Вероятностные методы расчета конструкций

изошел выброс) и Nj = 0 (если внутри интервала выброса не было).

n

Тогдаполноечисло выбросов Na N j .

j 1

Найдем математическое ожидание полного числа выбросов (среднее значение):

Но математическое ожидание каждой из величин Nj численно равно вероятности выброса в j-м интервале, т.е. p a t j dt j , а потому будем иметь:

n

mNa p a t j dt j .

j 1

Увеличивая число интервалов dtj до бесконечности и учитывая (4.17), получим среднее число выбросов Na за время T:

Для стационарных процессов эти формулы упрощаются, так как и плотность распределения ординат случайной функции

f (x t) , и плотность распределения ординат и скорости f (x,v t)

не зависят от времени. Обозначая эти плотности соответственно через f (x) и f (x,v) , замечаем, что интегрирование по t равно-

сильно умножению на Т и, следовательно, для стационарной функции формулы примут вид:

141

Таким образом, для стационарного процесса среднее время пребывания случайной функции выше заданного уровня а, рассчитанного для промежутка времени Т, и полное число выбросов за тот же промежуток времени пропорциональны рассматриваемому промежутку времени Т, а средняя продолжительность выброса от этого промежутка не зависит. Поэтому для стационарного процесса можно ввести понятие среднего числа выбросов в единицу времени:

которое не отличается от временной плотности вероятности выброса за единицу времени (см. (4.17)).

Получим окончательные числовые результаты для стационарного процесса, описываемого нормальными законами распределения.

Для нормального стационарного процесса плотность распределения

где 2x Kx (0) .

142

Скорость и ордината для одного и того же момента времени являются несвязанными случайными функциями, а следовательно, и независимыми, потому двумерная плотность распределения равна произведению плотностей:

В этом выражении учтено, что для стационарного процесса mv 0 .

Подставляя (4.26) в (4.25), получим среднее число выбросов в единицу времени:

a 2 x

Формула (4.27) носит название формулы Райса и определяет число выбросов в единицу времени для нормального стационарного процесса.

143

Более сложной является задача определения вероятности того, что за данный промежуток времени Т не произойдет ни одного выброса, ибо для этого необходимо знать закон распределения числа выбросов. Часто практический интерес представляет частный случай, когда среднее число выбросов за данный промежуток времени достаточно мало, так что появление выбросов можно считать независимыми «редкими» событиями. В этом случае появление выбросов можно приближенно описать законом Пуассона.

Случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее вероятность

P(k) k e , k!

где – параметр распределения; k = 0, 1, 2, … Если нет ни одного выброса, то k = 0.

Таким образом, вероятность того, что за данный промежуток времени Т не произойдет ни одного выброса (т.е. k mNa 0),

Полученные соотношения можно использовать для решения вопросов надежности элементов конструкции. Будем определять параметры системы в предположении, что за все время наблюдения Т рабочие значения характеристик системы R не превысят предельных значений S .

Согласно (4.20) среднее число выбросов случайной функции R(t) за случайный уровень S в течение срока службы Т можно записать в следующем виде:

T

mNS Rf (S, R t)dRdt,

0 0

где R – производная по времени от R; f (S, R t) – совместный закон распределения в момент времени t.

144

Тогда вероятность того, что за время Т не произойдет ни одного выброса (надежность), в соответствии с (4.28)

T

H P0 exp( Rf (S, R t)dRdt).

00

Вдальнейшем будем полагать, что характеристики напря-

женного состояния конструкции линейно зависят от нагрузки (R Kq), при этом характер действия нагрузки таков, что силами

инерцииможно пренебречь приопределениирабочих параметров. Рассмотрим частный случай, когда действующие нагрузки являются стационарными, а все случайные характеристики можно описать нормальными законами распределения. Тогда надежность элементов конструкций при действии меняющихся

по времени нагрузок [3]

Пример 4.6 [3]. Определить надежность по прочности цилиндрического сосуда радиусом r = 1 м с толщиной стенок h = 1,67 см, находящегося под действием внутреннего давления q. Считаем действие нагрузки стационарным нормальным процессом, корре-

Т = 10 лет= 315·106 с, mS 5 108 Па, S 0 .

Решение. Согласно безмоментной теории оболочек максимальное напряжение в цилиндре R qK qr / h , т.е. K r / h . Тогда

145

Подставляя в (4.30) числовые значения, получим Н = 0,99.

Используя приведенный подход, можно решать обратную задачу – определение геометрических параметров конструкции при заданной надежности.

Пример 4.7 [3]. Прямоугольная пластина длиной 1 м и шириной 1 м нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, действие которой представляет собой стационарный случайный про-

цесс с корреляционной функцией вида Kq ( ) qe 1 .

Края пластины защемлены по всему контуру. Нужно подобрать толщину пластины h так, чтобы она имела надежность по прочно-

сти Н = 0,99, если mq 1·106 Па, q 1·105 Па, mS 5 108 Па,

S 0 , Т= 10 лет, 0,707 c 1, 0,3.

Решение. Для рассматриваемой корреляционной функции

Подставляя полученное выражение в (4.29), получим:

Для нахождения K дважды прологарифмируем полученное соотношение:

146

Поскольку S 0 (т.е. уровень, за который выбросы запрещены, детерминирован), то из уравнения (4.31) можно найти

где A ln 2 ( ln H ) .

T

Подставляя численные значения, будем иметь: А = 22,

K 300 .

