Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. Том 1.- М., 2005.- 334 с

Очевидно, что координаты E, N, U с пункта А на В и с пункта В на А различаются не только по знаку, но и по величине.

2.8. Координаты в картографических проекциях

Эллипсоидальные координаты B, L часто преобразуются в плоские координаты x, y в некоторой проекции. Существует множество картографических проекций, которые помогают отобразить сложную кривизну эллипсоида на плоской карте без больших искажений. Обычно для съѐмок и картирования используются конформные проекции, в которых угол на эллипсоиде, образованный парой геодезических линий, сохраняется без искажения. Однако сами геодезические линии в проекции изображаются кривыми линиями. Классами конформных проекций являются следующие.

Коническая проекция образуется разверткой конуса, касающегося эллипсоида на некоторой стандартной параллели или широте. После развѐртки конуса меридианы изображаются прямыми линиями, сходящимися к вершине, которая также является центром кругов, представляющих параллели. Одним из типов таких проекций является проекция Ламберта.

Азимутальная проекция представляет случай конической проекции, у которой вершина конуса является полюсом, а конус вырождается в плоскость, касающуюся полюса. Поэтому полюс является центром окружностей, представляющих параллели, и прямых линий, представляющих меридианы. Примером такой проекции является стереографическая проекция.

Особым случаем конической проекции является продольная цилиндрическая проекция, у которой вершина находится в бесконечности, так что конус становится цилиндром, который касается экватора. После развѐртывания цилиндра экватор изображается без искажения. Поперечная проекция Меркатора (UTM) – наиболее широко используемая из всех проекций. При поперечном расположении цилиндр касается Земли по осевому меридиану.

В обычной поперечной проекции Меркатора (TM) стандартный меридиан (или осевой меридиан) изображается без искажения. Осевой меридиан является осью y (в направлении на север), а ось x является изображением экватора. Эллипсоид разделѐн на 120 зон по 3° по долготе, каждая с осевым меридианом в центре зоны. При удалении точки от осевого меридиана искажения возрастают, поскольку увеличивается масштабный коэффициент. Модификацией TM является UTM. В ней эллипсоид разделѐн на 60 зон, каждая по 6° шириной по долготе. Кроме того, масштаб на осевом меридиане равен 0.9996. Счет зон ведется от меридиана 180 на восток.

В России и странах СНГ широко распространена проекция Гаусса – Крюгера. Ее отличие от поперечной проекции Меркатора состоит в том, что масштаб на осевом меридиане равен единице. Абсцисса x направлена от экватора к северному полюсу вдоль осевого меридиана, а ордината y представляет удаление от осевого меридиана. Чтобы избежать появления отрицательных ординат, значение y для точки на осевом меридиане равняется 500 км. Счет зон ведется от меридиана Гринвича на восток.

Детальные выражения, определяющие конформное отображение для различных систем проекций, можно найти в многочисленной литературе, а также в ГОСТ, например, [ГОСТ Р 51794-2001].

2.9. Связь между земными системами координат

Геодезисту, занимающемуся спутниковыми технологиями, приходится сталкиваться с двумя видами координатных преобразований:

использование опубликованных параметров преобразования; преобразование через определение соответствующих параметров.

Иногда эти два вида преобразований называют, соответственно, глобальным и локальным преобразованиями, и, соответственно, параметры преобразования называют глобальными (иногда национальными, для отдельной страны) и локальными параметрами. В данном разделе будет рассмотрен первый вид преобразований. Второй вид будет рассмотрен в главе 11 как один из методов уравнивания спутниковых сетей с ограничениями.

Используемые в современных методах построения сетей преобразования координат и высот можно свести в схему (рис. 2.12) [Rizos, 1999].

Рис. 2.12. Возможные координатные преобразования при объединении классических и спутниковых методов построения сетей

2.9.1. Преобразование прямоугольных координат

Преобразование компонент вектора rСК1 (X ,Y,Z)ТСК 2 из системы СК1 в систему СК2 в общем случае сводится к трем операциям: переносу, повороту и масштабированию. В частном случае любая из операций может применяться самостоятельно или в комбинации с любой другой.

Операция переноса заключается в добавлении к вектору rСК 1 вектора T (TX ,TY ,TZ )T начала координат системы СК1 в системе СК2:

Преобразование координат вектора операцией поворота производится после совмещения начал координатных систем и записывается уравнением:

Очень часто поворот разбивают на три вращения либо с использованием углов Эйлера (рис. 2.13), либо углов Кардано (рис. 2.14). На рис. 2.13 основные

плоскости систем СК1 и СК2 пересекаются по линии OC . Угол между осью

XCK1 и линией OC называется углом прецессии, угол i между основными

плоскостями – углом нутации, и угол между линией OC и осью XCK2 называется углом чистого вращения. Преобразование с применением углов Эйлера записывается в виде:

. (2.85)

Рис. 2.13. Углы Эйлера

тригонометрических функций в ряд Тейлора с удержанием членов первого порядка и перемножения матриц получаем:

Операция масштабирования при трансформировании координат заключается в изменении длины одинаково во всех направлениях с помощью

перехода или часть из них определяются по измерениям на опорных точках в рассматриваемой области [Галазин и др., 1997].

2.9.3. Стохастические модели преобразований координат

Если компоненты вектора rCK1 независимы и характеризуются средними

то c точностью до членов второго порядка можно принять:

Приведенные формулы подчеркивают очевидный факт: точность трансформированных координат зависит не только от точности исходных координат, но и от точности параметров трансформирования.

При переходе от геодезических координат B, L, H к прямоугольным X, Y, Z передача ошибок происходит в соответствии с формулой

Рис. 3.1. Геометрия точек в задаче двух тел Центральное гравитационное поле Земли характеризуется потенциалом

где – геоцентрическая гравитационная постоянная, а r – расстояние спутника от геоцентра. Вектор ускорения a = r , который, как и вектор силы F, направлен по радиусу-вектору к центру масс Земли, получаем путем умножения на единичный вектор r / r , то есть

Полученное дифференциальное уравнение описывает невозмущенное, или Кеплерово, движение. Уравнение (3.6) в координатной форме записывается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

x x r 3

z z r 3

Уравнение (3.6) или уравнение (3.7) должны иметь шесть независимых постоянных интегрирования, которые позволяли бы вычислять на любой момент положение и скорости спутника. Рассмотрим первые интегралы, определяющие закономерности невозмущенного движения.

1. Векторный интеграл площадей:

C r V . (3.8)

Постоянный вектор C является вектором кинетического момента спутника (рис. 3.1), направленным по нормали к плоскости орбиты, а его компоненты Cx , C y , Cz являются проекциями кинетического момента на координатные оси.