Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке

На рис. 14 приведено рабочее поле с использованием для его построения отфильтрованных значений тока и напряжения. Хаотичность исчезла, наблюдается характерная для процесса сварки закономерность: с увеличением сварочного тока напряжение уменьшается.

Зависимость между током и напряжением можно оценить коэффициентом корреляции. Расчеты показали, что при неотфильтрованных значениях тока и напряжения коэффициент корреляции равен 0,724, а при отфильтрованных значениях тока и напряжения 0,962.

Таким образом, проведенный анализ показал, что, по-видимому, наиболее эффективную оценку стабильности горения сварочной дуги можно получить, приняв за параметр оптимизации статистические характеристики сварочного тока.

При отработке методики оценки стабильности горения сварочной дуги с помощью информационно-измерительной системы были исследованы осциллограммы и статистические характеристики сварочного тока при сварке электродами МР-3 и ЭЛУР-9. Сварка производилась с использованием сварочных источников ВДУ-506У и ВСС-300. Статистические расчеты (среднее значение сварочного тока Iср, среднеквадратичное отклонение σ i, отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению сварочного тока kv) приведены в табл. 5.

Приведенные в табл. 5 данные показывают, что при сварке электродами МР-3 наименьшие среднеквадратичное отклонение σ i и коэффициент вариации kv обеспечиваются при использовании сварочного источника ВСС-300. Если по этим параметрам оценивать стабильность горения сварочной дуги, то из двух исследованных электродов наилучшие характеристики имеют электроды ЭЛУР-9.

31

2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

2.1. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Чаще всего эксперимент ставят для решения следующих двух основных задач.

Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.

Вторую задачу называют интерполяционной. Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов.

Для решения экстремальной или интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемого объекта. В большинстве случаев такие модели можно получить с помощью регрессионного анализа.

Классический регрессионный анализ основан на обработке результатов пассивных экспериментов. При этом применительно к ин- женерно-техническим задачам исследователь ставит эксперименты произвольным образом, выбирая экспериментальные точки, основываясь, например, на интуиции или своем опыте. Но, как правило, сущность тактики исследователя состоит в переборе различных условий проведения эксперимента. При решении подобного рода задач приходится иметь дело с очень большим количеством независимых переменных. В этом случае метод становится крайне громоздким, особенно возрастают трудности с вычислительными операциями. Но здесь следует отметить, что широкое использование персональных компьютеров и стандартных программных продуктов для математических расчетов практически снимает существовавшие ранее трудности с вычислительными операциями.

32

При использовании регрессионного анализа для обработки результатов пассивного эксперимента следует учитывать следующие обстоятельства:

−при пассивном многофакторном эксперименте трудно оценить ошибку эксперимента и, следовательно, нельзя достаточно строго проверить гипотезу адекватности выбранной математической модели по результатам эксперимента;

−невозможно построить критерий для отбрасывания экспериментов, содержащих грубые ошибки;

−независимые переменные часто оказываются попарно коррелированны, поэтому соответствующие эффекты невозможно разделить;

−невозможность оценивать в отдельности коэффициенты регрессии с помощью, например, t-критерия даже в том случае, когда независимые переменные слабо коррелированны.

Оценивая результаты регрессионного анализа, можно говорить лишь о наличии статистической связи между переменными, но нельзя ничего сказать о том, какой характер носит эта связь. Не имеет никакого смысла придавать какое-либо значение индивидуальным коэффициентам регрессии.

Если к уравнениям регрессии подходить как к некоторым интерполяционным формулам, то указанные выше недостатки не будут иметь существенного значения. Если же нам необходима математическая модель какого-либо объекта с тем, чтобы в дальнейшем использовать ее для управления этим объектом, то неопределенность в результатах исследования, связанная с недостатками полученных регрессионных моделей, становится решающей. Исследователи, работающие

вобласти статистической обработки экспериментальных данных, считают, что результаты пассивного эксперимента, протекающего в условиях сильного шумового поля, не содержат информации о математической модели процесса.

Но в ряде случаев статистическая обработка результатов пассивных экспериментов может оказаться весьма полезной. Например, при оценке качества продукции (являющейся случайной величиной) на тех или иных технологических установках или в различных цехах полезным может быть построение гистограмм и определение хотя бы двух параметров функции распределения – среднего и дисперсии. Сравнительный статистический анализ этих параметров позволяет сопоставлять полу-

33

ченные результаты в разных условиях и устанавливать парные корреляционные связи. Результаты пассивных наблюдений в некоторых случаях могут использоваться для контроля и даже прогнозирования.

