Е4 :
Пятимерный единичный куб – Е5 :
Заметим, что наборы , соответствующие соседним вершинам куба, т.е. вершинам, которые соединяются ребром, отличаются значением только какой –либо одной координаты, как соседние ячейки карты Карно.
Далее введем понятие грани куба.
Пусть i1 , i2, i3,…, ir фиксированная система чисел из 0 и 1 такая, что Множество всех вершин куба Еп таких, что i1= i1 , i2 =i2, i3= i3,…, ir= ir называется (n –r) – мерной гранью.
Введем в рассмотрение множество Nf всех вершин куба таких, что По этому множеству можно однозначно восстановить саму функцию.
Пример: Функции f(x, y, z) соответствует множество Nf = {(000), (100), (101), (110), (111)}.
По данному множеству восстановим булеву функцию:
Графическое представление множества Nf :
Рассмотрим какую –либо элементарную конъюнкцию К из ДНФ функции n –переменных, состоящую из r множителей. Сопоставим ей множество таких наборов, при которых эта конъюнкция равна 1. Обозначим это множество Nk. Полученное таким образом множество называется (n –r) –мерной гранью куба Еn . Количество множителей – r в конъюнкции называется ее рангом . Ранг конъюнкции является и рангом соответствующей грани.
Пример: Дана ДНФ каrой-либо фукнции f(x, y, z) :
Составим для каждой конъюнкции множество Nki:
Nk1= {(100), (101)} – это 3-2=1 – одномерная грань трехмерного куба, ранг равен 2;
Nk2= {(010), (110), (011), (111)} – это 3-1 = 2 – одномерная грань трехмерного куба, ранг - 1;
Nk3= {(011)} – это 3-3=0 – нольмерная грань трехмерного куба, ранг -3.
Легко заметить, что чем меньше ранг конъюнкции. Тем больше мерность соответствующей грани.
Свойства соответствия между f и Nf:
Если f(x1, x2, …, xn) = g(x1, x2, …, xn)Vh(x1, x2, …, xn), то:
Ng Nf , Nh Nf;
Nf = Ng Nh .
В частности следует. Что если f – есть ДНФ: f = К1V К2 V…VКs, то из указанных свойств следут, что Nki Nf, т.е. Nki – это грань расположенная внутри множества Nf и :
Nf = Nk1 Nk2 …Nks, т.е. множество Nf покрывается гранями Nk1, Nk2 ,…,Nks .
Если грани Nki имеют ранги ri (i = 1-s), то ранг всего покрытия равен
Теперь сформулируем задачу минимизации в геометрической форме (задача о покрытии):
Найти для данного множества Nf такое покрытие гранями Nki, чтобы его ранг был наименьшим.
Пример:
Составим множество Nf ={(000), (100), (101), (110), (100)}
Данное множество имеет точечное покрытие, соответствующее СДНФ, состоящее из 5 нольмерных граней. Используя закон склеивания можно минимизировать СДНФ. Графически эту задачу можно решить так: объединить вершины из множества Nf по возможности в грани большей мерности, а значит меньшего ранга. Покажем это на рисунке:
Вершины нижнего основания можно объединить в одну двухмерную грань {(100), (110), (010), (000)}, которой соответствует конъюнкция ; соседние вершины (100) и (101) соединим в одну одномерную грань {(100), (101)}, которой соответствует конъюнкция
Значит, данное множество имеет еще одно покрытие одной двухмерной и одной одномерной гранями, а СДНФ равносильна ДНФ: v