Вероятностные методы расчета конструкций

Далее получим вероятностные характеристики смещения:

где S f ( ) – спектральная плотность действующихвнешних сил.

Рассмотренная система является узкополосным фильтром, который пропускает в основном составляющие с частотами, близкими к pk , а потому можно принять, что спектральная

плотность в пределах полос пропускания системы постоянна (рис. 3.9). Предполагая, что спектральная плотность внешних сил не имеет острых пиков и разрывов, для дисперсии перемещения масс получим:

Рис. 3.9

2. Рассмотрим теперь случай, когда действуют различные случайные силы, статистически независимые между собой.

Можно использовать два метода решения.

Метод главных координат. Представляя действующие силы в виде fi (t) Fi (0) f0i (t), перейдем, как и прежде, от уравнений (3.31) к уравнениям в главных координатах:

101

j 1

Корреляционная функция суммы случайных некоррелированных функций равна сумме корреляционных функций, следовательно, можно определить спектральные плотности обобщенных сил через известные плотности заданных сил. Дальнейший ход решения подобен изложенному выше.

Методинтегральногопредставленияслучайныхфункций[20].

Будем полагать, что действующие на систему силы стационарны и их можно представить в виде интеграла Фурье:

fk (t) Fk ( )ei t d .

Разыскиваемые переменные yk (t) также запишем в виде

yk (t) yk 0 ( )ei t d .

Подставляя оба выражения в систему (3.37), получим:

(1 2m1 11 ) y10 2m2 12 y20 11F1 12 F2 ;

2m1 21 y10 (1 2m2 22 ) y20 21F1 22 F2 .

2

Решение можно представить в виде yk 0 Hki ( )Fi ,

i 1

102

(1 2m1 11 )(1 2m2 22 ) 4m1m2 12 21.

Находим спектральные плотности решений:

Syi ( ) Hi1 ( ) 2 S f1 Hi2 ( ) 2 S f2Hi1 ( )Hi2 ( ) (S f1 f2 S f2 f1 );

Sy1 y2 ( ) H11 ( )H21 ( )S f1 H11 ( )H22 ( )S f1 f2

H12 ( )H21 ( )S f2 f1 H12 ( )H22 ( )S f2 .

3.2.3. Вынужденные колебания систем с распределенными параметрами

До сих пор были рассмотрены колебания систем с конечным числом степеней свободы. Любая упругая система (стержни, пластины, оболочки и их сочетание) является системой с распределенными параметрами, и ее колебания описываются уравнениями в частных производных. Если решение такой системы ищется в виде разложения по собственным формам колебаний, то все трудности заключаются в определении форм собственных колебаний. Если частоты собственных колебаний близки между собой (в упругих системах типа пластин и оболочек), то осложнения могут возникнуть при учете взаимной корреляции между формами колебаний.

Уравнение колебаний системы имеет вид:

где w(x, y, z,t) – динамическое перемещение точек системы; m – масса элементарного объема; L(w(x, y, z,t)) – линейный диффе-

ренциальный оператор в частных производных (без учета сил сопротивления), который имеет следующий вид:

103

– для продольных колебаний стержня L(w(x,t))

x GIk x ;

–для прямоугольной пластинки L(w(x, y,t)) D w, где D –

– константыматериала; I, Ik – моментыинерции; h – толщина.

Решение уравнения (3.38) можно найти в виде разложения по формам свободных (собственных) колебаний [4]:

k 1

где uk (x) – прогиб при k-й форме свободных колебаний, кон-

Умножим (3.40) на uk (x) . Тогда, учитывая условие ортогональности собственных форм колебаний и разложение (3.39), получим уравнения, из которых можно найти функцию fk (t) :

104

сила, равная сумме произведений возмущающих сил на перемещения точек их приложения при k-м нормальном колебании, отнесенной к обобщенной массе Mk :

Таким образом, задача сведена к задаче, рассмотренной ранее (колебания с n степенями свободы). Некоторые особенности ее решения состоят лишь в определении обобщенных сил.

Взаимную корреляционную функцию обобщенных сил определим по формуле

105

Для стационарных случайных функций взаимная корреляционная функция зависит от разности моментов времени

( t t1 ), т.е. KFi Fj (t,t1 ) KFi Fj ( ) .

Корреляционная функция прогиба

Для определения взаимных корреляционных функций K fi f j предварительно найдем взаимные спектральные функции S fi f j .

Для этого обратимся к уравнению (3.41).

Распределенная нагрузка q(x,t) является стационарной

функцией, поэтому диагональная матрица передаточных коэффициентов

Подставляя полученное соотношение в (3.44), получим окончательное выражение корреляционной функции прогиба.

В случаях, когда внешняя нагрузка и вибрационное поле являются стационарными случайными процессами, эффективен метод временных преобразований Фурье.

106

Например, если ввести спектральные плотности для функций q(x,t) и y(x,t) следующим образом:

то, рассматривая уравнение (3.40) и применяя к нему дифференциальное преобразование Фурье по времени, получим уравнение связи для спектральных плотностей:

EI x44 m 2 EI x44 m 2 Sy (x, x1, ) Sq (x, x1,t). (3.45)

Имеем граничные условия: Sy 2 S2y 0 при x = 0, x = l.

x

Решение уравнения (3.45) можно представить в виде:

Корреляционная функция прогиба

Ky (x, x1, ) Sy (x, x1, )ei d .

Задачи для самостоятельного решения

1. Упругий однородный шарнирно закрепленный стержень длиной l, показанный на рисунке, совершает случайные изгибные колебания под действием случайной сосредоточенной силы q1(t), приложенной в точке х = х1.

107

В точке В струны сигнал снимается. Снимаемый сигнал зависит от скорости точки В. Если возбуждающая сила имеет случайную составляющую q(t) , то при колебаниях струна будет

иметь дополнительные прогибы y и дополнительные скоростиy , которые внесут искажения в снимаемый сигнал.

Определить дисперсию скорости y в точке В при стацио-

нарных колебаниях струны, если спектральную плотность случайной составляющей силы q можно представить в виде

109

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИЙ НА СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

4.1.Вероятностные основы задач надежности конструкций

Технические объекты различного назначения могут быть достаточно эффективными только при условии высокой надежности, которая закладывается при проектировании, обеспечивается при изготовлении, расходуется при эксплуатации. Она имеет исключительно важное значение для различных установок, машин и механизмов, поскольку от нее зависит их эффективность и безопасность использования.

Для количественной оценки надежности той или иной системы необходимо установить критерий надежности. Для конструкций таким критерием может служить недопустимость достижения предельного состояния (недопустимо большие пластические деформации, потеря устойчивости, хрупкое разрушение, появление трещин, недопустимо большие деформации из-за ползучести материала и т.п.) за время ее эксплуатации.

Длительное время высокая надежность обеспечивалась введением запаса. Запас облегчал режимы работы элемента, детали и объекта в целом, что приводило к увеличению срока их службы. Однако проектируемые объекты оказывались большими по габаритам и обладали солидной массой. Выполнение требований уменьшения габаритов и массы, прежде всего за счет большей степени использования материала, приводило к уменьшению надежности разрабатываемых конструкций.

При детерминированной постановке задачи оценить работоспособность элементов конструкции в настоящее время можно либо по методу предельного состояния, либо по методу допустимых нагрузок. В последнем случае используют выражение

110