Теория автоматического управления
..pdfY (p) определяют функцию у (/). Этот обратный переход от изобра жений к оригиналам в большинстве практических задач может быть осуществлен при помощи таблиц, имеющихся в специальных справочниках по операционному исчислению.
Широкое распространение операционного метода в теории авто матического управления обусловлено тем, что с его помощью опре деляют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элемен тов и систем.
Применим преобразование Лапласа к линейному дифференци альному уравнению (2.57), полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Используя свойство линейности и правило дифферен цирования (см. табл. 2.2), можно получить алгебраическое уравне
ние в изображениях: |
|
|
D( p) Y( p) = K( p) X( p) , |
(2.92) |
|
где |
|
|
D (р) = а0рп-f aip"-1+ . |
. + а„\ |
|
К (р) = b0p'n + |
+ |
, + Ьт. |
Сравнивая уравнение (2.92) с уравнением в символической форме (2.59), можно заметить полную аналогию их структур. Раз личие уравнений лишь в значении символа р : в первом уравнении он обозначает операцию дифференцирования, во втором — ком плексную переменную.
Введем понятие передаточной функции. Передаточной функ цией W (р) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных усло
виях: |
|
W(p) = Y (р)/Х (р) = %{у (t)}/2 {х (0). |
(2.93) |
Для системы, описываемой уравнением (2.57), передаточная функция равна отношению входного оператора К (р) к собствен ному оператору D (р):
с п) = |
К (р) _ |
bt,pm + bipm~1 + . . . 4- Ьт |
/2 g^\ |
|
КЮ |
D (p) |
a:,pn + |
+ . . + a n |
|
Как следует из (2.93) и (2.94), передаточная функция представ ляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент (рис. 2.11, а).
Передаточную функцию формально можно получить из диффе ренциального уравнения путем замены в нем символа кратного дифференцирования на соответствующую степень р и деления об разованного таким образом многочлена правой части уравнения на многочлен левой части.
|
а |
|
|
|
|
■о |
|
Х(Р) |
W(p) |
У(р |
° — 1*7. |
|
|
|
|
■■>-1 |
/ о/h ~Г"*r—1 |
|||
|
|
|
|
2,(Р1 |
УгФ) |
|
в |
|
|
|
“t(P> |
2г(р) |
|
|
|
|
|
|
X ---- о |
|
Zfphr |
2(p)-pl |
Z(p) =l/pC |
|
|
||
|
|
|
||||
Рис. 2.11. Схемы для определения передаточной функции |
||||||
П е р е д а т о ч н у ю |
ф у н к ц и ю |
э л е к т р и ч е с к и х |
||||
ч е т ы р е х п о л ю с н и к о в |
удобно |
получить, |
пользуясь по |
|||
нятием операторного сопротивления. Для этого четырехполюсник необходимо представить в виде схемы делителя напряжения (рис. 2.11, б), состоящей из двух операторных сопротивлений Z x (р) и Z 2 (р). Тогда передаточная функция между напряжениями иг и и 2 может быть определена как отношение выходного сопротивле-
ния ZBbl3C(р) = Z 2 {р) |
к входному |
ZBX(р) = |
Z x (р) + Z 2 (р): |
112 (р) |
%вых (Р) |
z 2(р) |
(2.95) |
“1 (Р) |
2ВХ (р) |
Zl ( p ) + Z 2 (p) |
|
где Z 1 (р) и Z 2 (р) найдены как эквивалентные операторные сопро |
|||
тивления входного и выходного участков, состоящих из типовых элементов электрических цепей (рис. 2.11, в).
Рассмотрим теперь о с н о в н ы е с в о й с т в а и о с о б е н
н о с т и |
п е р е д а т о ч н ы х ф у н к ц и й автоматических си |
стем и |
их элементов. |
Передаточная функция элемента связана с его импульсной пе
реходной функцией преобразованием |
Лапласа: |
\W (р)=% \w (t)}= $ w (0 e- Р 'dt. |
(2.96) |
0 |
|
Для реальных элементов, описываемых обыкновенными диффе ренциальными уравнениями вида (2.57), передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь, у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени много члена знаменателя, т. е. т < п. Все коэффициенты передаточной функции — действительные числа, характеризующие параметры элемента.
