Теория автоматического управления

Подставляя в (2.128) уравнения статики отдельных элементов

получим

y= {k1-\-k2-]r + £ * + + k n) х. (2.130)

Отсюда следует, что

эквивалентный передаточный коэффициент параллельно соеди­ ненных линейных элементов равен сумме передаточных коэффи­ циентов элементов:

Отметим, что суммирование сигналов ус в одной точке возможно лишь в том случае, если они имеют одинаковую размерность. Поэ­ тому коэффициенты всех параллельно включенных элементов и ко­ эффициент k3 всегда имеют одну и ту же размерность.

Встречно-параллельным соединением двух элементов (соедине­ нием с обратной связью) называют такое соединение, при котором выходной сигнал первого элемента поступает на вход второго, а выходной сигнал второго элемента с соответствующим знаком сум­ мируется с общим входным сигналом (рис. 2.14, в). Первый элемент, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала, называют элементом прямой цепи. Вто­ рой элемент, у которого направление передачи сигнала противо­ положно направлению передачи общего сигнала, называют элемен­ том обратной связи.

В зависимости от знака сигнала обратной связи различают по­ ложительные и отрицательные обратные связи. Если сигнал об­ ратной связи у0_с суммируется (на схеме знак «+») с общим вход­ ным сигналом х, то обратная связь является положительной. Если сигнал обратной связи вычитается из общего сигнала (на схеме знак «—»), то обратная связь является отрицательной.

Рассмотрим статические свойства соединения с обратной связью. Пусть элементы прямой и обратной связи линейны и характери­ зуются коэффициентами k„ и kQ. с. Тогда согласно определению понятия обратная связь можно записать уравнения:

прямой цепи

Подставляя выражение (2.133) в (2.134), а затем выражение (2.134) в (2.132), получим уравнение статики всего соединения с об­ ратной связью:

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «—» положительной. Формула (2.136) выражает одно из фундамен­ тальных правил ТАУ:

эквивалентный передаточный коэффициент элемента, охваченного отрицательной обратной связью, равен коэффициенту пря­ мой цепи, разделенному на единицу плюс произведение коэффи­ циентов прямой и обратной связи.

Размерность эквивалентного передаточного коэффициента равна размерности коэффициента ku. Произведение коэффициентов knk0. с всегда безразмерно.

Из выражения (2.136) следует, что отрицательная обратная связь уменьшает эквивалентный коэффициент, а положительная — уве­ личивает. Если при положительной обратной связи произведение коэффициентов knk0. с — 1, то коэффициент k3 возрастает до беско­ нечности, а если knk0. с > 1, то положительная обратная связь преобразует соединение в инвертор (элемент, изменяющий знак входного сигнала) с эквивалентным коэффициентом k3.

Анализируя формулу (2.136), можно показать, что отрицатель­ ная обратная связь уменьшает отклонения выходной величины, возникающие в исходной прямой цепи из-за нестабильности коэф­ фициента kn, в (1 + knk0. с) раз. Нестабильность самого коэффи­ циента k0. с обратной связью не компенсируется.

Соединение с отрицательной обратной связью обладает еще од­ ним свойством:

при достаточно большом значении произведения knk0. с эквива­ лентный передаточный коэффициент практически не зависит

Это свойство широко используется при конструировании вьи сокостабильных устройств из элементов с меняющимися коэффи. циентами.

Таким образом,

отрицательная обратная связь всегда уменьшает проявление нестабильности параметров охватываемого элемента и оказы­ вает стабилизирующее действие на передаточные свойства пря­ мой цепи.

Заметим, что в случаях, когда статические характеристики от­ дельных элементов нелинейны, нельзя применять формулы (2.126), (2.131), (2.136) и эквивалентные характеристики соединений можно определить только графическими построениями.

Рассмотрим п р а в и л а н а х о ж д е н и я э к в и в а л е н т ­ н ы х д и н а м и ч е с к и х х а р а к т е р и с т и к т и п о в ы х с о е д и н е н и й .

Выражения для эквивалентных передаточных функций типовых соединений можно получить также, как выражения (2.126), (2.131) и (2.136) для передаточных коэффициентов.

Эквивалентная передаточная функция последовательного сое­ динения из п элементов равна произведению п передаточных функций элементов:

Соответственно, эквивалентная а. ф. ч. х. последовательного

Эквивалентная а. ч. х. этого соединения может быть получена как модуль произведения (2.139) и равна произведению отдельных

а эквивалентная ф. ч. х.— как аргумент произведения и равна сумме ф. ч. х.:

В соответствии с (2.140) эквивалентная л. а. ч. х. может быть получена как сумма л. а. ч. х. отдельных элементов, соединенных

Эта возможность широко используется в практических расчетах.

