Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке

по оси x1 принять равным ∆ x, то при умножении его на b1 получим координаты (∆ x и b1∆ x) точки А, лежащей на градиенте (градиент – это вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины). После второго шага расстояние по оси x1 будет равно 2∆ x. Умножив 2∆ x на b1, найдем координаты 2∆ x и 2b1∆ x точки В, лежащей на градиенте, и т.д. Затем проводят опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте.

Рис. 15. Схема к расчету координат точек в направлении градиента

По результатам этих опытов определяют область оптимума.

В случае k-факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора производят аналогичным образом, так как коэффициенты b1 определяются независимо друг от друга. При этом движение по осям всех факторов осуществляют одновременно.

Шаг движения по градиенту выбирают таким, чтобы его минимальная величина была больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой шаг может привести к проскоку области оптимума. Шаг движения выбирают для одного фактора, а для остальных его рассчитывают по выражению

∆ i= ∆ 1 bi εεi ,

b1 1

где ∆ 1 – выбранный шаг движения для фактора l; ∆ i – шаг движения для i-го фактора; b1, bi – коэффициенты регрессии 1-го и i-го факторов; ε 1, ε i – интервалы варьирования 1-го и i-го факторов.

Движение по градиенту должно начинаться от нулевой точки. Рассчитав шаг движения для каждого фактора, находят условия мысленных опытов. Мысленными называют опыты, условия проведения которых на

51

стадии крутого восхождения установлены с учетом шага движения для каждого фактора. С целью проверки результатов крутого восхождения часть мысленных опытов реализуется.

Рассмотрим методику крутого восхождения на примере исследования модифицирования алюминия молибденом. Крутое восхождение начинаем из нулевой точки: x1 = 0,40; x2 = 840; x3 = 60; x4 – медленное охлаждение (шамотный тигель), так как быстрое охлаждение приводит к уменьшению параметра оптимизации (b4 = –9,4). Шаг движения для фактора x2 принят ∆ 2 = 10 °С. По приведенной выше формуле вычисляем шаг движения для факторов x1 и x3:

Величина параметра оптимизации удовлетворила исследователей, и работа была закончена. Таким образом, потребовалось 13 опытов для того, чтобы определить оптимальные условия модифицирования алюминия молибденом.

52

2.10. УСТАНОВЛЕНИЕ ВИДА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Иногда необходимо выяснить вид зависимости между двумя переменными величинами, которая может быть функциональной или стохастической. Функционально зависимыми являются такие величины, у которых каждому значению одной величины соответствует вполне определенное значение другой величины (свойства сплавов от процентного содержания того или иного элемента, величина погрешности размера изделия от температуры и др.).

Стохастически зависимыми называются такие величины, у которых различным значениям одной величины соответствуют различные законы распределения другой величины. Частным случаем стохастической зависимости является коррелятивная зависимость. Она появляется в том случае, когда каждому значению одной величины соответствуют различные средние значения другой величины (размеры изделий, обрабатываемых одновременно на одном станке, одним инструментом и т.д.).

Для установления вида функциональной зависимости эксперимент проводится таким образом, что для каждого значения одного признака (независимая переменная х) определяется значение другого признака (независимая переменная y), а результаты заносятся в таблицу. По этим данным строится график зависимости между величинами х и y. Полученную ломаную линию выравнивают по наиболее близкой к ней теоретической кривой.

Корреляционная зависимость

Коэффициент корреляции указывает на тесноту связи между двумя случайными величинами и изменяется от –1 до +1. При прямой линейной зависимости, т.е. когда с возрастанием значений xi увеличиваются значения yi, коэффициент корреляции kxy = +1. При обратной линейной зависимости, т.е. когда с возрастанием знаний xi значения yi уменьшаются, коэффициент kxy = –1. Если х и y независимы, то kxy = 0.

При kxy ≠ 0 каждому значению xi соответствует несколько значений yi. Для выборки небольшого объема коэффициент прямолинейной

корреляции удобно определять по формуле

= N ∑ xi yi − ∑ xi yi

kxy (N ∑ x2i − (∑ xi )2 )12 (N ∑ y2i − (∑ yi )2 )12 ,

где N – число измерений; xi и yi – значения измерений.

53

По величине коэффициента корреляции определяют возможность выражения функции y = f (x) в виде линейной зависимости. Значение коэффициента корреляции всегда меньше единицы. При kxy > 0,5 считают полноту связи удовлетворительной, при kxy0 < 0,5 регрессию следует принимать нелинейной. Если kxy0 > 0,5, уравнение регрессии можно представить в виде y = b + ax.

Значения коэффициентов a и b находят по формулам

функций y = f (x). При этом каждой величине х соответствует два значения y (табл. 17).