Передаточная функция является функцией комплексной перемен ной р = а ± /р, которая может при некоторых значениях пере менной р обращаться в нуль или бесконечность. Значение перемен ной р, при котором функция W (р) обращается в нуль, называют нулем, а значение, при котором обращается в бесконечность, — по люсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома К (р), а полюсами — корни
62
полинома D (р). Корни полиномов числителя и знаменателя могут быть комплексными, мнимыми и вещественными числами (в том числе и нулевыми). Если эти корни известны, то передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W (р) — ь°(Р — У д(Р — У*> • • • (Р — Ут) |
(2.97) |
«о (р — М (р — Ь2) (Р — К ) |
|
где уt — корни многочлена К (р) (нули W (р)); ^ — корни |
много |
члена D (р) (полюсы W (/?)). |
|
Таким образом, каждой конкретной передаточной функции с за данными коэффициентами соответствует вполне определенное со четание нулей и полюсов. По распределению нулей и полюсов пе редаточной функции на комплексной плоскости с координатами а и /р можно судить о свойствах элемента или системы.
Если полиномы D (р) и К (р) имеют один или несколько нуле вых корней, то передаточную функцию удобно записывать в такой форме, чтобы полюсы и нули были выделены в явном виде. Так, если передаточная функция имеет в точке р = 0 полюс кратности v, то такую передаточную функцию удобно записать в виде
W(p) = kW *(p)/p\ |
(2.98) |
где W* (р) при р -> 0 стремится к единице.
Передаточная функция (2.97) имеет полюсы в точке р = О,
когда один |
или несколько младших коэффициентов многочлена |
|||||
D (р) |
равны |
|
нулю: ап — ап_г = |
= a„_v+1 = 0 |
(v = 0; 1; |
|
2; |
.). Такую |
передаточную функцию можно представить в виде |
||||
^ |
/р\ _ |
Ь„рт -ф ЬгРт 1 ~Е . . ■ Ьт |
|
(2.99) |
||
|
УР |
a„pn + alP n-М - . |
. + а п |
|
||
|
|
|
||||
или |
после преобразований |
|
|
|
||
W ( p ) |
k |
W * (р) - к |
Ворт + |
Bipm~1 + • • • + |
1 |
|
|
|
t)v |
Pv |
A0pn- ' + A |
lpn-'> -l + |
+ 1 |
где |
Bi = |
bjbm при i = 0; |
1; 2; |
1; |
2; |
; /г—v; k = bmlan_v. |
|
|
Величину v называют |
порядком |
|
имеет размерность |
|
||
|
№ - |
[уУ[х] IW |
|
(2. 100)
; m; Л,- = а,/ал_у при i = 0;
астатизма. Коэффициент k
(2.101)
и с некоторой условностью может быть назван передаточным ко эффициентом. Условность заключается в том, что понятие «переда точный коэффициент» было введено в качестве характеристики ста тического режима, а у элементов с v Ф- 0 статический режим ра боты не существует.
Если v = 0, то элемент называется статическим, а его переда точная функция при р = 0 равна передаточному коэффициенту:
W (0) = kW* (0) = b ja n = k. |
(2.102) |
Пример 1. Определим передаточную функцию механического устройства, рассмотренного в 2.4. Для этого запишем его дифференциальное уравнение (2.77) в изображениях
Т\р21(р) + Т хр1 (р) + / (р) = kF (р). |
(2.103) |
и найдем отношение изображения выходной величины / (р) к изображению входной величины F (р):
W(p) = l (p)IF (р) = k!{T\p2 + Г,р + |
1). |
(2.104) |
Пример 2. Найдем передаточную функцию электрического колебатель |
||
ного контура, который представлен |
в виде |
четырехполюсника (см. |
рис. 2.11, б), причем входной участок образован последовательным соедине нием резистора г и индуктивности L, а выходной — из емкости С.
