Теория автоматического управления

мой оси плоскости корней (рис. 5.8, а). В системе координата—/© область устойчивости находится слева от мнимой оси /со, и ось принято штриховать слева (при движении вдоль оси от — оо до -f оо). В теории функций комплексного переменного доказано, что в плоскости варьируемого параметра область устойчивости также находится слева от кривой D -разбиения. Соответственно кривую D -разбиения также штрихуют слева (при движении вдоль кривой от — оо до + оо).

После нанесения штриховки выявляют область с наибольшим числом левых корней. При этом учитывают, что каждому переходу с заштрихованной стороны кривой D -разбиения на незаштрихованную сторону (см. рис. 5.8, б, стрелка 1) соответствует переход одного корня из левой полуплоскости в правую, а пересечению кривой D -разбиения в обратном направлении (см. рис. 5.8, б, стрелка 2) соответствует переход одного корня из правой полу­ плоскости в левую. Переходя последовательно из одной области в другую, можно выявить область с наибольшим числом левых корней [см. рис. 5.8, б область D (п ; 0)]. После этого при помощи одного из критериев необходимо проверить, является ли выявлен­ ная область областью устойчивости, т. е. проверить, все ли корни левые.

В практических задачах параметр k является действительной величиной (передаточный коэффициент, постоянная времени), и его

Подставив в уравнение р = /©, решим его относительно коэффициента k:

Подставляя в выражение (5.69) различные значения переменной с», можно построить кривую D -разбиения (рис. 5.8, в). При помощи штриховки и соответствующих рассуждений о переходах корней нетрудно установить, что областью с наибольшим числом левых корней является область D (3; 0). В этой области все корни левые, т. е. она является областью устойчивости. Действительно, при k = 0 все три корня характеристического уравнения (5.68) отрицательные: р х = — 1/7Y, р 2 = — 1/Т 2; р 3 = — 1/ Т 3.

Допустимый диапазон изменения передаточного коэффициента рассмат­ риваемой системы от — 1 до + 11,2 .

Построение области устойчивости по двум параметрам. Рас­ смотрим случай влияния двух параметров на устойчивость системы.

182

Рис. 5.9. Область устойчивости в плоскости двух параметров

Эта система двух уравнений дает возможность определить для каждого фиксированного значения со два неизвестных k и Т.

Решим систему (5.74) методом определителей:

Выражения (5.75) и (5.76) представляют собой уравнение кри­ вой D -разбиения, заданное в параметрической форме. Подставляя в эти выражения различные значения параметра со (в диапазоне от — оо до + оо), можно построить основную границу области устойчивости (рис. 5.9, кривая АВС).

Так как полиномы Л х (со), В х (со) и Сх (со) — четные функции, а полиномы Л 2 (со), В 2 (©) и С2 (со) — нечетные, то определители

184

хованные стороны прямой и кривой должны быть обращены друг к другу (точки А , В и С). Причем, если в точке пересечения опреде­ литель А меняет знак, то штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону прямой, если же знак определителя не меняется, то направление штриховки остается прежним.

После нанесения штриховки выявляют области с наибольшим числом левых корней. Например, на рис. 5.9 три области имеют предположительно распределение корней D (л; 0) — они и являются «претендентами» на области устойчивости.

Прямо» 2. Построим при помощи метода D -разбиения область устойчи­ вости системы, состоящей из статического объекта третьего порядка

Подставляя в выражения (5.89) и (5.90) значения ш от 0 до оо, получим

основную границу устойчивости (рис. 5.10, а, кривая ЛС). Основную гра­

Особая прямая, соответствующая значению <ои = оо, находится в бес­

конечности.

186

у / / / / у / А / у / / / / / / / /

Рис. 5.10. Примеры построения областей устойчивости

Вдоль основной границы нанесем двойную штриховку. Так как при по­ ложительных значениях со главный определитель А < 0, то штриховать необходимо справа (при движении от со = 0 до со = оо). Особую прямую штрихуем так, чтобы в точках пересечения прямой с основной границей штриховка была направлена в одну сторону. В точке со = 0 штриховка особой прямой переходит на противоположную сторону.

Таким образом, плоскость параметров /гп и /ги оказалась разбитой на четыре области: D (4; 0), D (3; 1), D (2; 2), D (1; 3).

Областью устойчивости является область D (4; 0). В этом можно убе­ диться при помощи критерия Гурвица.

