Теория автоматического управления

Передаточная функция разомкнутого контура является одной из важнейших характеристик замкнутой системы управления. От нее зависят устойчивость и показатели качества процесса управле­ ния (см. гл. 5 и 6). Она обязательно входит в выражение передаточ­ ной функции замкнутой системы.

В общем случае на замкнутую систему управления могут влиять несколько внешних воздействий (задающих и возмущающих), а при анализе и оценке ее свойств часто возникает необходимость рассматривать несколько выходных переменных. Например, если

всистеме (см. рис. 4.2, а) четыре внешних воздействия (хв, х 2, хв, х4)

ичетыре выходных переменных (уъ у 2, у3, у4), то для каждой пары «вход-выхода замкнутой системы может быть записана своя пере­ даточная функция по следующему правилу:

Передаточная функция Ф,* (р) одноконтурной системы между

при этом предполагается, что обратная связь в системе отрицатель­ ная. Знак обратной связи в одноконтурной системе устанавливают с учетом всех перемен знака, происходящих в сумматорах при про­ хождении сигнала по замкнутому контуру.

Например, для системы на рис. 4.2, а передаточная функция по каналу хь—у3 равна

где Wp. к (р) = Wx (р) W 2(р) Wз (р) W4(р).

При записи (4.6) учтено, что в схеме (см. рис. 4.2, а) знак внутри контура изменяется только один раз (в сумматоре после звена №3), т. е. обратная связь отрицательная. Эта перемена знака происхо­ дит и с сигналом в прямой цепи и учтена в числителе (4.6) знаком «минус».

Передаточная функция по любому из каналов хк—yi записы­ вается по правилу (4.5) независимо от остальных каналов — в пред­ положении, что остальные входные воздействия равны нулю.

Если исходная алгоритмическая схема многоконтурная и со­ держит п е р е к р е с т н ы е с в я з и (рис. 4.3 , а), то для ее свертывания к одноконтурной приходится применять, кроме трех главных правил (4.1), (4.2), (4.3), вспомогательные правила струк­ турных преобразований (табл. 4. 1).

Действительно, ни для одного из трех типовых соединений, со­ держащих по три элемента (W ^ - W 2— W4, W 2— Wz— Wb, W 1— И72—И7*)» образующих схему на рис. 4.3, а, нельзя сразу приме­ нить главные правила, так как начало или конец одного соединения

132

я

Рис. 4.3. Пример структурных преобразований алгоритмической схемы

оказались бы при этом внутри другого соединения. Поэтому при­ ходится эти перекрещивающиеся контуры предварительно «развя­ зывать» — устранять перекрестность различными путями. Так, пользуясь вспомогательным правилом № 3 (см. табл. 4.1), можно перенести узел разветвления с входа на выход звена W3, добавив одновременно перед звеном W3 обратную функцию U7-1. С помощью

правила № 5 можно сумматор перенести на выход звена W 2, вклю­ чив последовательно с Wb звено W 2, а затем по правилу № 2 по­ менять местами сумматоры А и В. В итоге получится схема без пе­ рекрестных связей (рис. 4.3, б), которую легко свернуть по глав­ ным правилам. Передаточные функции двух внутренних соедине­ ний данной схемы:

Теперь схему можно рассматривать как одноконтурную с пе­

Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 4.3, б) по

(4.11)

W

Перенос узла разветвления через звено вперед

Q — ►[ tv |— ^

Для многоконтурных схем, более сложных, чем рассмотренная, процедуры предварительных переносов и последовательного свер­ тывания оказываются достаточно трудоемкими. Поэтому для та­ ких схем целесообразно использовать формулу Мейсона

где Wikd) (р) — передаточная функция t-го прямого канала, свя­ зывающего вход xh с выходом г/,; т — число таких каналов; А (р) — специальный полином, который определенным образом характери­ зует совокупность всех замкнутых цепей системы, содержащих об­ ратные связи, и вычисляется как сумма передаточных функций ра­ зомкнутых контуров этих цепей и произведений передаточных функ­ ций разомкнутых контуров пар и троек несоприкасающихся друг с другом цепей с обратными связями:

Полином А, (р) составляется по правилу, аналогичному (4.13), но только для цепей с обратными связями, не соприкасающихся с t-м прямым каналом. Знаки всех сигналов прямых каналов и об­ ратных связей учитываются в формулах (4.12) и (4.13) перед соот­ ветствующими передаточными функциями.

Формула Мейсона особенно удобна для применения, когда структура системы представлена в виде сигнального графа.

Проиллюстрируем использование формулы на примере системы, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 4.3, а. Соответст­ вующий ей сигнальный граф показан на рис. 4.4, а, причем знаки сигналов перед сумматорами С и В учтены на графе вместе с пере­ даточными функциями We и W4. Для наглядности на рис. 4.4, б

а

Рис. 4.4 . Сигнальный граф системы (а) и образующие его прямые каналы

(б) и замкнутые контуры (в)

4.2. Примеры составления передаточных функций и уравнений динамики систем управления

Система управления частотой вращения двигателя. Автомати­

ческая система, упрощенная принципиальная схема которой при­ ведена на рис. 4.5, а, широко применяется для регулирования ча­ стоты вращения различных машин и механизмов. Систему исполь­ зуют как в режиме программного управления, так и в режиме стабилизации скорости. В качестве исполнительного устройства в си­ стеме применен генератор постоянного тока G. Возбуждение гене­ ратора осуществляется от тиристорного преобразователя VS. Уп­ равляющий сигнал %, действующий на входе преобразователя, формируется в операционном усилителе У в зависимости от вели­ чины и знака сигнала рассогласования ц, — разности напряжений и3 и ип. Формирование сигнала иу может происходить по про­ стейшему пропорциональному закону или по более сложному алго­ ритму (см. 4.3).

Кроме главной обратной связи (по частоте вращения двигателя), в системах такого рода применяют обычно обратные связи по на­ пряжению или току якорной цепи (см. пунктирную линию на рис. 4.5, а). Далее будем рассматривать только главную обратную связь.

На алгоритмической схеме системы управления частотой вра­

Рис. 4.5. Автоматическая система управления частотой вращения двигателя:

а — принципиальная схема; б — алгоритмическая схема

Передаточная функция двигателя по управляющему воздейст­

Тиристорный преобразователь VS по сравнению с двигателем М и генератором G может рассматриваться как практически безынер­ ционное звено:

Будем считать, что операционный усилитель У выполняет про­ стейший алгоритм — пропорциональное усиление:

Согласно правилу (4.5) передаточная функция замкнутой си­

где Г р. к (р) — передаточная функция разомкнутого контура:

После подстановки в выражения (4.25), (4.26) и (4.27) переда­ точных функций отдельных элементов получим:

138