Операторные сопротивления участков равны Z x (р) = г + p L , Z2 (р) = = 1IpC. Согласно (2.95), передаточная функция
№(р) = |
(р) |
= ------- \1е£ — |
______1______ |
(2.105) |
|
ui (Р) |
т+ PL + UpC |
Т2р2 + Г , р + 1 |
|
где Т2 = V LC ; |
Тг = гС. |
|
|
|
2.7. Частотные характеристики
Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических коле баний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты. Частотные характеристики широко используются в теории и практике автома тического управления, так как реальные возмущения, действующие на автоматические системы, могут быть представлены как сумма
гармонических |
сигналов. |
и |
р а з н о |
Рассмотрим |
ф и з и ч е с к у ю с у щ н о с т ь |
||
в и д н о с т и |
ч а с т о т н ы х х а р а к т е р и с т и к . |
Пусть на |
|
вход линейного элемента (рис. 2.12, а) в момент |
времени / = 0 |
||
подано гармоническое воздействие определенной частоты со |
|||
jc(0 = *msin<Bf. |
|
(2.106) |
|
Через некоторое время, необходимое для протекания переход ного процесса (т. е. для исчезновения свободной составляющей), элемент войдет в режим установившихся вынужденных колебаний а выходная величина у (/) будет изменяться по гармоническому
64
Рис. 2.12. Схема для определения понятий частотного метода
закону с той же частотой со, но с отличающейся |
амплитудой ут |
и со сдвигом Д^ф по оси времени (рис. 2.12, б): |
|
У {1) = Утsin (со^ + ф), |
(2.107) |
где ф = (Д/ф/Г) 360 — фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами, градус.
Повторяя такой эксперимент при фиксированном хт для раз личных значений частоты (от 0 до со), можно установить, что ам плитуда ут и фазовый сдвиг ф выходного сигнала конкретного эле мента зависят от частоты воздействия. Подавая гармоническое воз действие на вход различных элементов, можно убедиться, что ве личины ут и ф зависят также от типа и параметров элемента. Сле довательно, зависимости амплитуды ут и сдвига ф от значений ча стоты со могут служить характеристиками динамических свойств элементов.
Так как амплитуда выходного сигнала ут зависит еще от ам плитуды входного сигнала хт, то целесообразно при описании пе редаточных свойств элементов рассматривать отношение амплитуд
Ут/Хт.
Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сиг нала от частоты называют амплитудной частотной характеристи кой (сокращенно — а. ч. х.) и обозначают А (со) (рис. 2.13, а). За висимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ф. ч. х.) Ф (со) (рис. 2.13, б). Аналитические выражения А (со) и ф (со) на зывают соответственно амплитудной и фазовой частотными функ циями.
А. ч. х. показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению ампли туд y j x m. А. ч. х. имеет размерность, равную отношению размер ности выходной величины к размерности входной. Ф. ч. х. показы вает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.
3 3d к. Лй |
65 |
Рис. 2.13. Частотные характеристики:
а — амплитудная; б — фазовая; в — амплитудно-фазовая; г — логарифмическая
Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объе динить в одну общую — амплитудно-фазовую частотную характе ристику (а. ф. ч. х. или а. ф. х.). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W (/со) представляет собой функцию комплексного
переменного /со, |
модуль которой |
равен А (со), а аргумент равен |
||||
ср (со). Каждому |
фиксированному |
значению |
частоты со* соответст |
|||
вует |
комплексное число |
W (/со*), |
которое на |
комплексной |
плоско |
|
сти |
можно изобразить |
вектором, |
имеющим |
длину А (со*) |
и угол |
|
поворота ф (со*) |
(рис. 2.13, в). Отрицательные значения ф (со), со |
|||||
ответствующие отставанию выходного сигнала от входного, при нято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направле ния действительной оси.
При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W (/со) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно увеличивается или уменьшается длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть а. ф. х. Каждой точке ха рактеристики соответствует определенное значение частоты.
