Вероятностные методы расчета конструкций

где

В полученных соотношениях операция М[ ] есть операция условного математического ожидания. Коэффициент а1 характеризует скорость изменения случайной функции, а b1 – скорость

изменения условной дисперсии случайной функции. Коэффициент с1 часто принимают равным нулю, что возможно, если веро-

решение уравнения (2.40) справедливо (при с1 = 0) только для интервалов времени t , много больших интервалов времени между скачками. Окончательно получаем уравнение в виде (первое уравнение Колмогорова):

Уравнение (2.41) дает возможность определить условную плотность вероятности f (x,t x0 ,t0 ) как функцию начального состояния (независимыми переменными являются x0 и t0). Уравнение, позволяющее определить изменение условной

71

Чтобы применить аппарат теории марковских процессов к задачам статистической динамики, необходимо установить класс систем, поведение которых может рассматриваться как непрерывный марковский процесс. Очевидно, что должны быть наложены существенные ограничения на оператор связи параметров системы с нагрузкой L[x(t)] = q(t).

Пусть x(t) определяет одномерный процесс, а L является дифференциальным оператором. Нетрудно заметить, что поведение системы в любой момент времени не будет зависеть от истории состояния только в том случае, если L имеет первый порядок (поведение в этом случае зависит только от начального состояния), т.е. дифференциальное уравнение относительно x(t) должно иметь вид:

Здесь f (t) – неслучайная функция. Кроме того, внешнее

воздействие q(t) должно быть дельта-коррелированным; в противном случае история системы будет влиять на ее поведение через стохастическую связанность воздействия. Итак, внешнее воздействие q(t) должно быть белым шумом с известными вероятностными характеристиками mq 0, Kq S0 ( ).

Изложенную теорию можно обобщить на многомерные марковские процессы, что позволяет решать задачи в случаях, когда дифференциальный оператор имеет, например, второй или более высокий порядок.

72

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить нормированную корреляционную функцию, если X (t) Ae t , где А – случайная величина с известным математическим ожиданием mA и дисперсией DA .

2. Определить, является ли случайная функция X (t)

n

(Ai cos it Bi sin it) стационарной, если Ai и Bi – случай-

i 1

ные взаимно независимые величины с нулевыми математическими ожиданиями и равными дисперсиями (DAi DBi Di ).

3. Определить корреляционную функцию случайной функции

Y (t) a(t)X (t) b(t) dXdt(t) ,

где a(t) , b(t) – неслучайные функции; X(t) – случайная функция

сизвестными характеристиками: mх 0 и Kx (t1,t2 ).

4.Балка длиной l, изображенная на рисунке, имеющая постоянную изгибную жесткость EI , нагружена случайной поперечной силой q с извест-

ными числовыми характеристиками. Определить математическое ожидание и дисперсию максимального прогиба.

5.Балка длиной l, имеющая постоянную изгибную жесткость EI , нагружена, как показано на рисунке, случайной поперечной силой q с известны-

ми числовыми характеристиками. Определить математическое ожидание и дисперсию максимального прогиба.

73

3. СЛУЧАЙНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

Колебательные системы и процессы уже длительное время привлекают внимание исследователей и проектировщиков. Повышенные экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям, машинам и оборудованию в последние десятилетия вызвали особый интерес к изучению случайных колебаний. Области инженерной деятельности, так или иначе связанные со случайными процессами, к настоящему времени чрезвычайно расширились по объективным причинам. Почти любое техническое устройство, оборудование, прибор, здание или сооружение находится под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме их функционирования.

Многие задачи прикладной теории колебаний могут быть удовлетворительно сформулированы и решены лишь с использованием стохастических моделей. К ним относятся прежде всего задачи о колебаниях систем, возбуждаемых случайными нагрузками. Примером служат нагрузки от атмосферной турбулентности, пульсаций в пограничном слое, акустического излучения работающих двигателей, морского волнения, неровностей дороги и т.д. Многие технологические процессы также сопровождаются случайным изменением динамических нагрузок (например, нагрузки, действующие на элементы горнодобывающих и горнообрабатывающих машин). Помимо нагрузок случайные факторы могут войти в вибрационные расчеты также через параметры системы. Случайный разброс собственных частот или коэффициентов демпфирования также может оказать существенное влияние на выводы о виброустойчивости.

Для решения общих динамических задач используются две теории: корреляционная теория и стохастическая, связанная с теорией процессов Маркова и уравнениями Фоккера – Планка – Колмогорова. Корреляционная теория обычно используется при

74

исследовании линейных систем с постоянными и переменными параметрами и нелинейных систем после их предварительной линеаризации (любым методом), а стохастическая теория весьма удобна для исследования нелинейных и параметрических (линейных и нелинейных) систем. Стохастическая теория удобна и для исследования линейных систем с постоянными и переменными параметрами, если закон распределения значительно отличается от нормального.

Известно, что определенный класс случайных функций можно представить в виде суммы конечного или бесконечного числа соответствующим образом выбранных неслучайных функций, зависящих от случайных параметров. Если число этих параметров конечно, то от операций над случайными функциями можно перейти к операциям над соответствующими случайными величинами. Примером подобного класса задач являются задачи о линейных свободных колебаниях систем. Для решения подобного класса задач можно использовать квазистатические методы.