Передаточный коэффициент объекта k0 в первой степени одинаково входит в выражения (5.89) и (5.90) для kn и £и. Это означает, что для значе­

и пропорционально-дифференциального регулятора с отрицательной диффе­ ренциальной составляющей

187

новную границу АС дополняют две особые прямые, соответствующие часто­

Штриховка основной границы и особых прямых, выполненная по из­ ложенным выше правилам, указывает, что в плоскости настроечных пара­ метров kn и kA существуют две области устойчивости D (2; 0).

5.6. Влияние структуры и передаточного коэффициента системы на устойчивость

В предыдущих параграфах было показано, что устойчивость системы зависит как от вида характеристического уравнения си­ стемы, так и от конкретных числовых значений коэффициентов уравнения. Существуют системы, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно не­ устойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, изменив ее структуру. У структурно неустойчивой системы в пространстве любых ее параметров области устойчивости не существует.

Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, со­ держащую одно инерционное звено и два идеальных интегрирую­ щих. Характеристическое уравнение такой системы имеет вид

и не содержит слагаемое с р в первой степени. Очевидно, что в дан­ ном случае не выполняется необходимое условие устойчивости — условие положительности коэффициентов, и никакие вариации параметров k и Тг не могут привести к появлению слагаемого с р в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустой­ чива.

Все системы, приведенные в 5.2—5.5, являются структурно устойчивыми.

Алгоритмическая структура рассматриваемых ниже однокон­ турных систем однозначно характеризуется типом и числом эле­ ментарных динамических звеньев, образующих контур системы.

188

Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устой­ чивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устой­ чивость. К первой группе относятся звенья:

идеальное интегрирующее

Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются фор­ сирующие звенья. Обычно применяют форсирующие звенья пер­ вого порядка

Широко применяемый в промышленной автоматике пропорцио­ нально-интегральный закон регулирования соответствует последо­ вательному соединению идеального интегрирующего звена и фор­ сирующего звена первого порядка:

Поэтому влияние этого закона на устойчивость двоякое: при больших значениях коэффициента интегральной составляющей k„

т о й ч и в о с т и о д н о к о н т у р н о й с и с т е м ы . Харак­ теристическое уравнение системы в общем случае имеет вид

функций отдельных звеньев, входящих в контур системы; К (р) — произведение числителей этих же функций.

Условия структурной устойчивости зависят от общего порядка п характеристического уравнения (5.107) и от вида полиномов D (р) и К (р). В полином D {р) входят знаменатели «плохих» звеньев (5.102—5.104), а в полином К (р) — числители «хороших» — фор­ сирующих звеньев (5.105). Обозначим: q — число идеальных ин­ тегрирующих (5.102); t — число неустойчивых (5.103); г — число консервативных звеньев (5.104), входящих в систему.

Если форсирующих звеньев в контуре нет, т. е. К (р) = k (где k — общий передаточный коэффициент разомкнутого контура), то

189

условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств:

Ц-Ь 2;

(5.108)

4 г< я .

Для более сложных видов полинома К (р) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе.

Общие свойства многоконтурных систем, содержащих внутрен­ ние обратные связи, изучены еще недостаточно. Для всех этих систем пока не найдены условия структурной устойчивости. Лишь для одного класса многоконтурных систем (систем со статическими неперекрестными обратными связями) установлено правило: если все контуры системы структурно устойчивы, то сама система струк­ турно устойчива. Обратное утверждение несправедливо! Один или несколько контуров могут быть структурно неустойчивы, а вся

Учтем, что для одноконтурных систем коэффициент k входит в вы­ ражение а. ф. х. W (/со) как множитель:

где /С* (/и) 1(0=0 = 1.

Это означает, что длины вектора W (/©) при всех значениях со пропорциональны коэффициенту k. При увеличении коэффициента k а. ф. х. расширяется (рис. 5.11, а) и приближается к критической точке (— 1; /0). Следовательно, увеличение передаточного коэффи­ циента разомкнутого контура приводит к нарушению устойчиво­ сти системы.

Это правило справедливо для большинства реальных систем, у которых а. ф. х. имеет форму плавной спирали (см. рис. 5.11, а). Однако существуют системы, у которых а. ф. х. имеет клювообраз­ ную форму (рис. 5.11, б). В таких системах к нарушению устойчи­ вости может привести не только увеличение, но и уменьшение передаточного коэффициента.

Значение передаточного коэффициента, при котором а. ф. х. проходит через точку (— 1; /0), называют предельным или крити­ ческим.

Всуществовании предельного коэффициента можно убедиться

ипри помощи критерия Михайлова. Действительно, у простых одноконтурных систем коэффициент k входит только в коэффи­ циент ап характеристического уравнения, причем, для статических

190