Для рассматриваемой пластины [5] K ca3 / h3 , где с – коэффициент, учитывающий условия закрепления, с = 0,497; а – коэффициент формы, а = 1.

Отсюда

Аналогично можно решать задачи на случай проектирования элементов конструкций заданной надежности по жесткости или по устойчивости.

В заключение следует отметить, что среди прикладных задач теории случайных процессов, относящихся к механическим системам, большое место занимают задачи, связанные с анализом случайных колебаний. Эти задачи дают возможность исследовать динамические процессы, возникающие в колебательных системах, получить информацию о статистических свойствах системы, в том числе необходимую для оценки ее надежности.

4.3.2. Вибрационная надежность

Оценка надежности систем, испытывающих вибрации, в значительной мере основана на анализе случайных выбросов колебательных процессов и связанных с ними процессов накопления повреждений. В основе теории вибрационной надежности

147

лежит понятие отказа, который может быть как результатом развития дефектов, содержащихся в системе к началу эксплуатации, так и результатом накопления повреждений и необратимых изменений в процессе эксплуатации.

При расчетах вибрационной надежности первоначально выбирают пространство качества, т.е. совокупность параметров вибрационного поля и связанных с ним физических полей, и области допустимых состояний в этом пространстве качества – ограничений на параметры этих полей.

В качестве критериев вибрационной надежности обычно выбирают виброускорения, виброперемещения или вибронапряжения. Простейшей и наиболее употребительной мерой вибронапряженности служит максимальная величина виброускорения а(t), либо измеряемая в абсолютных величинах, либо относимая к ускорению силы тяжести на земной поверхности g. Условие качества требует, чтобы максимальное виброускорение в точках системы не превышало предельно допустимых значений а*. Другая мера вибронапряженности – виброперемещения.

Взависимости от назначения элементов системы ограничения могут накладываться как на абсолютные, так и на относительные перемещения.

Прочность системы, как правило, оценивают величиной вибронапряжений, возникающих в ее элементах. Условие качества требует, чтобы максимальные напряжения (в случае сложного напряженного состояния – некоторые максимальные эквивалентные напряжения) не превышали допускаемых значений. Включение в число параметров качества усилий и моментов, возникающих в элементах системы, позволяет вести расчет по несущей способности элементов. Поскольку вибрационное нагружение, которое в конечном счете приводит к отказу элемента системы, обычно сопровождается накоплением повреждений, то более правильный подход к оценке вибрационной надежности основан на рассмотрении процесса накопления повреждений.

Вчисло параметров качества системы при этом включаются ме-

148

ры повреждения и остаточных деформаций, размеры трещин и других дефектов и т.п. Условия качества сводятся к требованию, чтобы характеристики повреждаемости не превышали предельно допустимых значений. Одно из преимуществ подхода к вибрационным расчетам на основе методов теории надежности состоит в возможности комплексного учета всего разнообразия факторов, влияющих на надежность и долговечность.

Пример 4.8. Рассмотрим приборы, установленные на упругой пластине. Пусть пластина совершает случайные колебания в направлении, ортогональном ее плоскости (рис. 4.6). Вибрационное поле характеризуется функцией прогиба пластины w(x,t),

ускорением a(x,t) и абсолютными перемещениями приборов ui (t) (i = 1, 2, …). Если по усло-

виям эксплуатации виброперегрузки ограничены по модулю величиной а*, а относительные перемещения – величиной u*, то

допустимая область определяет- Рис. 4.6 ся условиями:

Чтобы вычислить функцию надежности по известным вероятностным характеристикам процесса, нужно уметь находить вероятность пребывания случайных процессов в заданной области на заданном отрезке времени, что является задачей теории выбросов случайных процессов. Полное решение задачи возможно в некоторых частных случаях. Для многомерных случайных процессов и для допустимых областей сложной конфигурации и тем более для функциональных пространств приходится применять приближенные методы. Эффективное приближенное решение задачи теории выбросов удается найти для высоконадежных систем, у которых выброс вектора качества из допустимой области является редким событием.

149

Задачи для самостоятельного решения

1. Прямоугольная пластинка с длиной l = 200 мм и шириной b = 100 мм шарнирно оперта по двум противоположным сторонам и нагружена равномерным давлением q = 4·105 Па, как показано на рисунке. Материал

пластины – сталь (ν = 0,3). Модуль Юнга и толщина являются случайными параметрами, имеющими заданные законы распределения.

Модуль Юнга имеет распределение Гаусса (среднее значение 2·1011 Па, среднеквадратичное отклонение 2·1010 Па), а толщина – равномерное распределение (минимальное значение толщины 8 мм, максимальное 12 мм).

Определить надежность конструкции по жесткости, если предельное значение прогиба распределено по нормальному закону (среднее значение равно 4,55 мм, а среднеквадратичное отклонение 0,455). Проанализировать изменение надежности при изменении среднеквадратичного отклонения и допуска на толщину.

2. Оценить вероятность безотказной работы шарнирно опертой балки прямоугольного сечения, к которой приложена сосредоточенная нагрузка. Нагрузка q, длина балки l и место приложения нагрузки являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону, при этом mq = 27 кН,q = 0,89 кН; ml = 3050 мм, l = 10 мм; для расстояния а от точки приложения нагрузки до одного из концов балки mа = 1830 мм,а = 10 мм. Предельные характеристики материала: S = т = = 117,2 МПа, S = 32,8 МПа.

Предполагается, что ширина прямоугольного сечения равна половине высоты балки и допуски для размеров составляют 3 %, среднее значение высоты62,15 мм.

150