Таким образом, информация, полученная при пассивном наблюдении, может быть весьма важной для текущего контроля за определенными процессами (или объектами), но совершенно недостаточна для построения математических моделей, с помощью которых можно было бы осуществлять управление процессом (или объектом).

Поскольку вычисление коэффициентов регрессии при статистической обработке экспериментальных данных пассивных и активных экспериментов проводится по одним и тем же выражения, практические примеры будут приведены в основном для активных экспериментов, проведенных по специальным планам.

2.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Новые возможности открылись после того, как экспериментальные точки стали выбираться по специальному плану. Планирование эксперимента – это новый подход к исследованию, в котором математическим методам отводится активная роль. Появляется возможность активно воздействовать на процесс исследования, провести планирование опытов таким образом, чтобы получить максимум информации при минимальных затратах. Такие эксперименты принято называть активными.

В настоящее время имеется ряд хорошо сформулированных критериев оптимального планирования для различных ситуаций, и для них разработаны алгоритмы, пользуясь которыми исследователь может располагать экспериментальные точки в факторном пространстве и производить обработку результатов наблюдений. Основная идея этого метода – возможность оптимального управления экспериментом при неполном знании.

На основе регрессионного анализа получают математическую модель исследуемой системы, которую называют уравнением регрессии. Методы регрессионного анализа позволяют из нескольких различных по виду моделей выбрать наиболее адекватную. Регрессионный анализ сводится к определению на основании экспериментальных данных коэффициентов модели (коэффициентов регрессии), оценки значимости этих коэффициентов и степени адекватности модели.

34

Модель объекта получают, используя результаты опытов. При исследовании многофакторного процесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связана с огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов очень велико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов.

Частным случаем является планирование эксперимента по методу Бокса – Уилсона, который называется методом крутого восхождения. Метод Бокса – Уилсона предусматривает проведение опытов небольшими сериями. Опыты проводят так, чтобы после математической обработки результатов предыдущей серии можно было спланировать следующую серию опытов. Результаты эксперимента используют для получения математической модели исследуемого процесса. Математическая модель – система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. При планировании эксперимента под математической моделью часто понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Такое уравнение называют также функцией отклика.

В общем виде функция отклика может быть представлена выражением

ϕ = f (x1, x2, …, xn),

где х1, х2, …, хn – независимые переменные факторы.

Если функция отклика известна, то оптимальные условия процесса находят аналитически, без постановки эксперимента. Однако чаще приходится решать экстремальные задачи при неполном знании механизма процесса. В этом случае функция отклика неизвестна, и поэтому ограничиваются представлением ее, например, полиномом вида

φ = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β12 x1 x2 + β11 x12 + ... ,

где β 0, β 1 … − коэффициенты регрессии при соответствующих переменных.

По результатам эксперимента можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b0, b1, b2, b12, …, которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов регрессии β 0, β 1, β 2, β 12, ….

35

Уравнение регрессии, полученное по результатам опытов и представляющее собой лишь выборочную оценку y функции отклика ϕ, может быть записано следующим образом:

= b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + …..

Объект исследования

Для определения параметров оптимизации и выбора схемы планирования эксперимента предварительно изучают объект исследования на основе литературных данных и результатов ранее проведенных опытов. При планировании эксперимента к объекту исследования предъявляют следующие требования:

–объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости. При многократном повторении опытов его результат имеет разброс значений, который характеризует воспроизводимость результата. Объект исследования удовлетворяет требованию воспроизводимости, если многократно повторенные опыты дают результаты с разбросом значений, не превышающим некоторой заданной величины;

–объект должен быть управляемым. На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Если требование воспроизводимости удовлетворяется, выявляют возможность проведения активного эксперимента, предусматривающего активное вмешательство в исследуемый процесс и выбор для каждого опыта управляемых факторов на тех уровнях, которые представляют интерес для исследования.

Параметр оптимизации

При планировании эксперимента важно правильно выбрать параметр оптимизации. Движение к оптимуму возможно, если выбран один параметр оптимизации, а другие выступают в качестве ограничений. Возможно также построение обобщенного параметра как функции от множества исходных параметров. Параметр оптимизации должен быть количественным, доступным для измерения и должен выражаться одним числом. Если измерение параметра невозможно, то пользуются ранговой оценкой. Ранг – это оценка параметра оптимизации по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет ограниченную дискретную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да-нет; хорошо-плохо;

36

брак-годные детали и т.д. При прочих равных условиях предпочтение следует отдавать количественному измерению, так как ранговая оценка носит субъективный характер.