Таблица 17

Количество измерений N = 20. Для определения коэффициента корреляции проведем следующие расчеты:

∑xiyi = 1 10 + 1 12 + 2 12 + 3 15 + 4 19 … + 10 46 = 3539;

∑xi = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 10) = 110;

∑yi = 10 + 12 + 12 + 14 + 15 + 17 + … + 44 + 46 = 529; ∑x2i = 2 (12 + 22 + 32 + 42 + … + 102) = 770;

∑y2i = 102 + 122 + 122 + 142 + 152 + … + 462 = 16 459; (∑yi)2 = 5292 = 279 841;

kxy = 0,994.

Полученное значение kxy показывает весьма хорошую тесноту связи, дает возможность выразить линейную связь между х и y в виде

y = ax + b.

54

Определим значения коэффициентов a и b по приведенным выше формулам

Таким образом, уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

у= 3,815x + 5,468.

2.11.ОБОБЩЕННЫЙ ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, очень часто трудно выбрать один, самый важный. Путь к единому параметру оптимизации лежит через обобщение. Но каждый отклик имеет свой физический смысл и свою размерность, поэтому, чтобы объединить различные отклики, необходимо ввести для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов, это делает их сравнимыми. Выбор шкалы зависит от априорных сведений об откликах, а также от той точности, с которой желательно определить обобщенный параметр.

Одним из наиболее удобных способов построения обобщенного отклика является обобщенная функция желательности Харрингтона. В основе построения этой обобщенной функции − идея преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочтительности. Для составления шкалы желательности удобно пользоваться уже разработанными таблицами соответствия.

В табл. 18 представлены числа, соответствующие некоторым точкам кривой на рис. 16.

Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначается через du (u = 1, 2, …, n) и называется частной желательностью. Шкала желательности имеет интервал от 0 до 1. Значение du = 0 соответствует абсолютно неприемлемому варианту уровня данного свойства. Понятию «очень хорошо» соответствуют значения на шкале желательности 1 > du > 0,8, а понятию «очень плохо» − 0 < du < 0,2 и т.д. Выбор отметок на шкале желательности 0,63 и 0,37 не случаен, это объясняется удобством вычислений: 0,63 ≈ (1–1/е), 0,37 ≈ 1/е. Значение du = 0,37 обычно соответствует границе допустимых значений.

55

Точки кривой на рис. 16 задаются уравнением

d = exp[–exp (–y ′)].

На оси ординат нанесены значения желательности, изменяющиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записанные

56

в условном масштабе. За начало отсчета 0 по этой оси выбрано значение, соответствующее желательности 0,37. Выбор именно этой точки связан с тем, что она является точкой перегиба кривой, что, в свою очередь, создает определенные удобства при вычислениях. То же самое верно для значения желательности, соответствующего 0,63. Кроме того, эта кривая хорошо передает тот факт, что в областях желательности, близких к 0 и 1, «чувствительность» ее существенно ниже, чем в средней зоне.

Симметрично относительно 0 на оси y ′ (y ′ – кодированная шкала) расположены кодированные значения отклика. Значение на кодированной шкале принято выбирать от 3 до 6. Например, на рис. 16 использовано шесть интервалов в сторону убывания и шесть – в сторону возрастания. Выбор числа интервалов определяет крутизну кривой в средней зоне. После того как выбрана шкала желательности и частные отклики преобразованы в частные функции желательности, приступают к построению обобщенного показателя D, названного Харрингтоном обоб-

щенной функцией желательности. Обобщать, т.е. переходить от di к D,

предлагается по формуле

Здесь обобщенная функция желательности задается как среднее геометрическое частных желательностей. Примером может служить установление пригодности материала с данным набором свойств для использования его в определенных условиях.

Если хотя бы один частный отклик, входящий в комплекс параметров качества материала, не удовлетворяет требованиям технических условий (например, при определенной температуре материал становится хрупким и разрушается), то, как бы ни были хороши прочие свойства, материал не может быть использован по назначению. Действительно, способ задания обобщенной функции желательности таков, что если хотя бы одна частная желательность равна нулю, то обобщенная функция тоже будет равна нулю. С другой стороны, D = 1 тогда и только тогда, когда все du = 1 (u = 1, 2, …, n). Обобщенная функция желательности весьма чувствительна к малым значениям частных желательностей.

Способ задания базовых отметок шкалы желательности, представленный в табл. 18, один и тот же как для частных желательностей, так и для обобщенной. Так, если d1, d2, …, dn = 0,63, то и D = 0,63; если

57

d1, d2, …, dn = 0,37, то и D = 0,37 и т.д. В обобщенную функцию желательности могут входить самые разнообразные частные отклики: технологические, технико-экономические, экономические, эстетические и т.д. Построение обобщенного параметра оптимизации связано с созданием единого признака, количественно определяющего функционирование исследуемого объекта со многими выходными параметрами. Каждый выходной параметр (отклик) имеет свой физический смысл, свою размерность. Чтобы объединить различные отклики, необходимо ввести единую для всех откликов безразмерную шкалу в соответствии с некоторым стандартным аналогом. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов. Построение шкалы во многом зависит от уровня априорных сведений о выходных параметрах, а также от той точности, с которой мы хотим определить обобщенный отклик.

