Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке

Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах x0 и xi2

всегда положительны. Необходимо отметить, что в ортогональных планах на количество опытов в центре плана обычно не накладывают никаких условий, поэтому n0 часто принимают равным единице.

Ортогональность плана можно обеспечить за счет выбора звездного плеча. Из теории планирования экспериментов известно, что расчет звездного плеча для ПФЭ типа 2k можно проводить по формуле

α4 + 2k α2 − 2k −1 (k + 0,5 2k ) = 0,

апри 2k −1 (полуреплика) по формуле

α4 + 2k −1 α2 − 2k −2 (k + 0,5 2k ) = 0.

Втабл. 23 приведены значения α, вычисленные по приведенным выше формулам.

матрицы, заменив xi2 новой переменной xi′. Новую переменную можно определить по выражению

Пример ортогонального плана 2-го порядка для двухфакторного эксперимента приведен в табл. 24. В ней (по сравнению с табл. 22) вместоxi2 введена новая переменная xi′ , а вместо α взяты ее значения из

табл. 23. Значения xi′ определяют по формуле (6).

81

Существенным недостатком ортогональных планов является отсутствие ротатабельности.

4.3. РОТАТАБЕЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА

Как показали многочисленные исследования в теории планирования эксперимента, критерий ортогональности не является достаточно сильным критерием оптимизации центрального композиционного плана 2-го порядка. Информация о поверхности отклика, полученная при ортогональном планировании 2-го порядка, различна

вразных направлениях.

В1957 г. Бокс и Хантер показали, что при использовании ротатабельных планов 2-го порядка информация, содержащаяся в уравнении регрессии, равномерно располагается на сфере. Это облегчает оптимизацию объекта исследования.

Ротатабельность центрального композиционного плана достигает-

ся выбором величины звездного плеча α . Величину звездного плеча α для ядра, содержащего полный факторный эксперимент, определяют из

формулы α = 2k / 4 , а для ядра, содержащего дробную реплику,

k − p

α = 2 4 .

Для ротатабельного планирования 2-го порядка важное значений имеет выбор числа опытов в центре плана, так их число определяет характер распределения получаемой информации о поверхности отклика.

82

Число опытов в центре плана выбирается таким, чтобы обеспечивалось так называемое униформ-планирование. Таким называется планирование, если получаемая информация постоянно находится внутри интервала 0≤ r ≤ 1, где r – радиус информационного контура. Такое планирование возможно, если некоторая константа λ не превышает единицы (немного меньше ее):

λ = k (nc − n0 ) , (k + 2)nc

где n0 – число опытов в центре плана; nс = N – n0; N – общее число опытов; k – число факторов.

Данные, необходимые для построения матриц центрального композиционного ротатабельного планирования 2-го порядка при числе факторов от 2 до 7, приведены в табл. 25.

Таблица 25

Матрицы ротатабельного планирования 2-го порядка не ортогональны, поэтому при определении коэффициентов регрессии в случае незначимости одного из них необходимо проводить новый расчет. Матрица ротатабельного униформ-планирования 2-го порядка для k = 2 и его реализация приведены в табл. 26. Пример взят из учебного пособия [11] применительно к химическим процессам. На этом примере можно проследить весь процесс планирования эксперимента и статистической обработки данных.

83

Параметром оптимизации здесь является выход годной продукции в процент. Вычисление коэффициентов регрессии производилось с помощью пакета Mathcad-2001 в матричной форме и по формулам

j=1

84

Уравнение регрессии принимает вид

Y = 85,14 + 3, 44x1 −1,32x2 + 2, 6x12 −1, 21x22 + 3x1x2 .

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии находят по следующим формулам:

где yu – значение параметра оптимизации в u-м опыте; ys – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 опытах; u – номер параллельного опыта в центре плана.

Вычисление коэффициентов регрессии в матричной форме показано на рис. 18. Оценки дисперсии коэффициентов регрессии можно рас-

85

Рис. 18. Вычисление коэффициентов регрессии и Sy2 (S2y) в матричной форме с помощью пакета Mathcad

86

Зная дисперсии коэффициентов регрессии, можно рассчитать величины t-критериев для групп коэффициентов:

Поскольку tt = 2,132 при 5%-ном уровне значимости и степени свободы f0 = 4, все коэффициенты являются значимыми.