При параллельном соединении п элементов эквивалентная пере- даточная функция равна сумме п передаточных функций эле­ ментов:

иМ р) = 1 > < ( р). i =1

Как сумма могут быть найдены и такие эквивалентные характе­ ристики параллельного соединения, как W9 (/со), h3 (t) и w3 (t).

Наконец, для соединения с обратной связью эквивалентная пе­ редаточная функция, аналогично (2.136), равна

где знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «—» — положительной.

Нетрудно убедиться, что при больших значениях передаточного коэффициента прямой цепи эквивалентная передаточная функция встречно-параллельного соединения с отрицательной обратной связью, аналогично (2.137), принимает вид

Соотношение (2.145) выражает свойство так называемой пре­ дельной системы, динамические свойства которой определяются только свойствами звена обратной связи.

2.9. Векторно-матричная форма описания многомерных элементов

Современные системы управления сложными технологическими объектами содержат часто элементы с несколькими входными и не­ сколькими выходными переменными. Такие элементы называют

многомерными.

Многомерными элементами являются прежде всего сами объекты управления. Например, электрический генератор переменного тока имеет две выходные переменные — напряжение и частоту и две входные — напряжение возбуждения и частоту вращения ротора. Примером более сложного многомерного элемента является такой объект управления, как технологический процесс флотации медной руды, который характеризуется несколькими входными и выход­ ными переменными. К выходным переменным флотации относятся показатели качества медного концентрата (содержания меди и по­ сторонних компонентов) и большое количество так называемых режимных параметров (плотность пульпы, размеры минеральных частиц и т. д.). К входным управляемым переменным относятся, например, подача реагентов, уровни пульпы в флотокамерах.

Многомерными элементами могут быть и другие части систем управления — например, сложные управляющие устройства в виде микроЭВМ, выполняющих роль многоканальных регуляторов.

В приведенных примерах выходными переменными многомер­ ного элемента являются реальные физические величины, которые, как правило, поддаются измерению. Однако, как будет показано ниже, в качестве выходных переменных могут фигурировать неко­ торые абстрактные переменные, например, производные от реаль­ ных выходных переменных, не имеющие конкретного физического

Согласно принципу суперпозиции каждая выходная перемен­ ная элемента может рассматриваться как сумма (рис. 2.15,6):

Пользуясь введенной передаточной матрицей многомерного элемента, его схему можно заменить другой (рис. 2.15, в), которой

совой w (/) или переходной h (t) матрицами. Весовая и передаточная

Если все воздействия приложены к элементу одновременно в мо­ мент t = 0, то аналогично интегралу свертки (2.83) можно записать

или в скалярной форме

т t

Способ описания в переменных состояния. Рассмотрим сущность

способа применительно к задаче описания многомерного объекта управления, учитывая, что при описании объектов управления выходные переменные принято обозначать символом х, а входные (управляющие) — у (рис. 2.15, г). Математическую модель объекта представляют в виде двух уравнений — уравнения состояния и уравнения выхода.

Уравнение состояния линейного объекта отражает его динами­ ческие свойства и записывается в виде векторного дифференциаль­

Векторное уравнение (2.156) эквивалентно системе л скалярных дифференциальных уравнений первого порядка

При описании электрических и механических объектов, обла­ дающих способностью накапливать энергию, в качестве перемен­ ных состояния часто принимают токи через индуктивности, напря­ жения на емкостях, перемещения и скорости движения масс. Как известно, именно эти величины определяют накопленную энергию (магнитную, электрическую, потенциальную, кинетическую) и ха­ рактеризуют, следовательно, инерционные свойства объекта. Для одномерного объекта л-го порядка переменными состояния могут служить выходной сигнал и его производные до (л—1)-й включи­ тельно.

Однако в общем случае переменные состояния могут и не иметь конкретного физического смысла — они будут формальными, аб­ страктными переменными, лишь удовлетворяющими уравнениям состояния.

В некоторых частных случаях переменные состояния оказы­ ваются связанными между собой соотношением

Полная математическая модель линейного многомерного объекта, кроме уравнений состояния, содержит еще так называемое уравне­ ние выхода или уравнение наблюдения, связывающее переменные состояния (промежуточные переменные) и управляющие воздейст­

или в скалярной форме

пт

тов, характеризующие безынерционное влияние переменных со­ стояния и управляющих воздействий на выход объекта.