Параметр оптимизации должен быть:

−однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному сочетанию факторов должно соответствовать одно значение параметра оптимизации (с точностью до ошибки эксперимента);

−эффективным в статистическом смысле, т.е. определяться с наибольшей точностью, что позволяет сократить до минимума число параллельных опытов;

−существовать для всех состояний исследуемого объекта;

−иметь физический смысл.

Параметры оптимизации могут быть экономическими, технико-эко- номическими, технико-технологическими и др. Технико-технологичес- кими параметрами являются механические, физические, физико-химичес- кие и некоторые другие характеристики изделия.

Факторы

Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на параметр оптимизации. Каждый фактор имеет область определения − совокупность всех значений, которые может принимать фактор. При исследовании процесса необходимо учитывать все существенные факторы. Если по каким-либо причинам влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Уровнями называют значения факторов в эксперименте. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основе опыта или с помощью постановки отсеивающих экспериментов.

Факторы должны быть:

−управляемыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые значения факторов и поддерживать их постоянными

втечение опыта;

−непосредственно воздействующими на объект исследования, так как трудноуправлятьфактором, которыйявляетсяфункциейдругихфакторов;

−совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

37

− независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Модель

Под математической моделью понимают вид функции отклика

y = f (x1, x2, x3, …, xk).

Экстремальные задачи часто решают, используя шаговый метод. В этом случае модель должна удовлетворять требованиям этого метода. В основе шагового метода лежит предположение, что совокупность значений параметра оптимизации y, полученная при различных сочетаниях значений факторов хi, образует поверхность отклика. Для наглядности представления поверхности отклика при наличии ymax рассмотрим простейший случай, при котором число факторов равно двум (x1 и x2). Для каждого фактора установлены два значения: максимальное и минимальное. Между этими значениями каждый фактор может изменяться непрерывно или дискретно. Границы значений факторов образуют на плоскости х1 − х2 прямоугольник, внутри которого лежат возможные значения факторов. Если по оси y откладывать значения yi, полученные при различных сочетаниях значений факторов, то точки yi будут лежать на поверхности отклика. На этой поверхности будет находиться и точка, соответствующая оптимальному значению y. Для нахождения этой точки необходимо шаг за шагом двигаться по поверхности отклика.

Исходя из этого метода к модели предъявляется главное требование, заключающееся в способности модели предсказывать направление дальнейших опытов с требуемой точностью. Это означает, что предсказанные по модели значения отклика должны отличаться от фактических не более чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющую этому требованию, называют адекватной. Если имеется несколько моделей, удовлетворяющих указанному требованию, то из них выбирается наиболее простая. Наиболее простой моделью является полином. Полином может быть первой, второй и более высокой степени. Коэффициенты полинома вычисляют по результатам опытов.

38

2.3. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Решение задач оптимизации начинают с выбора области эксперимента. При этом устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению параметра оптимизации, по возможности более близкому к оптимальному. Сочетание основных уровней факторов принимают за исходную точку для построения плана эксперимента. Построение плана эксперимента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относительно исходной точки (центра плана).

Интервалом варьирования называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть выбран меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Увеличение интервала варьирования затрудняет возможность линейной аппроксимации функции отклика.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных уровни факторов кодируют. В кодированном виде верхний уровень обозначают +1, нижний –1, основной 0.

Кодированное значение фактора хi определяют по выражению

где xi – натуральное значение i-го фактора; xi0 – натуральное значение

основного уровня i-го фактора; ε i – интервал варьирования i-го фактора. При кодировании качественных факторов, имеющих два уровня, верхний уровень обозначается +1, а нижний –1. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора m, а число факторов k, то число N всех сочетаний уровней факторов, а следовательно, и число опытов в полном факторном эксперимен-

те определяются выражением N = mk.

Цель первого этапа планирования экстремального эксперимента − получение линейной модели. Он предусматривает планирование факто-

39

ров на двух уровнях. Возможное количество сочетаний уровней факторов в этом случае равно 2k.

Факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, в которой используют кодированные значения факторов. Так, например, для двух факторов полный факторный эксперимент типа 2k можно представить следующей матрицей (табл. 6).

Для упрощения записи условий эксперимента в матрице планирования вместо +1 пишут только «+», а вместо –1 пишут только «–». Значения функции отклика, полученные при выполнении опытов, обозначены через y1, y2, y3 и y4.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить линейные эффекты и все эффекты взаимодействия. Для полного факторного эксперимента типа 22 уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия можно представить выражением

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2.

Для этого эксперимента матрица планирования имеет вид, представленный в табл. 7.

40