- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 16
- •Основные понятия
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Отношения между множествами.
- •3, Операции над множествами.
- •Алгебра множеств.
- •Теорема о количестве подмножеств конечного множества.
- •Формула включений и исключений.
- •Лекция 2
- •1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Лекция 3
- •2. Понятие высказывания.
- •3. Логические операции над высказываниями
- •4.Формулы алгебры логики.
- •Лекция 4
- •2. Важнейшие равносильности алгебры логики.
- •3.Равносильные преобразования формул.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 5
- •Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная форма.
- •Проблема разрешимости.
- •Лекция 6
- •Функции алгебры логики.
- •3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.
- •4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 7
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Лекция 8
- •2.Понятие минимальной днф. Метод минимизирующих карт.
- •3.Метод Квайна.
- •4.Метод Карно.
- •5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
- •6.Сокращенная днф.
- •7.Тупиковая днф. Днф Квайна.
- •Лекция 9
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Лекция 10
- •Полная система . Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Полная система. Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Лекция 11
- •Понятие предиката.
- •Логические операции над предикатами.
- •1. Понятие предиката
- •2. Логические операции над предикатами
- •Лекция 12
- •2. Формулы логики предикатов.
- •Значение формулы логики предикатов.
- •4. Равносильные формулы логики предикатов.
- •Лекция 13
- •Построение противоположных утверждений.
- •3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
- •4. Необходимые и достаточные условия.
- •5. Доказательство методом от противного.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 14
- •2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых
- •3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число
- •4. Обобщение метода математической индукции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 15
- •Операции над бинарными отношениями.
- •3. Свойства бинарных отношений.
- •4. Специальные бинарные отношения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 16
- •Функция
- •1. 4. Отображение
- •Обратная функция
- •2. Свойства отображений и функций
- •3.Операции над функциями. Свойства операций
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 17
- •Основные понятия .
- •2. Смежность, инцидентность, степени вершин.
- •3. Способы задания графов
- •Маршруты в неориентированном графе
- •Операции над графами.
- •Связность. Компоненты связности
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 18
- •2. Метрические характеристики неориентированного графа
- •Минимальные маршруты в нагруженных графах
- •Задачи на деревьях
- •Цикловой ранг графа. Цикломатическое число
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 19
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 20
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания . Реберные покрытия
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания. Реберные покрытия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 21
- •Основные определения
- •Алгоритм плоской укладки графа
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 22
- •Способы задания ориентированного графа
- •Путь в ориентированном графе
- •4. Связность. Компоненты связности в орграфе
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 23
- •2. Минимальные пути в нагруженных орграфах
- •3. Порядковая функция орграфа без контуров
- •Контрольные вопросы
Функция
Функцией называется функциональное соответствие между множествами А и В, и обозначается f, или f: A → В, или f(a) = b. Причем, а называется аргументом функции, а b – значением функции.
Определение функции можно сформулировать, используя понятие бинарного отношения:
Бинарное отношение f называется функцией, если из и следует, что y = z.
1. 4. Отображение
Всюду определенная функция f(a) = b называется отображением А в В.
Следовательно, область определения такой функции D(f) = A, а область значений E(f) B.
Если область значений E(f) = B, то такое отображение называют отображением А на В.
Если f(a) состоит из единственного элемента, то функция называется постоянной или константой.
Отображение А→ А (А на А) называется преобразованием множества А.
Примеры:
а). f(x) = 2x, где , есть отображение N в N, т.к. область значений E(f) не все натуральные числа, т.е. .
Если за область значений принять множество четных чисел М = {2, 4, 6,…}, то это отображение будет уже N на M, т.к. .
б). Рассмотрим соответствие между различными множествами и определим вид каждого соответствия:
f: N → N – это частично определенная функция, но не отображение, т.к. D(f) N.
f: N → R – это отображение N в R , т.к. E(f) R.
f: R+ → R – это отображение R+ в R , т.к. E(f) R.
f: R+ → R+ – это отображение R+ на R+ , т.к. E(f) = R или преобразование множества R.
Обратная функция
Обратное соответствие: Дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G-1 .
Обратное соответствие – есть обратное бинарное отношение, т.к.
Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обратное соответствие будет являться обратной функцией.
В обратном соответствии образы и прообразы меняются местами. Тогда, если дана функция f: A→ B, то для нее существует обратная функция f-1 тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием .
Если функция f является всюду определенной, т.е. является отображением, то для нее существует обратное отображение тогда и только тогда, когда область определения есть множество А, т.е. D(f) = A, и область значений есть множество B, т.е. E(f) = B.
Примеры:
а). y = sinx , где , Это отображение R в R. Данная функция отображает отрезок на отрезок [-1; 1]. Значит, существует обратная функция f-1: y = arcsinx, которая отображает отрезок [-1; 1] на отрезок .
б). у = 2х – эта функция задает отображение R на R+. Обратная функция f-1: y = log2x задает отображение R+ в R.
в). у = х2 – 4 , где D(f) = R - эта функция не является взаимнооднозначным соответствием, поэтому для нее не существует обратная функция, но существует обратное отображение f-1: .
2. Свойства отображений и функций
Пусть задана функция или отображение f: A → B.
Свойство 1. Если , то f – называется инъективной функцией (отображением).
Т.е. каждому соответствует единственный
Свойство 2. Если для любого найдется такой, что b = f(a) , то f сюръективная функция (отображение).
Т.е. область значений E(f) = B.
Свойство 3. Если f инъективна и сюръективна, то f называется биективной функцией (отображением).
На основании третьего свойства можно сделать вывод:
Биективная функция f: A → B осуществляет взаимнооднозначное соответствие между А и В.
Примеры:
а). Функция f(x) = ex задает отображение R в R : D(f) = R, E(f) = R+ .
Она инъективна (каждому х единственное у), но не сюръективна, т.к.
б). f(x) = x3 - x задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R. Она не инъективна, т.к. при х = 1 и х = -1 f(x) = 0.
в). f(x) = 2x + 1 задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R. Она инъективна и сюръективна, значит, биективна.