Проекции вектора W (/со) на действительную и мнимую оси на зывают соответственно действительной и мнимой частотными ха
рактеристиками и |
обозначают |
Р (со) = |
Re W (/со), |
Q (со) = |
|
= Im W (/со). Отметим, что |
действительная |
частотная |
характери |
||
стика Р (со)— всегда |
четная |
функция частоты, а мнимая характе |
|||
ристика Q (со) — всегда нечетная |
функция. |
|
|
||
Аналитическое выражение для а. ф. х. конкретного элемента
можно получить из его передаточной функции путем подста новки р = /со:
|B7y<o) = ^ ( p ) U , e . |
(2.108) |
А. ф. х. W (/со), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме
W (/со)- А (со) е'<и<°>, |
(2.109) |
алгебраической
№(/<o) = P(<o)+/Q(<o) |
(2.110) |
или тригонометрической
W (/со) — А (со) cos ф (со) + ]А (со) sin ф (со). |
(2.111) |
Связь между различными частотными функциями следующая:
А И = | W (/со) | = V /52 (со) + Q2(со), |
(2.112) |
ф (со) — arg W (/со) — arctg (Q (со)/Р (со)). |
(2.113) |
Поскольку а. ф. х. W (/со), так же как и передаточная функция, представляет собой обычно дробь, то ее модуль может быть найден как отношение модуля числителя к модулю знаменателя:
A((D)=--\W ( /со) | = |
|* (/со) |/| D (/со) |, |
(2.114) |
а аргумент функции |
W (/со) — как разность аргументов числителя |
|
и знаменателя: |
|
|
ф (о) = arg W (/со) = arg К (/со) —arg D (/со). |
(2.115) |
|
При практических расчетах автоматических систем удобно ис пользовать частотные характеристики, построенные в логарифми ческой системе координат. Такие характеристики называют лога рифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из не скольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в боль шинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифми ческой системе координат легко находить характеристики различ ных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат лога рифмических характеристик.
За единицу длины по оси частот логарифмических характери стик принимают декаду. Декада — интервал частот, заключенный между произвольным значением со* и его десятикратным значе нием 10 cot*. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.
з*
Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. а. ч. х.)
L(co) = 201g А (о), |
(2.116) |
ординаты которой измеряют |
в логарифмических единицах — бе |
лах (Б) или децибелах (дБ). |
отношения мощностей двух сигна |
Бел — единица измерения |
лов. Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б, (lg 10 = 1). Так как мощность гармонического сигнала пропорцио нальна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения амплитуд перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте А (со) = 100, то это означает, что мощности входного и выходного сигналов от личаются в 1002 раз, т. е. на 21g 100 = 4 Б или на 40 дБ, соответст венно и L (со) = 20 lg Л (со) = 40 дБ.
При построении фазовой частотной характеристики логарифми ческий масштаб применяют только для оси абсцисс.
На рис. 2.13, г показаны л. а. ч. х. L (со) (толстая линия) и со ответствующая ей приближенная (асимптотическая) характери стика La (со) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Ча стоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют со прягающими и обозначают сос.
Правила и примеры построения приближенных логарифмиче ских характеристик конкретных элементов приведены в гл. 3.
А. ф. х. устанавливает связь между входным и выходным сиг налами не только для случая, когда они являются гармоническими функциями, но и тогда, когда они имеют произвольный вид. Поэ тому а. ф. х. можно определить как отношение изображения по Фурье выходной величины Y (Jсо) к изображению входной вели
чины |
X (/со): |
|
W (/со) = Y (/со)/Х (/со). |
(2.117) |
|
В |
этом случае комплексная переменная / со |
изменяется от — о о |
до + |
о о , так как любой реальный сигнал может быть разложен |
|
на сумму только попарно сопряженных вращающихся векторов. А. ф. х. элемента связана с его импульсной переходной функ
цией преобразованием Фурье |
(2.29): |
оо |
|
| W (/со) = $ w (t) е-/“' d t. |
(2.118) |
о |
|
При применении двустороннего преобразования (2.29) к функ ции w (/) учтено, что при t < 0 w (t) = 0, и поэтому нижний пре дел интегрирования принят равным нулю.
Если формулу (2.118) использовать для импульсной переходной функции, записанной в безразмерном времени 1 — t/TM, то а. ф. х.
станет функцией безразмерной частоты ш = |
со Гм: |
оо |
|
W (/соГм)= Г— W (//Гм) e-i<*‘dt, |
(2.119) |
J Т м |
|
О |
|
где Ты — масштабный множитель, принятый за единицу времени. Соотношение (2.119) означает, что если растягивать (сжимать)
график функции w (t) вдоль оси времени в Тм раз, то графики ам плитудной и фазовой характеристик будут сжиматься (растяги ваться) вдоль оси частот со в Тм раз. Это свойство используется при построении безразмерных частотных характеристик и анализе связи переходных процессов с частотными характеристиками систем.
