Вероятностные методы расчета конструкций

Таблица 5 . 2

Формулы для расчета показателей надежности невосстанавливаемых объектов приведены в табл. 5.2.

5.3. Надежность восстанавливаемых объектов

Для восстанавливаемых систем характерно чередование времени исправной работы и времени восстановления (ремонтов). Эксплуатация многих восстанавливаемых объектов может быть описана следующим образом. В начальный момент времени объект начинает работу и функционирует до отказа. При отказе происходит восстановление, и объект опять работает до отказа и т.д. Функционирование объекта можно рассматривать как случайный процесс перехода объекта из одного состояния в другое, обусловленный отказами и восстановлением составляющих систему элементов.

Оказалось удобным процесс возникновения отказов рассматривать как поток случайных событий, происходящих случайно во времени. Последовательность отказов, происходящих один за другим в случайные моментывремени, носит названиепотокаотказов.

Этот процесс при определенных условиях может быть достаточно строго описан дискретным марковским процессом (с непрерывным временем и конечным числом состояний).

171

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространены следующие допущения [17]:

–поток отказов системы носит пуассоновский характер,

иинтенсивность отказов равна ;

–время восстановления системы является величиной

случайной, распределенной по экспоненциальному закону

( Pв (t) 1 e t );

– система может находиться в двух состояниях: 1 – работоспособное, 2 – ремонт.

Допущения во многом справедливы, поскольку, во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации; во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

В качестве примера вычисления показателей надежности рассмотрим восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

ω= λ = 1/ T0,

араспределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному закону с интенсивностью восстановления

μ = 1/ Tв,

где T0 – средняя наработка между отказами; Tв – среднее время восстановления.

Поведение системы с точки зрения работоспособности можно описать графом переходов (рис. 5.6), на котором кружки с номером означают состояние системы, а стрелки (дуги) – направление переходов системы и

Рис. 5.6 вероятности этих переходов за бесконечно малый интервал времени.

172

Вероятности переходов в силу сделанных предположений и свойства показательного закона надежности не зависят от времени. Обозначим вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии P1 (t) , а в состоянии восстановления

(ремонта) P2 (t) .

Для расчета надежности при экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления используем метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова – Чепмена):

Это позволяет оценить вероятности работоспособного состояния объекта в зависимости от начального состояния:

Следовательно, вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии

P2 (t) 1 e ( )t .

Вероятность нахождения в работоспособном состоянии

173

Рассмотрим численные показатели надежности восстанавливаемых объектов.

Этот класс объектов характеризуется безотказностью, долговечностью, ремонтопригодностью, которые имеют количественные показатели.

К показателям безотказности относятся следующие:

1. Параметр потока отказов – плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени. Иными словами, это математическое ожидание числа отказов в единицу времени r(t) , взятое для рассматриваемого момента времени:

где P 1 (t) – вероятность того, что в течение промежутка време-

ни t произойдет более одного отказа. Статистический параметр потока отказов

где ni (t) – число отказов к моменту t; N(0) – число объектов.

Потоки отказов по своему характеру бывают самыми различными. Наибольшее практическое применение находит простейший поток, который характеризуется тремя свойствами:

– ординарностью, выражающейся в том, что вероятность появления двух и более отказов оборудования в течение промежутка времени t стремится к нулю при уменьшении этого промежутка, т.е.

lim P 1 (t) 0;

t 0 t

– стационарностью, заключающейся в том, что параметр потока отказов является постоянным, т. е. (t) const ;

174

– отсутствием последействия, состоящим в том, что отказы, произошедшие ранее, не влияют на возникновение последующих отказов.

Пусть интервалы времени безотказной работы между двумя соседними отказами распределены по экспоненциальному закону. Тогда вероятность того, что за промежуток времени t в системе произойдет k отказов, определяется по формуле Пуассона:

Pk (t) ( t)k e t ,

k!

где λ – среднее число отказов в единицу времени (интенсивность отказов), λ = const.

Из перечисленных свойств следует, что при простейшем потоке отказов (при k = 0)

(t) (t) 0 0 ,

т.е. параметр потокаотказов совпадаетс интенсивностью отказов. 2. Вероятность безотказной работы. Параметр потока отказов и наработка до отказа характеризуют безотказность ремонтируемого изделия лишь при условии его мгновенного восстановления после отказа, т. е. не учитывают времени, необходи-

мого для его восстановления.

В этом случае для большинства нерезервированных объектов в период их нормальной работы вероятность безотказной работы

P(t) exp( 0t).

3. Наработка до отказа. Для ремонтируемых объектов удобным для практики критерием надежности является среднее время работы между двумя соседними отказами, или наработка до отказа. Значения этого параметра определяются по результатам обработки статистического материала, полученного в ходе эксплуатации или экспериментов.

175

Наработка до отказа – отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки:

Другими словами, это математическое ожидание времени между двумя ближайшими последовательными отказами. В общем случае наработка до отказа зависит от длительности интервала, в течение которого она определяется. Это обусловлено непостоянством характеристики потока отказов.

Для интервала нормальной работы при экспоненциальном законе распределения отказов справедливо соотношение

T0 1 .

0

Статистически наработка до отказа определяется следующим образом:

где ti – время безотказной работы между (i–1)-м и i-м отказами.

