Антонович К.М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. Том 1.- М., 2005.- 334 с

Вектор C задаѐт ориентировку плоскости орбиты в пространстве. Орбитальное движение происходит в плоскости, проходящей через центр, а сама орбита является плоской кривой.

2. Интеграл энергии:

где h – постоянная энергии. Умножение уравнения (3.9) на m/2 дает:

Постоянный вектор λ называется вектором Лапласа. Он находится в плоскости орбиты и направлен в ближайшую к центральному телу точку орбиты спутника , называемую перигеем (рис. 3.2 и 3.3). Противоположная ему, наиболее удаленная от геоцентра точка орбиты, называется апогеем , а соединяющая их линия называется линией апсид. Линия, по которой пересекаются плоскости экватора и орбиты, называется линией узлов (рис. 3.2 и 3.3). В восходящем узле орбиты  спутник пересекает плоскость экватора, переходя из южного полушария небесной сферы в северное. В нисходящем узле спутник переходит из северного полушария в южное.

Это говорит о том, что среди этих 7 постоянных независимыми являются только 5.

3.1.2. Элементы орбиты и законы Кеплера

От постоянных интегрирования уравнений движения C, λ, h обычно переходят к другим постоянным параметрам, по которым можно вычислять

координаты и скорости спутника на любой момент времени в инерциальной системе отсчета. Их называют элементами орбиты. По своему назначению элементы орбиты обычно делят на три группы. К первой группе относят элементы, характеризующие размеры и форму орбиты. Это большая полуось a

(см. рис. 3.3) и эксцентриситет орбиты e:

Периодом обращения спутника P вокруг центрального тела называется промежуток времени между моментами двух последовательных прохождений через произвольную точку орбиты. Среднее движение n интерпретируется как средняя угловая скорость движения спутника.

Элементы второй группы задают ориентировку орбиты в пространстве. Они связаны с векторными интегралами площадей и Лапласа. К этим элементам относятся: наклонение i, долгота и аргумент перигея (см. рис. 3.2). Наклонением называют угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты. Его можно вычислить по формуле:

. (3.18)

Очевидно, что 0 i . Орбиты с наклонением, равным 0 или 180 , называют экваториальными, а с наклонением 90– полярными. Орбиты с 0< i < 90называют орбитами с прямым движением спутника, а с 90< i < 180– орбитами с обратным движением спутника (по отношению к направлению вращения Земли).

Долготой орбиты называется угол , отсчитываемый в плоскости экватора от направления на точку весеннего равноденствия  (нуль-пункта небесной системы координат) до направления на восходящий узел орбиты . Долготу определяют по формуле:

восходящий узел и на перигей, отсчитываемый по направлению движения спутника:

Элементы третьей группы задают положение спутника на орбите. Оно устанавливается с помощью момента прохождения перигея t или любой из аномалий (обычно истинной или средней) с указанием эпохи t. Истинной аномалией v (см. рис. 3.2 или 3.3) называется угол между направлениями на перигей и на спутник, отсчитываемый в сторону движения спутника:

Средняя аномалия M представляет собой угол от направления на перигей до направления на некоторое фиктивное положение спутника, движущегося

Уравнение для средней аномалии иногда называют динамическим интегралом, в котором содержится шестая независимая постоянная интегрирования – момент прохождения перигея t .

Для связи истинной и средней аномалии вводится эксцентрическая аномалия Е. Чтобы ее показать, вокруг орбитального эллипса описывается окружность с центром в точке C – геометрическом центре эллипса, с радиусом, равным его большой полуоси a (см. рис. 3.3). Через положение спутника – точку m

– проводится перпендикуляр к большой полуоси mmо до пересечения с окружностью в точке m . Соединяются точки C и m'. Угол E, отсчитываемый при центре эллипса от направления на перигей до направления на точку m , называется эксцентрической аномалией. Истинная и эксцентрическая аномалии

И. Кеплером в начале XVII в. Выведенные вначале для вращающихся вокруг Солнца планет, они оказались пригодными для всех других тел, поскольку в их основе лежит закон всемирного тяготения.

1-й закон Кеплера. Движение спутника вокруг притягивающего тела всегда происходит по коническому сечению (окружности, эллипсу, параболе, гиперболе, прямой), в одном из фокусов которого находится притягивающий центр. Закон выражается с помощью уравнения орбиты, имеющего вид:

В зависимости от величины эксцентриситета, различают орбиты в виде окружности (e = 0), эллипcа (0 < e < 1), параболы (e = 1), гиперболы (e > 1) и прямой (e = ). В дальнейшем мы будем рассматривать только эллиптические орбиты.

Для описания 2-го закона Кеплера потребуется ввести понятие секториальной скорости S . Это площадь, описываемая радиусом-вектором спутника за единицу времени. Она связана со скалярной константой площадей

C:

Площадь, описываемую радиусом-вектором спутника за промежуток времени t – t0, можно получить в виде определенного интеграла:

что является математической записью 2-го закона Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника описывает равные площади (рис. 3.4). Вследствие этого, линейная скорость движения спутника по орбите в перигее Vбольше, чем скорость в апогее V .

