Теория автоматического управления

Глава 3 ХАРАКТЕРИСТИКИ И МОДЕЛИ ТИПОВЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Классификация звеньев

Функциональные элементы, используемые в автоматических системах, могут иметь самые различные конструктивное выполне­ ние и принципы действия. Однако общность математических вы­ ражений, связывающих входные и выходные величины различных функциональных элементов, позволяет выделить ограниченное число так называемых типовых алгоритмических звеньев. Каждому типовому алгоритмическому звену соответствует определенное ма­ тематическое соотношение между входной и выходной величиной. Если это соотношение является элементарным (например, диффе­ ренцирование, умножение на постоянный коэффициент), то и звено называется элементарным.

Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, по­ лучили название типовых динамических звеньев. Это понятие и свя­ занные с ним приемы анализа автоматических систем были пред­ ложены в 1938 г. советским ученым А. В. Михайловым. В дальней­ шем методика анализа, основанная на расчленении автоматической системы на типовые звенья, широко вошла в практику инженерных расчетов и в настоящее время является доминирующей.

Типовые динамические звенья являются основными составными частями алгоритмических структур непрерывных систем управле­ ния, поэтому знание их характеристик существенно облегчает ана­ лиз таких систем.

Классификацию типовых звеньев удобно осуществить, рассмат­

Значения коэффициентов уравнения (3.1) и названия для наи­ более часто встречающихся звеньев приведены в табл. 3.1.

Отметим ряд общих закономерностей. Звенья, у которых ко­ эффициенты а2 Ф 0 и Ьх Ф 0, обладают статизмом, т. е. однознач­ ной связью между входной и выходной переменными в статическом режиме. Поэтому к их названиям часто добавляют выражение ста-

92

Т а б л и ц а 3.1 Значения коэффициентов уравнения (3.1) типовых звеньев

тическое или позиционное. К этим звеньям относятся № 1 , 2 , 3, 4,

10, 11, 12.

Звенья, у которых а 2 Ф 0, аг Ф 0 и а0 Ф 0, обладают инерцион­ ностью (замедлением). К ним относятся звенья № 2, 3, 4, 6, 8,

11, 12.

У звеньев № 1, 5 и 7 только два коэффициента не равны нулю.

Они являются простейшими или элементарными. Все остальные типовые звенья могут быть образованы из элементарных путем последовательного, параллельного и встречно-параллельного сое­ динения.

Если один из коэффициентов левой части уравнения (3.1) от­ рицательный, то звено будет неустойчивым и неминимально-фазо­ вым (см. пример в 3.3).

Характеристики, модели и примеры звеньев № 1—8 рассмот­ рены в 3.2—3.6. Характеристики звеньев № 8—12 могут быть по­ лучены как характеристики соединений звеньев при помощи фор­ мул (2.138) — (2.142).

3.2. Безынерционное звено

Безынерционное звено является простейшим среди всех типо­ вых звеньев. Оно передает сигнал со входа на выход мгновенно, без искажений его формы. В звене может происходить только уси­ ление или ослабление мгновенных значений входной величины.

Связь между мгновенными значениями входной величины х (t) и выходной величины у (t) описывается алгебраическим уравнением

Передаточные свойства звена определяются лишь одним пара­ метром — передаточным коэффициентом k.

При единичном ступенчатом воздействии x (t) = 1 (/), прило­ женном в момент t = 0, выходная величина мгновенно изменяется и принимает значение к (рис. 3.1, а). Переходная функция звена имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика (а. ф. х.) звена описы­ вается функцией

Рис. 3.1. Характеристики безынерционного звена

которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис. 3.1, е). Амплитудная частотная характе­ ристика (а. ч. х.)

представляет собой прямую, параллельную оси частот (рис. 3.1, в). Эго означает, что

сигналы любой частоты {от нуля до бесконечности) проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходной и входной величин, равным к.

Выражение для фазовой частотной характеристики (ф. ч. х.)

показывает, что безынерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и выходной величиной. Это и оправдывает назва­ ние звена.

оси абсцисс (рис. 3.1,5).

На алгоритмических схемах безынерционное звено изображают в виде прямоугольника, внутри которого указывают буквенное обозначение или числовое значение передаточного коэффициента k (рис. 3.2, а).

