Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке

4.5. ТЕХНИКА КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Схематично техника канонического преобразования уравнения регрессии выглядит следующим образом. Начало координат переносят в новую точку факторного пространства V. Для этого уравнение регрессии 2-го порядка дифференцируют по каждому фактору и приравнивают нулю. Решая систему уравнений, находят координаты нового центра, подставляют их в уравнение регрессии и получают значение нового параметра оптимизации в центре V. В уравнении регрессии исчезают члены 1-й степени, и изменяется свободный член. При каноническом преобразовании уравнения регрессии 2-го порядка для двух факторов уравнение принимает вид

y − yv = B11 X 12 + B22 X 22 ,

где yv – значение параметра оптимизации в центре поверхности отклика. Оси в новом центре поворачивают до совмещения с главными осями поверхности функции отклика. Эту операцию осуществляют по из-

вестным правилам аналитической геометрии. Например, для двух факторов характеристический детерминант имеет вид

Вышеприведенное решение можно записать в виде уравнения

B2 − a1B + a2 = 0 ,

где a1 = (b11 + b22 ) , a2 = (b11b22 − 0, 25b122 ).

Два корня этого уравнения дают искомые значения коэффициентов уравнения в канонической форме.

Преобразуем приведенное выше уравнение регрессии

Y= 85,14 + 3, 44x1 −1,32x2 + 2, 6x12 −1, 21x22 + 3, 0x1 x2

кканоническому виду. Для этого продифференцируем его по обеим переменным:

91

∂ Y = 3, 44 + 2 2, 6x1 + 3x2 = 0 ;

∂ x1

∂ Y = −1, 32 − 2 1, 21x2 + 3x1 = 0 ;

∂ x2

x1v = −0, 202; x2v = −0,796 .

Подставляя значения х1v и х2v в уравнение регрессии, получим значение переменной yv = 83,318 в центре V.

Для поворота осей в новом центре необходимо вычислить канонические коэффициенты В11 и В22. Для этого приравнивают характеристический детерминант к нулю:

В итоге получаем квадратное уравнение B2 −1,39 B − 5,396 = 0,

корни которого будут В11 = 3,12 и В22 = −1,73. Уравнение регрессии в канонической форме принимает вид

y − 83,318 = 3,12 X12 −1, 73X 22 .

92

5. ПРИМЕНЕНИЕ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СВАРОЧНЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1.ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ СВАРКИ

ВУЗКУЮ РАЗДЕЛКУ

Исследование процесса сварки в узкую разделку плавящимся электродом в смеси газов 80 % Ar + 20 % СО2, схема которого приведена на рис. 20, показаль, что качество сварных соединений определяется двумя основными показателями: углом смачиваемости (α ) стенок разделки расплавленным металлом и коэффициентом формы шва ϕ ( отношение ширины шва к глубине проплавления). При малых значениях α образуется вогнутый шов, гарантирующий хорошее сплавление металла шва со стенками разделки. При значениях угла смачиваемости более 90° шов становится выпуклым, и при многослойной сварке по стенкам разделки образуются дефекты типа несплавлений и зашлаковок.

В зависимости же от коэффициента формы шва находится склонность металла шва к образованию горячих трещин. На рис. 21

Для выбора оптимальных режимов производили сварку в узкую разделку образцов из стали 20Х2МФ в смеси газов 80 % Ar + 20 % СО2 проволокой Св-08ХГСМА диаметром 3 мм на обратной полярности. В качестве источника питания использовали два сварочных преобразователя ПСГ-500. К числу определяющих параметров режима сварки

93

в данном случае можно отнести: сварочный ток, напряжение дуги, длину дуги, скорость подачи сварочной проволоки, скорость сварки, ширину разделки и вылет электрода. Первые три параметра оказывают существенное влияние на качество сварных соединений. Они являются независимыми друг от дуга, и при этом зависят от скорости подачи сварочной проволоки и напряжения холостого хода сварочного генератора, поэтому для простоты регулирования в качестве факторов были приняты: скорость подачи сварочной проволоки (Vпп, м/ч); напряжение холостого хода (Uхх, В); скорость сварки (Vсв, м/ч); ширина разделки (В, мм); вылет электрода (L, мм).

