Ограничения записываем из условия, что вывозится весь произведенный на каждом заводе цемент (первые три) и что каждый ЖБК полностью обеспечивается цементом:

*11 +*12+*13+*14=150,

*21 +*22 +*2Э+*24=130,

*31 +*з2.+*зз+*з4=170,

* п + * 2 1 + * 3 i= 1 5 0 ,

*12+*22+*32=120,

*13+*23.+*33=80,

*14+*24-+*34=50,

*//>0 (/=1,2,3; 7=1,2,3,4).

Решение данной транспортной задачи с использованием приложения Microsoft Excel приведено в подразделе 8.5.

Задача о назначениях (проблема выбора)

Эта задача является частным случаем транспортной задачи

Постановка задачи. В распоряжении имеется п механизмов (бригад) и п различных видов работ. Производительность каждого механизма на различных работах, вообще говоря, различна. Обозначим через Су (/,у=1,2,..,л) производительность /-го механизма нау-й работе. Матрица С=[с,у] называется матрицей эффективностей или производительностей.

Требуется так распределить п механизмов на п работах, чтобы каждый механизм выполнял одну и только одну работу и чтобы при заданной производительности каждого механизма на каждой из работ

суммарный эффект был бы максимальным.

Обозначим через Ху переменную, равную единице, если /-й механизм назначен на j -ю работу, и равен нулю, если он на эту работу не назначен. В качестве целевой функции выбираем суммарную производительность всех механизмов

<8-74>

1= у=1 Ограничения записываем из условия, что каждый механизм

выполняет одну работу и что каждая работа обеспечивается одним механизмом:

8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании

С каждой задачей линейного программирования связана так называемая двойственная задача [2, 20], которая формулируется по определенным правилам.

Теория двойственности полезна при проведении качественных исследований задач ЛП, когда необходимо не только найти оптимальное решение задачи, но и оценить влияние на оптимальное решение изменений в параметрах, представляющих собой исходную информацию задачи.

Обратимся вновь к задаче об оптимальном плане выпуска продукции, математическая модель которой записана в виде (8.64) - (8.66) и предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы предприятия, и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы у и у2,... Ут• Здесь у, - единичная стоимость /-го ресурса (например, стоимость одного станка - для единиц оборудования, одного человеко-дня - для трудовых ресурсов, стоимость 1 кв.м, производственной площади - для зданий и т.п.).

Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты ее на все ресурсы F, имеющиеся в известных количествах bh b2 bm были минимальны, то есть

С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная от продажи ресурсов выручка была не меньше той суммы прибыли, которую предприятие может получить при переработке этих ресурсов в готовую продукцию.

Поскольку удельные расходы каждого вида ресурсов при производстве того или иного вида продукции известны (матрица удельных расходов ресурсов cty), то удовлетворение требований продавца можно записать в виде соответствующей системы ограничений:

•Свободными членами новых ограничений служат коэффициенты ch С2,~сп исходной целевой функции.

Матрицы А коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными по отношению друг к другу.

Свободные члены b]t b2t...,bmограничений служат коэффициентами

новой целевой функции.

Из рассмотренных выше правил построения двойственной задачи вытекает, что основную задачу можно рассматривать как двойственную по отношению к своей двойственной.

■Пример 8.6. Сформулировать задачу, двойственную к следующей:

Z .mx = 2*1 +*2>

х{ + 2 х 2 > 5,

2хх+3*2 ^ 4, 4лг1-3*2 <8.

Поскольку исходная задача на максимум, то приводим ее к виду

Система ограничений (8.80) содержит три неравенства. Каждому из них соответствует неотрицательное неизвестное в двойственной задаче, т.е. уьЗ'г.Л > 0.

Неизвестное х2 в задаче (8.79 - 8.80) произвольны (т.е. не является неотрицательным). Следовательно, в двойственной задаче им соответствуют два ограничения в виде равенств

~У\ +2у2 +4уз=2.

-2yi +3у2-Зуз=1,

причем матрица коэффициентов новых ограничений является матрицей Ат, где А матрица коэффициентов старых ограничений (8.80).

двойственной. Коэффициентами линейной формы F свободные члены в системе ограничений исходной задг образом, получили задачу, двойственную к задаче (8.79 - 8 80)

“ ~AvI+4)j2 +8>*з,

( 8 . 8 J )

~У1 + 2 у 2 + 4 у 3 =2,

(8.82)

~2.У| +3у 2 - З у 3 =1,

у, > 0, / = 1,2,3.

( 8 . 8 3 )

Решение исходной задачи и ей двойственной имеют вид соответственно:

Zmax=l,3333 прих|=0 их2=1,3333, Fmin=l,3333 при yi=l,20, у2=0,60 иу3=0,20.

■ Пример 8.7. Для производства некоторой продукции используются три вида сырья 5„ (/=1,2,3), которое имеется соответственно в количествах Ь\=Ы, Ь2=24,63=31, и применяется три типа технологии 7}, (/=1,2,3).

Расход /-го вида сырья при работе по j -й технологии за единицу времени (например, в час) задается матрицей

Выход продукта за единицу времени при использовании каждой из технологий задается матрицей строкой С=[3, 5, 9]. Найти такой оптимальный план работы, при котором из имеющихся запасов сырья выпускалось бы максимальное количество продукции.

Дать экономическую интерпретацию данной задачи и задачи, двойственной к ней.

Решение. Примем за неизвестные (проектные параметры) х, (/=1,2,3) время работы по /-й технологии. Тогда количество единиц выпускаемой продукции (план выпуска), которое требуется максимизировать, можно записать в виде: Z = 3 X I , + 5 X 2 , + 9 X 3 .

При этом будет израсходовано aixxx+ai2x2+а,ъх2 единиц /-го сырья (/=1,2,3).

Математическая формулировка задачи такова:

( 8 . 8 4 )

Z , „ M = 3 X I , + 5 X 2, - I 9 X }

Таким образом, оптимальное время работы по 1-й технологии составляет 9 часов, по 3-й - 4 часа. А т.к. *2=0, то использовать 2-й тип технологии не следует. Максимальное количество продукции при этом составляет 63 единицы.

В соответствии с правилами, сформулированными выше, составим

Здесь целевая функция описывает стоимость используемого сырья, а ограничения - стоимость выпускаемой из этого сырья продукции при использовании каждого из трех типов технологии соответственно.

т.е. превышают стоимость продукции, равную 5. Эта технология не рентабельна и поэтому не используется, т.е. *2 = 0 .