По виду частотных характеристик все элементы и системы де лятся на две группы: минимально-фазовые и неминимально-фазо вые. Минимально-фазовыми являются элементы (системы), у ко торых все полюсы и нули передаточной функции W (р) имеют от рицательные действительные части. Такие элементы дают мини мальный фазовый сдвиг ф (0) по сравнению с любыми другими эле ментами, имеющими такую же амплитудную характеристику А (0), но у которой действительная часть хотя бы одного полюса или нуля положительна (подробнее см. 3.3).
Минимально-фазовые элементы обладают важным для практи ческих расчетов свойством: их частотная передаточная функция
полностью |
определяется |
одной |
из трех |
составляющих — А (0), |
|||||
Р (0) или Q (0). Это существенно упрощает задачи анализа и син |
|||||||||
теза минимально-фазовых систем. |
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найдем аналитические выражения для частотных характери |
|||||||||
стик элемента, передаточная |
функция |
которого |
имеет вид |
|
|||||
W (р) = |
(Ь(,р + b j l f a p + |
а,). |
|
|
|
|
|
(2.120) |
|
Амплитудно-фазовая функция элемента равна |
|
(2.121) |
|||||||
W (/со) = (6,,/со + |
Ьг) / ( а ^ ( й |
+ а А). |
|
|
|
|
|
||
Выражение для амплитудной частотной характеристики |
найдем как |
||||||||
отношение |
модулей числителя и знаменателя: |
|
|
|
|||||
Л (о) = |
• I b0j® + |
Ьх | |
|
|
/ V а1+ affl |
|
(2. 122) |
||
|
| a„jсо + |
СЦ| = д / 61+ ЬУ |
|
|
|||||
а для фазовой — как разность аргументов |
числителя |
и знаменателя |
|||||||
ф (со) = |
arg (6Х |
/6„со) — arg (СЦ + |
jadсо) = |
arctg |
------ arctg |
— . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
bi |
&1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.123) |
Анализируя выражение (2.123), |
нетрудно убедиться, что элемент (2.120) |
||||||||
с положительными |
коэффициентами а; |
и bi |
является |
минимально-фазовым. |
|||||
Если хотя бы один из них отрицательный, то фазовый сдвиг (2.123) уже не будет минимальным.
Т а б л и ц а |
2.3 |
|
|
|
|
Взаимные соответствия динамических характеристик |
|
||||
Характе |
h (t) |
W(/) |
W (P) |
||
ристики |
|
|
|
|
|
Переходная |
i |
t |
r - t l w |
(p) 1 |
|
А(0 = |
$ w (0) d 0 |
||||
1 |
p i |
||||
|
|
0 |
|||
Импульсная |
d /i(0 |
1 |
Я ' 1 [W(P)} |
||
w(t) = |
d t |
||||
|
|
|
|
||
Передаточная |
p S {*(<)} |
&{w(t)) |
1 |
|
|
W(p) = |
|
||||
Частотная |
|
|
|
|
|
W (/со) = |
j< * r { h ( t) } |
(w (0} |
w (P) 1P«=/<o |
||
W (1(0)
a - - ! |
r «“M |
l |
/'<■> J |
s - 1 ( W (/со))
V (/со) |/ш=р
1
Рассмотренные в 2.5—2.7 временные, передаточные и частот ные характеристики однозначно связаны между собой прямым и об ратным преобразованиями Лапласа и Фурье. Эти взаимные связи и соответствия сведены в табл. 2.3.
2.8. Статические и динамические характеристики типовых соединений элементов
Алгоритмическая структура любой автоматической системы уп равления представляет собой комбинацию трех типовых соедине ний элементов: последовательного, параллельного и встречно-па-
а
У г х 2л к |
J z __ ^ k , |
Уь |
к |
Уп~У ^ |
AZ |
n L |
n n |
|
|
8
Рис. 2.14. Типовые соединения линейных элементов:
а последовательное; 6 параллельное; в — встречно*параллельное (с обратной связью
70