- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 16
- •Основные понятия
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Отношения между множествами.
- •3, Операции над множествами.
- •Алгебра множеств.
- •Теорема о количестве подмножеств конечного множества.
- •Формула включений и исключений.
- •Лекция 2
- •1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Лекция 3
- •2. Понятие высказывания.
- •3. Логические операции над высказываниями
- •4.Формулы алгебры логики.
- •Лекция 4
- •2. Важнейшие равносильности алгебры логики.
- •3.Равносильные преобразования формул.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 5
- •Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная форма.
- •Проблема разрешимости.
- •Лекция 6
- •Функции алгебры логики.
- •3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.
- •4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 7
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Лекция 8
- •2.Понятие минимальной днф. Метод минимизирующих карт.
- •3.Метод Квайна.
- •4.Метод Карно.
- •5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
- •6.Сокращенная днф.
- •7.Тупиковая днф. Днф Квайна.
- •Лекция 9
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Лекция 10
- •Полная система . Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Полная система. Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Лекция 11
- •Понятие предиката.
- •Логические операции над предикатами.
- •1. Понятие предиката
- •2. Логические операции над предикатами
- •Лекция 12
- •2. Формулы логики предикатов.
- •Значение формулы логики предикатов.
- •4. Равносильные формулы логики предикатов.
- •Лекция 13
- •Построение противоположных утверждений.
- •3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
- •4. Необходимые и достаточные условия.
- •5. Доказательство методом от противного.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 14
- •2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых
- •3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число
- •4. Обобщение метода математической индукции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 15
- •Операции над бинарными отношениями.
- •3. Свойства бинарных отношений.
- •4. Специальные бинарные отношения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 16
- •Функция
- •1. 4. Отображение
- •Обратная функция
- •2. Свойства отображений и функций
- •3.Операции над функциями. Свойства операций
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 17
- •Основные понятия .
- •2. Смежность, инцидентность, степени вершин.
- •3. Способы задания графов
- •Маршруты в неориентированном графе
- •Операции над графами.
- •Связность. Компоненты связности
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 18
- •2. Метрические характеристики неориентированного графа
- •Минимальные маршруты в нагруженных графах
- •Задачи на деревьях
- •Цикловой ранг графа. Цикломатическое число
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 19
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 20
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания . Реберные покрытия
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания. Реберные покрытия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 21
- •Основные определения
- •Алгоритм плоской укладки графа
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 22
- •Способы задания ориентированного графа
- •Путь в ориентированном графе
- •4. Связность. Компоненты связности в орграфе
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 23
- •2. Минимальные пути в нагруженных орграфах
- •3. Порядковая функция орграфа без контуров
- •Контрольные вопросы
3.Операции над функциями. Свойства операций
3.1. Композиция функций
Вспомним аналогичную операцию над бинарными отношениями :
, то .
Пусть даны функции f; X→ Y и g: Y → Z, то называется композицией функций f и g.
3.2. Свойства композиции функций
Свойство 1. Композиция функций является функцией.
Доказательство: Необходимо доказать, что если и , то y = z.
Рассмотрим f и g как бинарные отношения.
Пусть и , тогда
- для (х, у) найдется u такое, что х находится в отношении f с u , u находится в отношении g с у,
- для (х, z) найдется v такое, что х находится в отношении f с v , v находится в отношении g с z.
Т.к. f – функция, то u = v; g – функция, то y = z. Следовательно, h – функция.
Примеры:
а). y = sin2x, где f = sinx, g = f2.
б). , где f = x + 2,
Таким образом, композицию функций можно рассматривать:
- как последовательное применение функций f и g;
- g применяется к результату f;
- h получена подстановкой f в g.
Свойство 2. Композиция двух биективных функий есть биективная функция.
Доказательство: , тогда
Найдется v такое, что . А т.к. f и g биективны, то
любому х соответствует единственное v, любому v соответствует единственное у. Отсюда следует, что любому х соответствует единственное у.
В свою очередь, любому у соответствует единственное v, а любому v – единственное х. Отсюда следует, что любому у соответствует единственное х.
Из всего выше сказанного следует, что биективна.
Примеры:
а). y = (х + 3)11, где f = х + 3 - биективна, g = f11 – биективна, следовательно, y = (х + 3)11- биективна.
б). y = (х + 3)10, где f = х + 3 - биективна, но g = f – не биективна, следовательно, y = (х + 3)10- не биективна.
3.3. Обратная функция и обратное отображение
Cоответствие Н является обратным для G (H = G-1), если G : A→B, H: B → A:
Если G – отображение, то Н – так же отображение.
Теорема о существовании обратного отображения: Отображение f: Х → У имеет обратное отображение f-1: У → Х, тогда и только тогда, когда f – биекция.
Доказательство: Если f – биекция, то f – сюръективно, т.е. E(f) = Y, следовательно, f-1 опредеделено на множестве У = D(f--1). f – функция и и , то имеем и . Кроме того, f – инъективна, следовательно х1 = х2.
Для биективных функций справедливы свойства, аналогичные свойствам отношений:
Контрольные вопросы
Что называется соответствием между двумя множествами?
Какое соответствие называется всюду определенным?
Какое соответствие называется частично определенным? В каком случае соответствие называется функциональным?
Каким условиям должно отвечать взаимнооднозначное соответствие?
Что называется функцией?
Какая функция называется отображением?
В каком случае отображение называется отображением А в В, и в каком случае- А на В?
В каком случае для функции существует обратная?
Какая функция называется инъективной?
Какая функция называется сюръективной?
Какая функция называется биективной?
Что такое композиция двух функций. Какими свойствами обладает композиция двух функций?
Сформулировать теорему о существовании обратного отображения.
Составить всевозможные композиции из функций f(x) = lgx и g(x) = sinx. Проверить композиции на биективность.
Составить для функций обратные соответствия и проверить являются ли они функциями: а). ; б).