Рис. 3.4. Скорости спутника и 2-й закон Кеплера: выделенные площади орбиты описываются радиусом-вектором за равные промежутки времени

3-й закон Кеплера формулируется следующим образом: квадраты периодов обращения спутников пропорциональны кубам больших полуосей. Математическое выражение для него получается из формулы (3.16). Если у центрального тела (Земли) имеется два спутника, соответственно, с периодами P1 и P2 и с большими полуосями a1 и a2, то для квадратов их периодов можно записать:

а отношение этих выражений дает формулу 3-го закона Кеплера:

3.2. Возмущенное движение ИСЗ

3.2.1.Дифференциальные уравнения возмущенного движения

Всвободном полете на ИСЗ, помимо центральной силы тяготения, действуют также силы, обусловленные [Баранов и др., 1986; Балк, 1965]:

нецентральным полем тяготения, вызванным несферичностью Земли и неправильным распределением масс внутри нее;

влиянием гравитационных полей Солнца, Луны, планет и других небесных тел;

сопротивлением атмосферы; давлением прямой и отраженной солнечной радиации; лунно-солнечными приливами; релятивистскими эффектами и др.

У спутников, имеющих на борту запасы топлива, ускорения могут возникать из-за утечки газов из топливных контейнеров.

Все эти силы называются возмущающими силами Fвозм. , движение спутника в поле сил – возмущенным движением, а вызываемые этими силами ускоренияrвозм. в движении спутника – возмущающими ускорениями. В соответствии со вторым законом динамики,

соответствующих различным возмущающим силам. Дифференциальное уравнение возмущенного движения может быть получено из (3.6), если в нем

Решение уравнений (3.39) или (3.40) в квадратурах для реальных условий возможно лишь для некоторых частных случаев. При этом используются различные модели движения, позволяющие добиваться решения с достаточной точностью. Замена реальных сил на модельные силы, позволяющие интегрировать, приводит к понятию промежуточной орбиты. Частным видом промежуточной орбиты является Кеплерова орбита. При изучении возмущенного движения используется принцип Лагранжа, согласно которому возмущенное движение спутника происходит по орбите, элементы которой изменяются со временем. Это означает, что в каждый момент времени возмущенная орбита совпадает с некоторой орбитой, имеющей с ней общие радиус-вектор спутника r и вектор скорости V. Такие орбиты называют

Рис. 3.5. Система осей S, T, W

Если известны элементы орбиты на некоторый начальный момент t0, которые называют начальными условиями (НУ), и имеется модель возмущающих сил, то после определения возмущающих ускорений и подстановки их в уравнения (3.43), последние можно решить аналитическим или численным методом. В аналитическом методе решение получается в виде формул, позволяющих найти параметры движения в виде элементов орбиты или координат и скоростей КА на любой момент времени t. В численных методах решение отыскивается в виде таблицы значений параметров движения [Урмаев,

1981].

3.2.2. Основные виды возмущений

Как было показано в предыдущем разделе, на спутники радионавигационных систем действуют несколько видов возмущений гравитационной и негравитационной природы. Из-за того, что спутники вращаются на высоте примерно 20 000 км, влиянием отраженной солнечной радиации и сопротивлением воздуха можно пренебрегать. С другой стороны, возникают свои специфические трудности. Например, неправильная форма и, следовательно, различия в поперечных сечениях спутников, усложняют моделирование давления прямой солнечной радиации. Разнообразные материалы, использовавшиеся для изготовления спутников, имеют различные характеристики поглощения тепла, что приводит к дополнительным сложностям при учете возмущающих ускорений.

Чтобы продемонстрировать влияние возмущающих ускорений, приведем пример, предполагающий, что на спутник действует постоянное ускорение drвозм. = 10-9 мс-2. Связанное с ним смещение dr в положении спутника после двойного

t = 12 часов, получаем смещение спутника СРНС после одного оборота, которое равно dr 1 м. Это можно рассматривать как типичное значение смещений

[Hofmann-Wellenhof et al., 2001].

Возмущающий гравитационный потенциал Земли. Гравитационный потенциал Земли U на внешнюю точку можно представить в виде

где = GM – геоцентрическая гравитационная постоянная; r – геоцентрическое расстояние для внешней точки; R– возмущающая часть геопотенциала. Первый член в правой части (3.48) определяет невозмущенное движение (потенциал шара или точки), второй член определяет возмущения в движении спутника.

Возмущающий потенциал обычно задается в виде разложения в ряд по сферическим функциям:

где aE – большая полуось Земли; r – геоцентрическое расстояние спутника; , – его широта и долгота. Величины Сnm; Snm – безразмерные коэффициенты, характеризующие внешнее гравитационное поле Земли. Наконец, Pnm(sin ) – функции Лежандра (сферические функции), которые делятся на два типа: при m = 0 – полиномы Лежандра, а при 0 m n – присоединенные функции Лежандра. Целые числа n и m являются степенью и

порядком разложения.

Полиномы Лежандра определяются на основании формулы Родрига:

Приведем выражения для первых двух полиномов:

Выражение для присоединенных функций Лежандра имеет вид:

Сферические функции подразделяются на зональные, секториальные и тессеральные (мозаичные) в зависимости от линий на сфере, которыми разграничены области с различными знаками гармоник (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Области положительных и отрицательных значений:

а) у зональных; б) у секториальных; в) у тессеральных гармоник потенциала

Коэффициенты гармонического разложения Cnm, Snm известны по различным моделям геопотенициала. Наибольшее влияние на движение спутников оказывает связанный с экваториальным сжатием Земли коэффициент второй зональной гармоники C20 - 0.00010827. Максимальное значение возмущающего ускорения от сжатия равно rC20 5 10 5 см · с-2. Остальные

коэффициенты гармоник геопотенциала в тысячи раз меньше, и соответственно меньше оказываемое ими влияние.

Возмущающая функция от сжатия Земли записывается в виде:

Возмущающие ускорения S, T, W представляются выражениями:

После подстановки S, T, W в уравнения (3.43) и интегрирования в 1-м приближении при условии, что 1 , и все элементы постоянны, за исключением рассматриваемого, в трех элементах получаем возмущения, связанные со временем или аргументом широты u: