Вероятностные методы расчета конструкций

быть определена, т.е. поведение системы в будущем можно точно предсказать, зная ее поведение в прошлом. В случайных же процессах предсказать, как будет изменяться функция X (t),

нельзя, пока не будет проведен опыт. Кроме того, если в результате проведения опыта мы зафиксировали, как менялась эта функция во времени от нуля до t1, то предсказать поведение ее во времени t t1 затруднительно. Таким образом, каждая реали-

зация, характеризующая процесс, зависит от двух аргументов – дискретного номера реализации и непрерывного времени.

Для вероятностного описания случайных процессов можно использовать метод сечений. Для этого зафиксируем некоторый момент времени t1, тогда в сечении получим набор случайных чисел хj(t1) (j = 1,2, …, n), полной вероятностной характеристикой которых будет закон распределения. Этот закон распределения называют одномерным законом распределения случайной функции x(t1 ) x1 , и он может быть задан одномерной плотно-

стью вероятности f (x1,t1 ) . Однако этот закон не является пол-

ной характеристикой случайной функции X(t), ибо не позволяет ответить на вопрос о зависимости случайных величин X(t) для любых t. Более полной характеристикой является двумерный закон распределения f (x1,t1, x2 , t2 ) , представляющий собой рас-

пределение системы двух случайных функций x(t1) и x(t2) для двух произвольных сечений. Но и эту характеристику нельзя назвать исчерпывающей, так как более полным будет трехмерный закон распределения. Теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать более подробную информацию о случайной функции с помощью n-мерной плотности распределения. Однако использовать на практике столь громоздкие характеристики практически невозможно.

Для случайных функций можно ввести характеристики, аналогичные числовым характеристикам для случайных величин, только это будут уже не числа, а функции. Для их введения рассмотрим сечение случайной функции Х(t) при фиксирован-

41

ном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину, с математическим ожиданием m(t). Но t может быть любым, следовательно, математическим ожиданием случайной функции Х(t) называется неслучайная функция mx(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции и вблизи которой группируются все реализации случайного процесса:

Аналогично определяется дисперсия случайной функции. Математическое ожидание является частным случаем ха-

рактеристик случайного процесса, получивших название моментных функций, которые получаются в результате произведения значений функций X(t) при различных t и операции осреднения по множеству реализаций. Последовательность моментных функций можно представить в виде:

M[X (t)], M[X (t1 )X (t2 )], M[(X (t1 )X (t 2 )X (t3 )], ...

Число сомножителей в произведении называют порядком моментной функции. Моментная функция первого порядка есть математическое ожидание случайной функции. Для задания случайного процесса необходимо знать полную систему моментных функций, включая функцию сколь угодно высокого порядка при любых комбинациях значений t1, t2 , ..., tm T.

0

Если функции центрированные, т.е. X (t1 ) X (t1 ) mx (t1 ) ,

то центральная моментная функция второго порядка, характеризующая взаимосвязь между значениями случайной функции Х(t1) и Х(t2), называется корреляционной функцией:

Таким образом, корреляционной функцией случайной функции X (t) называется неслучайная функция двух аргумен-

42

тов Kx (t1,t2 ) , которая при каждой паре значений t1 , t2 равна

корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции.

На рис. 2.2 приведены две случайные функции, которые имеют совершенно различные корреляционные функции.

Рис. 2.2

На рис. 2.2, а корреляционная функция медленно убывает по мере увеличения промежутка (t1, t2), а корреляционная функция случайного процесса на рис. 2.2, б быстро убывает с увеличением этого промежутка.

Корреляционная функция Kx (t1,t2 ) при совпадении ее аргументов равна дисперсии случайной функции:

Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.

Поскольку корреляционный момент двух случайных величин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, то корреляционная функция вещественной случайной функции симметрична относительно своих аргументов, т.е.

43

Вместо корреляционной функции Kx (t1,t2 ) можно рассматривать нормированную корреляционную функцию

Отметим некоторые полезные свойства корреляционных функций:

1. Добавление к случайной функции неслучайной величины или неслучайной функции не изменяет значения корреляционной функции. Действительно, пусть

Y (t) X (t) (t),

44

Пользуясь указанными свойствами случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию или дисперсию, можно заранее перейти от нее к центрированнойфункции. Математическоеожидание центрированнойфункции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционнойфункцией случайнойфункции X (t).

Рассмотрим теперь систему двух случайных функций X(t) и Y(t), характеризующих различные случайные процессы. Второй смешанный момент от центрированных случайных функций

Таким образом, взаимной корреляционной функцией двух случайных функций называется неслучайная функция двух аргументов t1 и t2, которая при каждой паре значений t1, t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции X (t) и случайной функции Y (t) . Эта функция не

удовлетворяет условию симметрии относительно своих аргу-

ментов, т.е. Kxy (t1,t2 ) Kyx (t1,t2 ) , но Kxy (t1,t2 ) Kyx (t2 ,t1 ) .

В прикладных задачах часто используют нормированную корреляционную функцию

rxy (t1,t2 ) x (t1 ) y (t2 ) .

Можно выделить два класса случайных функций, которые с точки зрения оценки напряженного состояния конструкций представляют значительный интерес. Это стационарные функции и функции, имеющие нормальный закон распределения ординат, для которых исчерпывающей характеристикой является их математическое ожидание и корреляционная функция.

