- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
Вариант |
|
5 |
|
ц |
|
/3 |
Г4 |
91 |
|
б |
6£/[_9 |
24J |
72,16 |
|
в |
- - Г " |
1 |
15 |
6 £ /L 7 |
8J |
|
|
г |
Г4 |
г |
1,667 |
6EJ |_1 |
|
Из сравнения величин меры обусловленности р ясно, что вариант основной системы г) является лучшим, а вариант б) - худшим из трех.
2.6. Вычисление определителя
Как уже говорилось выше, вычислительные затраты на вычисление определителя соизмеримы с затратами на решение системы линейных алгебраических уравнений.
На примере вычисления определителя можно убедиться в экономичности хороших численных методов.
Вспомним формальное определение определителя, как
суммы всевозможных произведений элементов, взятых из разных строк и столбцов. Таких произведений п! И прямое их вычисление уже при небольшом п «30 требует астрономического числа действий > 1030, что вряд ли под силу ЭВМ. А метод исключения Гаусса, например, легко позволяет вычислить определитель сотого и более порядка. В самом деле, в процессе прямого хода, приводя матрицу к треугольному виду и получая эквивалентную матрицу, мы для этой матрицы получим нулевые значения всех произведений элементов, кроме диагональных. То есть величина определителя треугольной матрицы равна произведению всех диагональных элементов:
п |
|
det А = | \ а И |
(2.49) |
/=1
При этом мы производим следующие операции:
1) деление строки матрицы на ведущий элемент (который предполагается отличным от нуля), что уменьшает величину определителя в такое же число раз, следовательно, вычисляя определитель, надо домножить его на это число;
2) умножение строки матрицы на число и сложение ее с другой строкой, что не влияет на величину определителя;
3) знак определителя может измениться, если производилась
перестановка строк.
Таким образом, величина определителя может быть вычислена по формуле
то есть, определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса. Знак ± зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк.
■ Пример 2.8. Для матрицы А вычислить определитель методом Гаусса.
2 |
1 |
4 |
/4=1 |
0 |
3 |
0 - 2 |
6 |
|
|
0,5 |
2 |
1 |
0,5 |
2 |
det /4 = 2• 0 |
-0,5 |
1 |
=2-(-0,5)- 0 |
1 |
-2 =-20,5-2 = -2 . |
0 |
- 2 |
6 |
0 |
0 |
2 |
В практических задачах редко возникает необходимость в явном виде вычислять значение определителя. Однако иногда они оказываются весьма полезны, например, при исследовании
геометрической неизменяемости сооружений. В курсе строительной механики рассматриваются геометрические принципы образования неизменяемых систем, которые удается
применить далеко не для всех конструкций (см. пример 2.9.). В таких случаях следует использовать аналитическое решение, записав определяющую систему уравнений:
-для статически определимых систем -уравненияравновесия,
-для статически неопределимых — канонические уравнения какого-либо метода.
Если Det А —>0, система стремится к мгновенно изменяемой, при Det А=0 система геометрически изменяема. Достаточным условием геометрической неизменяемости системы является выполнение неравенства Det А Ф0.
■ Пример 2.9. Стержневые системы, изображенные на рис.2.2, статически определимы, имеют одинаковое число стержней и узлов. Число связей достаточно, чтобы они были геометрически неизменяемыми (2У-С-Сп,г 2*6-8-4=0). По внешнему виду системы мало отличаются одна от другой. Но первая является геометрически изменяемой а вторая —
неизменяемой системой.
6
Установить это с помощью известных геометрических принципов образования систем вряд ли удастся. В подобных случаях приходится применять аналитическое решение.
Составляя уравнения равновесия узлов в виде проекций сил на оси X и У при нулевой нагрузке в виде
~ Z Jcosajk
2к уравнений < к
5=
I к
оI I
IIО
- проекция на ось2^,
- проекция на ось У,
где суммы содержат столько слагаемых, сколько стержней примыкает к рассматриваемому /-му узлу, получим следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений:
АУУ = 0,
которая в случае Det А ^ 0 должна иметь только нулевое решение, т.е. при нулевой нагрузке все усилия в стержнях фермы должны равняться нулю.
Здесь N - вектор неизвестных усилий в стержнях системы (включая опорные стержни), а элементами матрицы А являются синусы и косинусы углов наклона стержней к оси X (рис.2.2,в).
Вид матрицы А зависит от нумерации узлов и стержней, но если ферма геометрически неизменяема, то определитель отличен от нуля при любой нумерации.
Для вариантов, показанных на рис.2.2, определитель матрицы А имеет вид
COSCtj |
i |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
sina, |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-cosa, |
0 |
cosa2 |
cosa3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-sinai |
0 |
sina2 |
-sina3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-cosa2 |
0 |
0 |
0 |
cosa2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
sina2 |
0 |
0 |
0 |
sina2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-cosa, |
0 |
cosa2 |
cosa3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-sina, |
0 |
sina2 |
-sina3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
cosa, |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
sina, |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
- 1 |
0 |
-cosa3 |
0 |
1 |
0 |
cosa3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
sina3 |
0 |
0 |
0 |
sina3 |
0 |
0 |
0 |
0 |