Увеличение безотказности позволяет обеcпечить безаварийную работу объекта и в значительной степени повысить тех- нико-экономическую эффективность.

Восстановление отказавшего элемента часто требует времени, которым нельзя пренебречь. Среднее время восстановления системы Тв – это математическое ожидание продолжительности восстановления системы после отказа, т. е. среднее время вынужденного, нерегламентированного простоя, вызванного отысканием и устранением отказа,

176

где fв (t) – плотность вероятности времени восстановления; Fв (t) – функция распределения времени восстановления.

Основной характеристикой восстанавливаемой системы является коэффициент готовности. Коэффициент готовности Kг для установившегося режима эксплуатации определяется как вероятность того, что система будет исправна в произвольно выбранный момент в промежутках между плановыми техническими обслуживаниями:

Kг Tr Tr Tв .

В качестве основных показателей долговечности используют средний ресурс и средний срок службы.

Средний ресурс – математическое ожидание ресурса с учетом восстановления.

Статистически средний ресурс определяют по формуле

где N – число объектов; tpi – ресурс i-го объекта.

Различают несколько видов ресурса: гарантированный, гамма-процентный и назначенный ресурс.

Средний срок службы – математическое ожидание срока службы (календарной продолжительности эксплуатации) объекта от начала эксплуатации до наступления предельного состояния с учетом восстановления. Статистически его можно определить по формуле

где tслi – срок службы i-го объекта.

Ремонтопригодность характеризуется показателями: вероятностью восстановления в заданное время Рв и средним временем восстановления Тв.

177

В комплекс показателей надежности восстанавливаемых объектов входят и все показатели надежности невосстанавливаемых объектов.

5.4. Надежность систем

Основной задачей расчета надежности системы является определение показателей безотказности ее по данным о надежности элементов и связях между ними. Для выполнения этого необходимо:

–обосноватьвыбортогоилииногоконструктивногорешения;

–выяснить возможностьи целесообразностьрезервирования;

–выяснить, достижима ли требуемая надежность при существующей технологии разработки и производства.

Расчет надежности состоит из следующих этапов:

1) определение состава рассчитываемых показателей надежности;

2) составление (синтез) структурной логической схемы надежности (структуры системы), основанное на анализе функционирования системы (какие блоки включены, в чем состоит их работа, перечень свойств исправной системы и т.п.), и выбор метода расчета надежности;

3) составление математической модели, связывающей рассчитываемые показатели системы с показателями надежности элементов;

4) выполнение расчета, анализ полученных результатов, корректировка расчетной модели.

При определении надежности всегда составляется структура системы – логическая схема взаимодействия элементов, определяющая работоспособность системы, т.е. графическое отображение элементов системы, позволяющее однозначно определить состояние системы (работоспособное/неработоспособное) по состоянию (работоспособное/ неработоспособное) элементов.

По структуре выделяют системы:

–без резервирования (основная система);

–с резервированием.

178

При расчете для систем с невосстанавливаемыми элементами определяются следующие показатели:

–cредняя наработка до отказа (T0с);

–вероятность безотказной работы Pс(t);

–интенсивность отказов λс(t);

–плотность вероятности отказов fс(t).

Надежность любого изделия определяется надежностью деталей, составляющих это изделие. При этом наиболее часто встречаются два способа соединения деталей: последовательное и параллельное.

5.4.1. Последовательное соединение

Последовательным называют такое соединение (рис. 5.7), при котором отказ любого элемента приводит к отказу изделия в целом, т.е. изделие работоспособно, если все элементы работоспособны.

Рис. 5.7

Если в системе с последовательным соединением элементов отказы статистически независимы, то, как известно, эта система сохраняет работоспособность только тогда, когда все ее последовательно соединенные элементы работают безотказно. При этом вероятность наступления совместного события, состоящего из независимых событий, равна произведению вероятностей наступления каждого события, т.е. вероятность безотказной работы системы с неодинаковыми последовательно соединенными элементами

i 1

где n – число элементов или подсистем; Pi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента.

179

Если вероятность безотказной работы каждого из элементов постоянна, то будем иметь простейшую задачу надежности. Например, если мы имеем 4 элемента и надежность каждого известна: Р1 = 0,9; Р2 = 0,8; Р3 = 0,7; Р4 = 0,6, то надежность всей системы Р = Р1·Р2·Р3·Р4 = 0,3024. Как видно на этом примере, надежность системы, состоящей из последовательно соединенных элементов, меньше надежности любого из ее элементов.

Если значения наработки элементов до отказа распределены по экспоненциальному закону (т.е. все элементы имеют постоянные интенсивности отказов), то вероятность безотказной работы i-го элемента определяется по формуле:

Pi (t) e it .

Вероятность безотказной работы системы последовательно соединенных элементов

i 1

Полученное выражение показывает, что среднее время безотказной работы системы с последовательным соединением элементов есть величина, обратная сумме интенсивностей отказов отдельных элементов.

Пример 5.3. Предположим, что для работы системы с последовательным соединением элементов при полной нагрузке необходимы два разнотипных насоса, причем насосы имеют постоянные интенсивности отказов (соответственно 1 0,0001 1/ ч,

2 0,0002 1/ ч). Требуется вычислить среднее время безотказ-

180