Предполагалось, что базовый вариант несколько удален от оптимального, и поверхность отклика в его окрестности можно считать линейной, поэтому было принято решение ограничиться проведением ¼ реплики вида 25–2, которая может быть задана следующими генерирующими соотношениями:

x4 = x1x2 , x5 = x1x3 .

Рис. 21. Макроструктура центральной зоны шва, выполненного проволокой Св-08ХГСМА: а, б, в – коэффициенты формы шва 1,0; 1,15, 1,3 соответственно

В табл. 27 приведены выбранные уровни и интервалы варьирования факторов при сварке проволокой диаметром 3 мм.

Матрица планирования и результаты опытов приведены в табл. 28. Опыты не дублировали. Для определения дисперсии воспроизводимости были проведены четыре опыта в центре плана. Параметрами опти-

94

мизации были приняты угол смачиваемости (Y1), коэффициент формы шва (Y2 − отношение глубины проплавления к ширине шва) и время сварки (в часах) 1 погонного метра шва толщиной 100 мм (Y3). Оптимизацию режима сварки в узкую разделку целесообразно производить не по одному параметру оптимизации, а по нескольким. Для этого применяют обобщенную функцию желательности (рис. 22).

Таблица 27

Таблица 28

Формула для желательности каждого индивидуального показателя имеет вид

d = exp[− exp(− y')],

где у′ – переведенное в безразмерную шкалу измеренное значение Yi (параметр оптимизации).

95

На рис. 23 и 24 приведены листинги расчетов, выполненных в среде Mathcad. Получены значения коэффициентов уравнений регрессии и оценка их значимости по критерию Стьюдента (t-критерию). При выполнении расчетов кроме указанных ранее использовались следующие функции Mathcad:

qt (p, f) − обращает t-распределение Стьюдента; f − число степеней свободы, 0 < p < 1;

qF (p, d1, d2) − обращает F-распределение; f1, f2 > 0 − являются числами степеней свободы; 0 < p < 1.

Таким образом, при выполнении расчетов в среде Mathcad для определения критериев Стьюдента и Фишера использовались указанные выше функции. Анализируя полученные результаты, можно отметить высокие коэффициенты корреляции между экспериментальными и расчетными данными. Приведенные матрицы Y01, Y02 и Y03 соответствуют экспериментальным данным параметров оптимизации при значении факторов на нулевом уровне.

Оценка значимости коэффициентов регрессии по t-критерию (см. рис. 24) показала, что статистически незначимыми в уравнениях для Y2 и d2 являются коэффициенты при X4, некоторые коэффициенты находятся на граничном уровне и их можно оставить.

На рис. 23 приведены расчеты по проверке гипотезы адекватности моделей по критерию Фишера по приведенным ранее формулам, согласно этим расчетам все линейные модели адекватны с 5%-ным уровнем значимости.

Уравнения регрессии для параметров оптимизации Y1m, Y2m и Y3m приведены на рис. 24. Для уменьшения угла смачиваемости (Y1m) скорость подачи проволоки необходимо уменьшать, так как коэффициент при Х1 отрицательный. Остальные факторы (скорость сварки, ширину разделки и вылет электрода) необходимо увеличивать. Такая же закономерность наблюдается и для коэффициента формы шва.

Для уменьшения времени сварки 1 погонного метра шва, как и следовало ожидать, необходимо увеличить скорость подачи проволоки, скорость сварки, вылет электрода и уменьшить ширину разделки.

Поскольку ни в одном из опытов не удалось достигнуть высоких значений функций желательности D1 и D2 (выше 0,8), было осуществлено движение по градиенту, при этом за основу было принято уравнение для D1. Расчет коэффициентов уравнений регрессии для D1 и D2 приведен на рис. 25. Этот расчет непосредственно связан с расчетами, приведенными на рис. 23.

97