Вероятностные методы расчета конструкций

Тогда

Первый интеграл – табличный, а второй можно привести к табличному путем несложных преобразований. Подставляя значения, получим Н = 0,86194.

Если прочность имеет экспоненциальное распределение, а напряжения – нормальное, то получим несколько другое выражение надежности.

Аналогично можно определить надежность конструкции по жесткости и устойчивости.

Определение вероятности безотказной работы на основе вероятностного подхода позволяет решать и обратную задачу, когда по нормативной заданной надежности определяют параметры конструкции, в частности ее геометрические параметры.

4.2.2. Определение параметров элементов конструкций при заданной надежности

Если при расчете надежность конструкции оказалась меньше нормативной, то необходимо менять параметры конструкции и делать пересчет до тех пор, пока надежность конструкции не станет допустимой. Поэтому удобна такая методика расчета конструкции, по которой требуемая надежность заранее закладывается в проектируемую конструкцию.

121

Напомним, что надежность определяется как вероятность безотказной работы (4.2). Покажем сначала на примере, как можно определить геометрические параметры конструкции при заданной надежности на стадии проектирования.

Пример 4.4. Требуется рассчитать элемент, на который действует растягивающая случайная нагрузка q. Элемент имеет круглое поперечное сечение. Вследствие производственных допусков его радиус r является случайной величиной. Предел прочности на растяжение материала, используемого для изготовления этого элемента, также является случайной величиной. Примем, что все случайные величины распределены по нормальному закону и имеют следующие числовые характеристики: mq 17800 Н, q 445 Н, mS 690 МПа, S 34,5 МПа.

Требуется определить вероятностные характеристики радиуса при условии, что вероятность безотказной работы элемен-

та Н = 0,9999.

Решение. Растягивающее напряжение элемента R q / F, где F – площадь его сечения, F r2 . Используя приближенный

метод определения числовых характеристик случайных функций (разложение в ряд Тейлора), получим:

Будем полагать, что допуск для радиуса r круглого поперечного сечения равен некоторой доле математического ожидания радиуса. Тогда согласно правилу трех сигм будем иметь: 3 r mr или r ( / 3)mr . После несложных преобразований

получим:

122

Все величины распределены по нормальному закону, поэтому определяем надежность по формуле (4.5). По заданному значению Н находим 0 3,72 и подставляем в выражение

При 0,015 записанное уравнение принимает вид

144,63mr4 24,6mr2 1 0.

Это уравнение имеет два положительных корня: mr1 2,60 мм и mr2 3,21мм. Последний корень дает заданную надежность,

равную 0,9999, а первый – надежность, равную 0,0001 (характеризует ненадежностьэлемента).

Данные расчеты позволяют провести анализ чувствительности надежности к изменчивости размеров и к изменчивости материала. Если увеличить значение допуска вдвое ( 0,03),

то Н = 0,99985; если 0,07 , то Н = 0,99903 (надежность уменьшается). Аналогично, если увеличивать значения S

и S 55,16 Н = 0,99157.

Приведем методику определения геометрических характеристик конструкций, работающих в условиях линейной зависимости напряжения и нагрузок:

R Kq.

Аналогичная зависимость существует и между максимальным перемещением и нагрузкой:

w K q.

Для ряда типовых элементов конструкций и нагружений значения коэффициентов K и K* [3] приведены в табл. 4.1.

123

Таблица 4 . 1

В табл. 4.1 использованы следующие обозначения: F – площадь поперечного сечения; l – длина стержня; h – толщина (пластины или оболочки); r – радиус (оболочки или пластины); W – момент сопротивления (при изгибе или кручении); J – осевой момент инерции; I – момент инерции сечения при изгибе; Е, G – модули упругости при растяжении, сдвиге; – коэффициент, зависящий от условий закрепления, нагружения и коэффициента Пуассона.

Геометрические параметры входят в коэффициенты K и K*, следовательно, по заданной надежности надо найти эти значения. Рассмотрим методику их определения на ряде примеров, когда предельные состояния оцениваются либо по прочности, либо по жесткости, либо по устойчивости, а случайные параметры распределены по известным законам.

Рассмотрим задачу определения параметров, когда работоспособность конструкции оценивается по прочности. Возьмем наиболее распространенный случай, когда все случайные параметры можно описать нормальным законом распределения. Применение нормального закона оправданно в случае совместного действия достаточно большого числа случайных возмущений, подчиняющихся различным законам распределения, если среди них нет превалирующего. Тогда согласно предельной теореме теории вероятности результирующее возмущающее воздействие

124

близко к нормальному. На практике распределения многих возмущений отличны от нормального хотя бы потому, что многие параметры (предел прочности, размеры и т.д.) не могут быть величинами отрицательными. Но усечение законов распределения обычно невелико, что позволяет игнорировать теоретическую нестрогость допущения нормального распределения.

Если плотности вероятностей f1 (S) и f2 (R) распределе-

ны по нормальному закону, то, как было показано ранее, разность ( S R ) также будет распределена по нормальному закону, а потому надежность можно определять по формуле (4.6).

Однако на практике обычно известно не распределение рабочих характеристик, а распределение нагрузок f3 (q) , которые

в рамках линейной теории упругости линейно связаны с рабочими характеристиками ( R Kq ). Плотность распределения

рабочих характеристик в этом случае также подчиняется нормальному закону с характеристиками mR Kmq ; R K q .