Далее проверим адекватность модели с помощью расчетного критерия Фишера по формуле

где SR – сумма квадратов отклонений расчетных значений yir от экспериментальных yj, а SE – сумма квадратов отклонений экспериментальных значений в центре плана от их среднего значения:

Число степеней свободы с учетом опытов, проведенных в центре плана, определяют по формуле

f = N − k − (n0 − 1) = 13 − 6 − 4 = 3 ,

где k – число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Сумму квадратов отклонений расчетных значений параметра оптимизации от экспериментальных можно определить и матричным методом по формуле

SR = Y TY − BT X TY .

87

Таким образом,

Табличное значение критерия Фишера при 5%-ном уровне значимости для приведенных выше условий Ft = 6,6. Следовательно, уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные.

4.4. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПО ПЛАНАМ 2-ГО ПОРЯДКА

При оценке математической модели, описывающей область оптимума, в первую очередь определяют, адекватна или неадекватна полученная нелинейная модель исследуемого объекта. Значимость коэффициентов уравнения регрессии 2-го порядка в исследовании играет меньшую роль, чем при получении линейной модели.

Нелинейная модель объекта исследования неадекватна

Как и при анализе неадекватной линейной модели, можно осуществить планирование более высокого порядка, например к модели, представляемой полиномом 3-го порядка. Однако приведенные в литературе случаи применения планирования 3-го порядка, свидетельствуют о значительных экспериментальных трудностях, затрудняется анализ и интерпретация полученной модели, поэтому вряд ли можно считать такое решение эффективным.

Более приемлемым способом устранения неадекватности нелинейной модели является введение в план новых факторов из числа отброшенных на предварительном этапе исследований. При этом необходимо повторять эксперименты с большим число опытов. В ряде случае при использовании полуреплики удается достроить матрицу планирования и провести только дополнительную серию экспериментов.

Труднее учесть нестационарность объекта исследования или дрейф параметров объекта во времени. Как правило, это наблюдается при большом числе опытов, а значит, и времени их проведения. В связи с этим необходимо стремиться проводить опыты в кратчайшие сроки. Методам изучения временного дрейфа посвящены специальные работы.

88

Нелинейная модель объекта исследования адекватна

Если в результате обработки экспериментальных данных получена адекватная математическая модель 2-го порядка, то поставленная на данном этапе исследований задача выполнена. Дальнейшие исследования зависят от поставленных задач.

Если целью было получение интерполяционной модели, описывающей область оптимума, то на этом этапе исследование объекта заканчивается.

В экстремальном эксперименте ставится задача поиска по полученной модели координат оптимума. Для этого используют различные методы оптимизации. Чаще всего применяют следующие методы: Гаусса – Зейделя, оптимальный, случайного поиска, метод симплексов, наискорейшего спуска и т.д.

Иногда ставится задача детального изучения области оптимума по ее математической модели. В этом случае используются специальные преобразования системы координат факторного пространства и строятся стандартизированные поверхности отклика. Графическое изображение поверхностей отклика позволяет исследователю лучше ориентироваться при поиске оптимума.

Таким образом, при получении адекватной модели 2-го порядка исследователь может принять решение поиска координаты оптимума, детального изучения области оптимума, а затем использовать полученные данные при исследовании и управлении аналогичных объектов даже другого масштаба. Наиболее часто для поиска оптимума при исследовании математической модели 2-го порядка используют достаточно простой метод Гаусса – Зейделя. При этом поиск оптимума ищут поочередным варьированием каждого фактора до достижения частного оптимума параметра оптимизации. Вначале достигают оптимум по направлению одной из координатных осей при фиксированных значениях факторов по другим координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение фактора, переходят к варьированию другого фактора, где опять достигается частное значение оптимума и т.д. Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии возрастают с увеличением числа факторов. При числе факторов более трех дать наглядное представление о геометрии функции отклика невозможно. Но если последовательно рассматривать изменение двух факторов при стабилизации остальных, можно получить достаточно наглядное представление о геометрии функции отклика в виде контурных линий.

89

По уравнению регрессии в зависимости от знака и величин коэффициентов регрессии (особенно четко это проявляется после канонических преобразований) можно сделать выводы о характере контурных кривых. Так, если коэффициенты b11 и b22 имеют одинаковые знаки, то контурные кривые, как правило, являются эллипсами. Если коэффициенты меньше нуля, то центр эллипса будет максимумом, если больше нуля – минимумом.

Если эти коэффициенты имеют разные знаки, то контурные кривые являются гиперболами. Центр фигуры называется седлом или минимаксом.

На рис. 19 приведены контурные кривые отклика области оптимума для приведенного выше примера.

F

Рис. 19. Контурные кривые функции отклика для полученного уравнения регрессии

По оси абсцисс – х1, по оси ординат – х2.

90