Для вычисления интеграла с заданной степенью точности е надо использовать метод половинного шага, изложенный выше.
ёЗамечание. Из рис. 5.3, 5.4, 5.5 видно, что вычисления могут
сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг разбивки h либо использовать более точные методы.
Гdx
■Пример 5.4. Вычислить по формуле Симпсона интеграл >7+2J
полагая п=4, шаг И=2.
Решение. По формуле (5.13) имеем
J JC 2 = |
3 |
+4у\ +2^2+4^з +^4). |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в |
подынтегральную |
функцию /(*) = |
значения х0=1, |
|||||
х,=3, х2=5, *з=7, х4=9, получим |
|
|
|
|||||
9Г dx |
2 (1 |
1 |
1 |
. |
1 |
1) |
, |
|
I----- = — —+4—+2—+4 |
—+— |
= 1,3029 , что практически совпадает |
||||||
J х + 2 |
31,3 |
5 |
7 |
9 |
l l j |
' |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
со значением интеграла, вычисленного ранее по формуле Ньютона - Лейбница.
5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
Вычислим определенный интеграл
1 |
|
J = ^x2dx |
(5.14) |
о |
|
методом прямоугольников (входящих) и методом трапеций. |
|
Последовательность действий |
|
На отрезке а- e[a, b] построим разностную сетку |
|
Q,, {х0=а, а , = A ,., +h, i = 1,2 . ,. ,и - 1 , x„=b, |
И =(b-a)/n} |
и создадим таблицу по образцу рис.5.7. |
|
D6 и Е6. В ячейки D7 и Е7 запишем формулы численного интегрирования
D7=D6+C6*$B$3 Е7=Е6+(С6+С7)*$В$3/2
и скопируем их вниз до конца таблицы.
Приближенное значение интеграла (5.14) получено в ячейках D16 и Е16 по методу прямоугольников и трапеций
соответственно.
В данном случае не составляет труда найти точное значение этого интеграла,
1
J= \x 2dx = 0,3333 , 0
исравнить с полученными результатами.
Изменяя значения ячеек В1 (нижний предел интегрирования а), ВЗ (шаг Л), С6 (формула подынтегральной функции f(x)\ можно использовать эту схему для вычисления любого определенного интеграла с необходимой точностью.
■ Например, Уменьшим шаг разбивки, т.е. введем в ячейку ВЗ величину 0,05. Выделим последнюю строку таблицы на рис 5.7 и копируем ее вниз до значения b=1. Мы получим приближенное значение интеграла с шагом Л/2=0,05 (количество разбивок при этом увеличилось вдвое).
Аналогичным образом можно изменять и другие параметры.
ё Замечание! Вычисления могут сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг интегрирования (метод половинного шага), либо использовать более точные методы.