Подставляя эти выражения в (4.6), получим:

Случайный характер других механических характеристик, например модуля упругости, можно учесть, используя формулу полной вероятности. Однако такой подход часто вызывает большие вычислительные трудности. Поэтому предложена [3] сле-

125

дующая процедура учета случайного модуля Е, дающего приближенный результат, обеспечивающий запас надежности. Принимаем значение модуля Е равным Е*, величина которого ищется

из условия, что вероятность того, что E E* , равна HE , причем HE Hзад . Тогда вместо заданного значения надежности Нзад в уравнение (4.7) надо подставить H Hзад / НЕ , где НE – задан-

ная вероятность значения модуля, принимаемого при расчете. Геометрические параметры сортамента, из которого изго-

тавливаются элементы конструкции (толщина листа, площадь поперечного сечения профиля, толщина стенок трубы и т.д.), также являются случайными величинами с законом распределения f4 (h) , поэтому найденный ранее размер, например, попе-

речного сечения можно записать в виде:

hрасч hном ,

где hрасч – расчетный размер; hном – искомый номинальный размер; – допуск на изготовление, который зависит от вида закона

где h – гауссовский уровень надежности для вероятности Hh ; Ah – коэффициент вариации случайного размера сортамента,

Ah h .

mh

В случае учета случайного разброса геометрических параметров сечения необходимо в расчетные формулы вместо Hзад

подставить Hзад / Hh .

126

Пример 4.5 [12]. На сферическую оболочку радиусом 1 м действует внутреннее давление q, величина которого случайна и распределена по нормальному закону. Пусть mq = 50 МПа;

толщину оболочки h, при которой Н = 0,9758. Случайный разброс толщины следует учитывать с доверительной вероятно-

стью Hh = 0,9986, т.е. Hзад / Hh 0,9772.

Решение. Для решения задачи по заданному значению H определяем 0 2 . По формуле (4.9) α = 24 МПа2; 24 104 МПа2;50 МПа2. Тогда K = 0,75. По табл. 4.1 находим:

h 2rK 2 0,751 0,66 10 2 м.

Если предположить, что толщина распределена по нормальному закону (коэффициент вариации Ah 0,033 , довери-

Таким образом, толщина оболочки равна (0,73±0,07)·10–2 м.

Часто более удобной и наглядной является запись формулы (4.9) в частично безразмерной форме:

где AS S / mS ; Aq q / mq .

Из полученного выражения видно, что не при всех значениях AS и Aq возможно спроектировать конструкцию с задан-

ной надежностью. Например, при AS 1/ 0 не существует конструкции, имеющей гауссовский уровень надежности 0 .

127

Аналогично решается задача определения параметров элементов конструкций, когда работоспособность конструкции оценивается по ее жесткости. Конструкция считается работоспособной по жесткости, если выполняется соотношение: wзад > w, где wзад – заданное значение прогиба; w – максимальный прогиб (или какая-то другая характеристика) в рабочем состоянии. Тогда надежность можно определить как Н Р[(wзад w) 0] , при этом, в отличие от прочностного расчета, здесь wзад – детерминированная величина, поэтому

wзад

Н f (w)dw.

0

Если функция f(w) распределена по нормальному закону, то

В случае, когда перемещение линейно зависит от нагрузки,

Пример 4.6 [3]. Круглая пластина радиусом r = 1 м нагружена в центре сосредоточенной силой, величина которой случайна и распределена по нормальному закону ( mq 5000 H;

q 500 H ). Концы пластины защемлены по всему контуру.

Подобрать толщину пластины h так, чтобы надежность пластины по жесткости равнялась 0,9962. Известно, что с вероятно-

128

стью НЕ = 0,9986 случайный модуль Е 2·1011 Па. Случайный разброс толщины пластины следует учитывать с доверительной вероятностью Hh 0,9986, т.е. Нзад / (НЕ Нh ) 0,999. Пусть

wзад = 0,5·10–2 м; Е* = 2·1011 Па и коэффициент вариации размера

Ah 0,0346 .

Решение. Для Н = 0,999 по таблице (прил. 4) 0 = 3,1, тогда

Таким образом, искомая толщина h (1,26 0,13) 10 2 м.

Рассмотрим теперь, как решается задача определения параметров, когда работоспособность конструкции оценивается по ее устойчивости. Конструкция считается работоспособной по устойчивости, если выполняется соотношение: qкр > q, где qкр – нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости, q – величина приложенной нагрузки в рабочем состоянии. Тогда надежность можно определить как Н Р[(qкр q) 0] , при этом, как и в предыдущем

случае, qкр – детерминированная величина, поэтому

129

qкр

Н f (q)dq.

0

Если нагрузка распределена по нормальному закону, то

Отсюда можно найти размеры поперечного сечения, обеспечивающие заданную надежность по устойчивости.

Пример 4.7. На круглую пластинку радиусом r = 1 м действуют радиальные нагрузки, равномерно распределенные по контуру, которые представляют собой случайную величину с нормальным законом распределения. Края пластины свободно оперты по контуру. Подобрать толщину пластины h так, чтобы ее надежность по устойчивости была 0,9986. Кроме того извест-

но, что mq 2 105 H / м; q 2 104 Н/ м; коэффициент Пуассо-

на 0,3. С вероятностью НЕ = 0,9986 модуль Е > 2·1011 Па. Учет случайного разброса толщины следует проводить с доверительной вероятностью Hh 0,9958, т.е. Нзад / (НЕ Нh )

= 0,99859, коэффициент вариации размера Ah 0,0346 . Решение. Вданнойзадаче 0 h 3, поэтомусогласно(4.11)

qкр = 2·105 + 3·2·104 = 26·104 Н/м.

Величину критической нагрузки можно определить по формуле

130