- •Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 16
- •Основные понятия
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Понятие множества. Способы задания множеств.
- •Отношения между множествами.
- •3, Операции над множествами.
- •Алгебра множеств.
- •Теорема о количестве подмножеств конечного множества.
- •Формула включений и исключений.
- •Лекция 2
- •1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
- •Теорема о количестве элементов прямого произведения.
- •Лекция 3
- •2. Понятие высказывания.
- •3. Логические операции над высказываниями
- •4.Формулы алгебры логики.
- •Лекция 4
- •2. Важнейшие равносильности алгебры логики.
- •3.Равносильные преобразования формул.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 5
- •Дизъюнктивная нормальная форма.
- •Конъюнктивная нормальная форма.
- •Проблема разрешимости.
- •Лекция 6
- •Функции алгебры логики.
- •3. Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.
- •4.Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 7
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •2.Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Лекция 8
- •2.Понятие минимальной днф. Метод минимизирующих карт.
- •3.Метод Квайна.
- •4.Метод Карно.
- •5.Постановка задачи минимизации в геометрической форме.
- •6.Сокращенная днф.
- •7.Тупиковая днф. Днф Квайна.
- •Лекция 9
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Некоторые логические операции. Двоичное сложение.
- •Полином Жегалкина.
- •Лекция 10
- •Полная система . Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Полная система. Достаточное условие полноты.
- •Критерий полноты системы булевых функций.
- •3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.
- •Лекция 11
- •Понятие предиката.
- •Логические операции над предикатами.
- •1. Понятие предиката
- •2. Логические операции над предикатами
- •Лекция 12
- •2. Формулы логики предикатов.
- •Значение формулы логики предикатов.
- •4. Равносильные формулы логики предикатов.
- •Лекция 13
- •Построение противоположных утверждений.
- •3. Прямая, обратная и противоположная теоремы.
- •4. Необходимые и достаточные условия.
- •5. Доказательство методом от противного.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Лекция 14
- •2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых
- •3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число
- •4. Обобщение метода математической индукции
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 15
- •Операции над бинарными отношениями.
- •3. Свойства бинарных отношений.
- •4. Специальные бинарные отношения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 16
- •Функция
- •1. 4. Отображение
- •Обратная функция
- •2. Свойства отображений и функций
- •3.Операции над функциями. Свойства операций
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 17
- •Основные понятия .
- •2. Смежность, инцидентность, степени вершин.
- •3. Способы задания графов
- •Маршруты в неориентированном графе
- •Операции над графами.
- •Связность. Компоненты связности
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 18
- •2. Метрические характеристики неориентированного графа
- •Минимальные маршруты в нагруженных графах
- •Задачи на деревьях
- •Цикловой ранг графа. Цикломатическое число
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 19
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи
- •Эйлеровы цепи и циклы
- •Гамильтоновы циклы и цепи.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 20
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания . Реберные покрытия
- •Двудольный граф. Условие существования двудольного графа
- •Паросочетания. Реберные покрытия
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 21
- •Основные определения
- •Алгоритм плоской укладки графа
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 22
- •Способы задания ориентированного графа
- •Путь в ориентированном графе
- •4. Связность. Компоненты связности в орграфе
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 23
- •2. Минимальные пути в нагруженных орграфах
- •3. Порядковая функция орграфа без контуров
- •Контрольные вопросы
Лекция 2
ТЕМА: ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ДЕКАРТОВА СТЕПЕНЬ.
ПЛАН:
1.Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
2.Теорема о количестве элементов прямого произведения.
Главная
Понятие вектора. Прямое произведение множеств.
1.1. Понятие вектора.
Вектор- это упорядоченный набор элементов или упорядоченное множество.
Элементы – это координаты или компоненты вектора.
Нумерация элементов производится слева направо.
Векторы (а1 , а2), (а1 , а2 , а3), (а1 , а2 , а3 ,…) называют соответственно двойка, тройка, энка.
Количество элементов в векторе называется длиной вектора.
Равные векторы: два вектора (а1 , а2 , а3 ,…, аn) и (b1 , b2 ,…, bm) равны тогда и только тогда, когда n = m и а1 = b1 , а2 = b2 , …, аn = bm .
Пример: {1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1}, но (1, 2) (2, 1, 1) (2, 1). Только (1, 2) = (1, 2).
Прямое произведение множеств.
Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество всех пар (а, в) таких, что а А и в В.
Обозначение: А В.
Если А = В, то А В =А2 и называется декартовым квадратом.
Приведем формулировку определения прямого произведения n множеств:
Прямое произведение множеств А1 , А2 , …, Аn есть множество всех векторов (а1 , а2 , а3 ,…, аn) длины n таких , что а1 А1 , а2 А2 , …, ап Ап .
Если А1 = А2 = … = Аn , то А1 А2 … Аn = Аn и называется декартовой степенью.
Примеры:
R – множество действительных чисел, тогда RR = R2 – векторы (а, в), где аR и вR, есть координаты точек плоскости.
Такое координатное представление точек плоскости было предложено Декартом и являлось первым в истории примером прямого произведения множеств.
Прямое произведение {1, 2, 3, …, 8} {a, b, c, d, …, h}- есть множество клеток шахматной доски.
Рассмотрим множество А, элементы которого символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций…), тогда Аn – это слова длиной n (под словом можно понимать текст).
Составим прямое произведение множеств Х = {1,2,3}и У= {0,1}: ХУ и УХ. ХУ={(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1)}. УХ= {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)}. Геометрическая интерпретация произведения двух конечных множеств- точки плоскости . Как видно из построенных произведений прямое произведение множеств не обладает свойством коммутативности.
Построим прямое произведение двух несчетных множеств – числовых отрезков, например, [0,1][1,2]. Результатом данного произведения являются все точки квадрата с вершинами (0,1), (0,2), (1,1) и (1,):
Построим прямое произведение трех числовых отрезков, например: [0,1] [1,2] [1,2]. Произведением первых двух отрезков является квадрат с вершинами (0,1), (0,2), (1,1), (1,2). Произведением полученного множества точек квадрата на числовой отрезок [1,3] является множество точек прямоугольного параллелепипеда ( в данном случае куба), вершины которого точки: (0,1,1), (0,1,2), (0,2,1), (0,2,2), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2).