Аналоговой моделью безынерционного звена служит операцион­ ный усилитель (рис. 3.2, б), используемый в режиме масштабного усиления (см. 2.10) с коэффициентом akB%= к. При цифровом моделировании безынерционному звену соответствует блок умно-

95

IL

t Ус

H=nz

W »-«

x=n'

Рис. 3.2. Модели и примеры безынерционного звена

жения дискретных значений входного сигнала дгг на постоянный коэффициент k (рис. 3.2, в).

Распространенными примерами безынерционного звена являются редуктор (рис. 3.2, г), потенциометрический датчик углового пе­ ремещения <р (рис. 3.2, д), тахогенератор, используемый в качестве датчика частоты вращения п (рис. 3.2, е).

Передаточный коэффициент редуктора зависит от соотношения

Передаточный коэффициент k„ (В/0) потенциометрического дат­ чика зависит от напряжения и0, подводимого от внешнего источ­ ника к зажимам потенциометра, и величины полного хода движка (р0:

Передаточный коэффициент kT. Г 1В/(об/с) ] тахогенератора за­ висит от числа пар полюсов р, числа проводников в пазах якоря N, числа пар параллельных ветвей обмотки якоря а и магнитного по­ тока возбуждения Ф (Вб):

Следует отметить, что понятие безынерционного звена является продуктом математической идеализации. На самом деле все реаль­ ные конструктивные элементы автоматических систем обладают некоторой инерционностью, так как передача энергии со входа на выход элемента не может осуществляться мгновенно. Однако, если инерционность того или иного элемента на два—три порядка меньше, чем у остальных элементов рассматриваемой системы, то его считают безынерционным звеном. Так, например, при описании и анализе системы управления тепловым объектом, инерционность

96

которого характеризуется, как правило, постоянной времени от нескольких десятков до тысяч секунд, датчик температуры (термо­ пару, термосопротивление) можно рассматривать как безынерцион­ ное звено.

3.3. Инерционные звенья первого порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид

звена в статическом режиме; Т — постоянная времени, характери­ зующая инерционность звена.

Переходную функцию звена можно найти как сумму общего и частного решений уравнения (3.14). Применяя методику, изло­ женную в 2.5, получим следующее выражение для переходной

Применяя методы аналитической геометрии, нетрудно убедиться в том, что касательная к кривой h {t) (рис. 3.3, а) в точке t = О отсекает на горизонтальной прямой h = k отрезок, равный по­ стоянной времени Т. Переходная функция при t = Т равна 0,632 &, а при t = ЗТ достигает значения 0,95 k. В приближенных расче­ тах обычно считают, что при t = 3 Т переходный процесс практи­ чески закончился.

Импульсная переходная функция звена может быть получена,

q(u). \ сос

0 со

90а

Рис. 3.3. Характеристики инерционного звена первого порядка

4 За к. № 617

Вторая асимптота (высокочастотная) заменяет точную характе­ ристику при больших частотах, когда Г 2©2 > 1, и единицу под корнем в формуле (3.26) можно не учитывать. Выражение для этой асимптоты имеет вид

Эта асимптота зависит от частоты. В логарифмической системе координат она представляет собой прямую, имеющую отрицатель­ ный наклон и проходящую через точку с координатами © = Г-1, L (©) = 20 lg k. Подставляя в формулу (3.28) два значения частоты ©! и ©2 = 10 ю1( можно убедиться, что приращение высокочастот­

Можно показать, что наибольшая ошибка, получающаяся от приближенной замены точной характеристики (3.27) двумя асимп­ тотами, равна 3 дБ (при частоте ©с).

На алгоритмических схемах инерционное звено первого порядка представляют либо в виде модели «вход-выход» (рис. 3.4, а), либо в виде модели в переменных состояния (рис. 3.4, б).

Цифровая модель звена может быть реализована в виде блоксхемы (рис. 3.4, г), соответствующей модели в переменных состоя­ ния (см. рис. 3.4, б) и содержащей цифровой интегратор (см. 2.10)

Рис. 3.4. Модели инерционного звена первого порядка

100