Для расчета случайных колебаний необходимо иметь статистические данные о нагрузках и о свойствах системы. Поэтому к теории случайных колебаний примыкает теория статистической обработки опытных данных, а также теория идентификации динамических систем. Интерпретация вероятностных выводов о колебаниях требует применения методов теории надежности.

Для исследования случайных колебаний применяют методы моментных функций (метод дифференциальных уравнений относительно моментных функций, метод функций Грина), методы спектральных представлений (с использованием канонических разложений и метода временных преобразований Фурье), а также метод разложения по собственным формам.

Теорию случайных колебаний изложим аналогично классической теории колебаний, что позволит наиболее наглядно показать, чем эти разделы механики (детерминированные и случайные колебания) родственны и чем отличаются один от другого.

75

3.1. Свободные случайные линейные колебания систем

Рассмотрим движение детерминированной системы, вызванное случайными начальными отклонениями от положения равновесия. В реальных условиях реализовать движение механической системы с абсолютно точными значениями начальных условий невозможно, так как всегда имеет место разброс начальных данных. Поэтому реальное движение отличается от расчетного, и возникает необходимость в оценке возможных отклонений движения от расчетного. Задача определения вероятностных характеристик движения при свободных колебаниях, вызванных случайными отклонениями от положения равновесия, является наиболее простой.

Рассмотрим простейшую задачу – задачу линейных колебаний системы с одной степенью свободы. Уравнение свободных колебаний с учетом сил вязкого сопротивления имеет вид:

венная частота колебаний системы без учета сил трения, p02 c / m; с – коэффициент упругости; m – масса.

Решение уравнения (3.1): x(t) e nt (C1 sin pt C2 cos pt) .

76

Введем обозначения:

Тогда

x(t) x0 f1 (t) v0 f2 (t),

где x0 , v0 – случайные числа; f1 (t), f2 (t) – неслучайные функции.

Имеем каноническое представление случайной функции, математическое ожидание которой согласно формуле (2.16) можно записать в виде

mx (t) mx0 f1 (t) mv0 f2 (t).

Корреляционная функция решения

Kx (t,t1 ) Dv0 f1 (t) f1 (t1 ) Dv0 f2 (t) f2 (t1 )Kx0v0 f1 (t) f2 (t1 ) f1 (t1 ) f2 (t) .

Дисперсия перемещения

Dx (t) Dx0 f12 Dv0 f22 2Kx0v0 f1 f2 .

Если начальные условия некоррелированны, то

Dx (t) Dx0 f12 Dv0 f22 .

По аналогии можно записать выражения для математических ожиданий и корреляционной функции скорости и ускорения движения:

Kx (t,t1 ) Dv0 f1 (t) f1 (t1 ) Dv0 f2 (t) f2 (t1 )

Kx0v0 f1 (t) f2 (t1 ) f1 (t1 ) f2 (t) ;

77

Kx (t,t1 ) Dv0 f1 (t) f1 (t1 ) Dv0 f2 (t) f2 (t1 )

Kx0v0 f1 (t) f2 (t1 ) f1 (t1 ) f2 (t) .

Пример 3.1 [21]. Механическая система с одной степенью свободы (рис. 3.1), состоящая из абсолютно жесткого тела, подвергается в начальный момент времени действию случайного ударного импульса (волны). Известны вероятностные характеристики случайного импульса J (mJ , DJ ) и характеристики

системы ( J0 – момент инерции тела от-

носительно оси, перпендикулярной чертежу и проходящей через точку О, и длина l).

Требуется определить параметры системы амортизации (с и α) из условий: 1) максимальный угол отклонения тела от действия начального импульса не должен превышать допустимого 1 ;

2) за заданное время tk амплитуда угло-

вых колебаний тела должна уменьшиться в k раз.

Решение. Уравнение движения тела

78

Если вероятностные характеристики случайного импульса известны, то известны и вероятностные характеристики начальной угловой скорости:

Тогда вероятностные характеристики решения (3.4) будут следующими:

m (t) mpv0 e nt sin pt; K (t, ) Dpv20 e n(t ) sin pt sin p ;

pv0 e nt sin pt.

Максимальное значение угла φ для любого момента времени (с использованием правила трех сигм)

Из соотношения (3.6) можно найти один из параметров амортизации:

c (mJ 3 J )2 .

J0 12l2

Найдем теперь время tk , за которое амплитуда угловых колебаний тела должна уменьшиться в k раз:

79

где n1 n / p0 .

В зависимости от конкретных значений k и k1 находим корень n1* уравнения (3.7), что позволяет определить коэффициент силы вязкого трения (второй амортизационный коэффициент):

* 2 p0 J0n1* .

l2

По аналогии можно решить задачу о свободных линейных колебаниях систем с любым числом степеней свободы. Для примера рассмотрим задачу об изгибных колебаниях стержня, возникающих за счет случайных отклонений системы от положения равновесия.

Пример 3.2. В начальный момент времени стержень длиной l (рис. 3.2) получил случайное отклонение, описываемое уравнением

где y0 – случайная величина с известными вероятностными характеристиками: my0 0 и Dy0 . Определить дисперсию прогибов стержня.

80