2.12. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ЭКСТРЕМАЛЬНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Невозможность полной формализации исследований вызывает необходимость активного вмешательства экспериментатора в процесс исследования. Неформальная задача экспериментатора состоит в том, что он по некоторым характерным признакам выбирает решение из множества неформализованных решений, определяющих стратегию экстремального эксперимента.

Планирование экстремального эксперимента сопряжено с необходимостью принятия решений до начала и после завершения каждой серии итерационного цикла исследования на основании анализа априорных данных и результатов проведенного эксперимента. Для этого необходимо располагать сведениями об адекватности модели, значимости коэффициентов регрессии, иметь информацию о расположении области оптимума и т.д. В подразд. 2.8 рассмотрены некоторые рекомендации по принятию решений. В данном подразделе они расширены.

Если модель адекватна и все ее коэффициенты значимы, то предполагается (при отсутствии других точных сведений), что область оптимума далека. В такой ситуации приемлемо движение по градиенту линейного полинома для достижения оптимума по всем факторам.

При получении неадекватной линейной модели можно достроить план для повышения степени полинома или с целью получения уравне-

58

ния регрессии, коэффициенты которого не смешаны либо смешаны с незначительными эффектами. Подходящим решением в этой ситуации также является движение к оптимуму.

Более сложные ситуации возникают, когда все или часть коэффициентов оказываются статистически незначимыми. В таких ситуациях экспериментатор, используя априорную информацию, последовательно выдвигает и анализирует ряд конкурирующих гипотез о близости незначимых факторов к оптимуму, величине интервала варьирования, об ошибке эксперимента и о смешении линейных коэффициентов со значимыми эффектами взаимодействия. Рассмотрим случаи, когда выдвигаемые эффекты не отвергаются.

1. Незначимые эффекты близки к оптимальным значениям.

В случае, если незначимы все коэффициенты регрессии, необходимо достроить план для описания поверхности отклика полиномом 2-го порядка. Если незначима часть коэффициентов и линейная модель адекватна, необходимо осуществить крутое восхождение по значимым факторам, застабилизировав при этом незначимые. При незначимости части коэффициентов и неадекватности линейной модели можно достроить план до неполного квадратного уравнения, использовав план меньшей дробности.

2.Мал интервал варьирования. Такая гипотеза не отвергается, если ошибка эксперимента невелика и предполагается, что оптимум по незначимым факторам не достигнут. В этой ситуации при незначимости всех коэффициентов следует построить новый план, увеличив при этом интервалы варьирования и перенеся центр плана в точку с лучшим опытом в анализируемой серии. При незначимости части коэффициентов

иадекватности линейной модели необходимо совершить крутое восхождение по значимым факторам.

3.Велик интервал варьирования. В этом случае при незначимости всех коэффициентов и неадекватности линейной модели можно уменьшить либо интервал варьирования, либо дробность реплики, а при незначимости части коэффициентов и адекватности модели совершить крутое восхождение по значимым факторам.

4.Велика ошибка эксперимента. Такая гипотеза принимается в том случае, если отвергается предположение о малом интервале варьирования. При незначимости всех коэффициентов в этой ситуации необходимо увеличить число параллельных опытов или построить план меньшей

59

дробности. В случае незначимости части коэффициентов и адекватности модели нужно совершить крутое восхождение по значимым факторам или уменьшить дробность реплики.

5. Главные эффекты смешаны со значимыми эффектами взаимодействия. В этой ситуации при незначимости части коэффициентов необходимо совершить крутое восхождение по градиенту адекватной линейной модели. При незначимости всех коэффициентов можно построить план, изменив систему смешения, или уменьшить дробность реплики.

Если проведенные опыты показали, что крутое восхождение эффективно и совершалось в том случае, когда все коэффициенты регрессии были значимы, то необходимо провести серию опытов в новых условиях. Центром плана новой серии опытов следует выбрать координаты лучшей или близкой к ней точки крутого восхождения. Если же крутое восхождение совершалось в случаях, когда часть эффектов была незначима, то в следующем итерационном цикле следует устранить причины незначимости, застабилизировав факторы, достигшие оптимальных значений (или не влияющих на процесс), изменив интервалы варьирования, увеличив число параллельных опытов или изменив систему смешения эффектов.

Если гипотеза о близости области оптимума не отвергается, а крутое восхождение неэффективно, то можно закончить исследования или достроить план для описания процесса полиномом 2-го порядка.

2.13.ФУНКЦИИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РЕГРЕССИИ

ВПАКЕТЕ MATHCAD

Ранее было показано, как расчетным путем определить коэффициенты a и b в уравнении y = ax + b, если есть область исходных точек x и y. Для проведения линейной регрессии в пакете Mathcad имеется ряд встроенных функций для двухпараметрической зависимости y(x):

intercept (X, Y) – возвращает значение коэффициента b (смещение линии регрессии по вертикали);

slope (X, Y) – возвращает значение коэффициента a (характеризует наклон линии регрессии).

На рис. 17 приведен пример построения линейной функции.

60