45

Случайная функция X (t) называется стационарной, если ее

математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции:

mx (t) const; Kx (t1,t2 ) Kx (t2 t1 ) Kx ( ),

где t2 t1.

Учитывая свойство симметрии корреляционной функции, имеем:

Kx (t2 t1 ) Kx (t1 t2 ) или Kx ( ) Kx ( ),

т.е. корреляционная функция стационарного процесса является четной функцией аргумента.

Дисперсия стационарной случайной функции

Kx (t1,t1 ) Kx (t1 t1 ) Kx (0) const Kx ( ),

т.е. для вещественной случайной функции начальная ордината корреляционной функции имеет наибольшее значение.

На практике наиболее распространенными являются корреляционные функции стационарных процессов, показанные на рис. 2.3.

Рис. 2.3

Пример 2.1. Определить корреляционную функцию случайной функции X (t) , если

X (t) Asin t Bcos t,

46

где А и В – случайные величины, для которых известны

mA , mB , A , B , KAB (mA mB 0).

Решение. По определению

Kx (t1,t2 ) M (Asin t1 B cos t1 )(Asin t2 B cos t2 )M A2 sin t1 sin t2 AB(sin t1 cos t2 cos t1 sin t2 )

B2 cos t1 cos t2 ,

или

Kx (t1,t2 )

M A2 sin t1 sin t2 ABsin (t1 t2 ) B2 cos t1 cos t2 .

Окончательно получаем:

Kx (t1,t2 ) 2A sin t1 sin t2KAB sin (t1 t2 ) 2B cos t1 cos t2 .

В частном случае, когда KAB 0 (А и В – независимы) и 2A 2B , получим:

Kx (t1,t2 ) 2A cos(t1 t2 ),

т.е. при независимых значениях амплитуд X (t) – стационарная

функция (корреляционная функция зависит только от разности ( t1 t2 ), ее дисперсия Dx Kx (0) DA ).

Большинство стационарных случайных функций обладают свойством эргодичности, которое состоит в том, что совокупность значений одной и той же реализации данной функции, соответствующих различным значениям ее аргумента, по своим статистическим свойствам эквивалентна совокупности значений разных реализаций той же функции, взятых при одном и том же значении аргумента. Другими словами, если стационарная функция эргодична, то ее среднее значение по времени (на достаточно большом интервале наблюдений) приближенно равно среднему значению по множеству наблюдений, т.е.

47

среднее значение по времени для одной реализации. Достаточным условием эргодичности функции является стремление ее корреляционной функции к нулю при безграничном увеличении аргумента

( lim Kx ( ) 0 ).

2.2. Линейные преобразования случайных функций

Рассмотрим преобразование случайной функции X (t) в другую случайную функциюY (t) того же аргумента t. Используя понятие оператора преобразования, запишем эту связь в виде

Y (t) L(X (t)),

где L – оператор динамической системы (в целях простоты изложения рассмотрим лишь наиболее элементарный случай преобразования одной функции в другую).

Операторы, применяемые к функциям, могут быть различных типов. Наиболее важным для практики является класс так называемых линейных операторов.

Оператор L называется линейным однородным, если он обладает следующими свойствами:

1) к суммефункцийоператор можетприменяться почленно:

2) постоянную величину сможно выноситьза знакоператора:

Из второго свойства следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство L(0) 0.

48

Примеры линейных однородных операторов:

где (t) – определенная (неслучайная) функция.

Если вероятностные характеристики случайной функции X (t) известны, то вероятностные характеристики Y (t) можно

найти из соотношений:

функции нужно дважды применить тот же оператор к корреляционной функции Kx (t1,t2 ) : сначала по одному аргументу, за-

тем по другому.

Кроме линейных однородных операторов, существуют еще линейные неоднородные операторы. Оператор L0 называется

линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора L с прибавлением некоторой вполне определенной функции (t) :

Y (t) L0 (X (t)) L(X (t)) (t).

Примеры линейных неоднородных операторов:

3) Y (t) 1 (t)X (t) 2 (t),

49

где (t), 1 (t), 2 (t) – вполне определенные функции, а X (t) – преобразуемая оператором функция.

Если L0 – неоднородный оператор, то my (t) M[LX (t)](t) , т.е. функция (t) просто прибавляется к математическому

ожиданию случайной функции на выходе линейной системы. Что же касается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайной функции неслучайного слагаемого, а потому ее корреляционная функция совпадает с (2.8). В дальнейшем изложении под линейными операторами будем подразумевать только линейныеоднородныеоператоры.

В качестве примера использования операторов рассмотрим операции дифференцирования и интегрирования случайной функции.

Дифференцирование случайной функции. В теории случай-

ных функций доказывается, что они имеют производные лишь в том случае, если существует вторая смешанная производная корреляционной функции:

2 Kx (t1,t2 ) при t1 t2 .2t1t2

Для стационарной случайной функции условием дифференцируемости будет существование второй производной от корреляционной функции по τ при τ = 0.

Производная дифференцируемой случайной функции (ее можно трактовать как скорость изменения по времени)

Y (t) dtd X (t) также является случайной функцией, а ее матема-

тическое ожидание равно производной от математического ожидания самой функции:

50