- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
По-видимому, для поперечных сил вообще не следует брать во внимание значения для точек, столь близко расположенных около места приложения сосредоточенной нагрузки.
Таким образом, проверку практической сходимости стоит организовать на примерах, близких к практически интересующему классу задач, но таких, для которых имеются точные решения и известны их неприятные особенности.
7.6. Программные комплексы на основе МКЭ
для расчета строительных объектов
В настоящее время имеется много апробированных программных комплексов (ПК), в которых реализован МКЭ. Благодаря этому стали возможными постановки проблем, которые до сих пор с трудом поддавались расчету или вовсе были недоступны для расчета. МКЭ в методическом плане в наибольшей степени соответствует образу мышления и труду инженера, но при этом предъявляет повышенные требования к его способностям к физико-математическому моделированию постановок технических проблем.
Обычная процедура выполнения расчета с использованием программного конечно-элементного комплекса состоит в создании расчетной модели, задании нагрузок, получении решения и интерпретации результатов.
Все программные комплексы можно подразделить на
специализированные и универсальные.
7.6.1. Специализированные программные комплексы
Специализированные программные комплексы предназначены для анализа вполне определенного класса конструкций или процессов при приложении определенного вида нагрузок или воздействий. Для специализированных ПК характерны: а) высокая эффективность решения задач рассматриваемого класса; б) простая логическая структура; г) относительно невысокие затраты на разработку и стоимость.
Примерами таких специализированных программ для расчета строительных систем и несущих конструкций, в которых реализован МКЭ, на сегодняшний день являются ПК "ЛИРАWindows" (НИИАСС, г.Киев), "SCAD", "Мономах" "Micro Fe", "ProFEt-Stark ES", и множество других узкоспециализированных программ. Рассмотрим некоторые из них.
■ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС "ЛИРА-Windows" [47]
ПК "ЛИРА-Windows" является современным поколением ЛИРОподобных программ, традиционно используемых в строительных проектных организациях для расчета строительных сооружений, в котором реализован метод конечных элементов (МКЭ).
ПК "ЛИРА-Windows" обеспечивает исследование широкого класса конструкций: пространственные стержневые системы, произвольные пластинчатые и оболочечные системы, мембраны, массивные тела, комбинированные системы - рамно-связевые конструкции высотных зданий, плиты на грунтовом основании, ребристые пластинчатые системы, многослойные конструкции.
Расчет выполняется на статически и динамические нагрузки. Статические нагрузки моделируют силовые воздействия от сосредоточенных или распределенных сил или моментов, температурного нагрева и перемещений отдельных областей конструкции. Динамические нагрузки моделируют воздействия от землетрясения, пульсирующего потока ветра, вибрационные воздействия от технологического оборудования, ударные воздействия.
Исследуемые объекты могут иметь произвольные криволинейные очертания, локальные ослабления в виде различной формы отверстий и полостей, различные условия опирания.
Основными этапами решения задач по МКЭ являются: синтез дискретной расчетной схемы на основе расчленения исследуемой системы на конечные элементы; построение матриц жесткости; формирование системы канонических уравнений, отражающих кинематическую совместность расчетной системы; решение системы уравнений и вычисление значений узловых перемещений; определение компонентов напряженно-деформированного состояния исследуемой системы по
найденным значениям узловых перемещений.
В "ЛИРА-Windows" автоматизированы все этапы решения задач по МКЭ, в том числе и процесс генерации расчетной сетки.
При синтезе расчетных схем в распоряжении пользователя имеются многочисленные приемы фрагментации, использование регулярных сеток, размножения, задания табличной информации, умолчание, масштабирование и многое другое. При анализе результатов расчета пользователь может прибегать к цифровой информации, а для общего представления использовать изополя и изолинии параметров напряженно деформационного состояния. Графическая среда пользователя функционирует при работе как с основной системой, так и с суперэлементами.
В ПК "ЛИРА-Windows" включено большое количество типов конечных элементов: стержни, четырехугольные и треугольные элементы мембраны, плиты, оболочки (изотропный и ортотропный материал, многослойные конструкции), четырехугольные и треугольные элементы плиты на упругом основании; разнообразные пространственные элементы; одномерный и двухмерный (треугольный и четырехугольный ) осесимметричные элементы; специальные элементы, моделирующие связь конечной жесткости, упругую податливость между узлами; элементы, задаваемые численной матрицей жесткости.
Развитая библиотека конечных элементов, современные быстродействующие алгоритмы решения систем уравнений и определения собственных чисел практически не накладывают ограничения на тип и свойства рассчитываемого объекта и дают возможность решать задачи с большим количеством неизвестных.
ПК имеет конструирующие системы для железобетонных и стальных конструкций и систему документирования, позволяющую оформлять результаты расчета в требуемом виде.
ПК "ЛИРA-Windows" рекомендуется применять при расчетах
различных инженерных объектов: |
|
|
|
|
|
строительства - |
покрытия |
и |
перекрытия больших |
пролетов, |
|
конструкции высотных |
зданий, |
подпорные стены, фундаментные |
|||
массивы, каркасные конструкции |
промышленных |
цехов, |
отдельные |
||
элементы (колонны, ригели, фермы, панели); |
|
|
|||
мостостроения - |
коробчатые |
конструкции |
больших |
пролетов, |
пилоны и вантовые системы висячих мостов, мостовые опоры, тоннели; специальных сооруэ/сений - конструкции высотных башен и мачт,
телескопов, магистральных трубопроводов, котлов, корпусов и отдельных фрагментов судов, летательных аппаратов, тяжелые конструкции атомной энергетики, гидротехнических сооружений.
В программном комплексе "ЛИРА-Windows" реализованы строительные нормы и правила, действующие на данный момент.
По функциональному принципу в ПК "ЛИРА-Windows" выделяются следующие основные части :
ЛИР-ВИЗОР - графическая среда пользователя;
ВХОДНОЙ ЯЗЫК - задание исходных данных в текстовом режиме;
ЛИР-ЛИН - линейный процессор; ЛИР-СГЕП - нелинейный процессор;
ЛИР-АРМ - постпроцессор конструктора железобетонных конструкций;
ЛИР-СТК— постпроцессор конструктора стальных конструкций;
ЛИТЕРА - определение эквивалентных напряжений по различным теориям прочности;
УСТОЙЧИВОСТЬ - определение коэффициентов устойчивости сооружения;
ФУНДАМЕНТ—сбор нагрузок на обрезы фундаментов; СЕЧЕНИЕ - определение геометрических характеристик для сечений различного профиля.
■ ПРОЕКТНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС Structure CAD для Windows (SCAD), представляющий собой дальнейшее развитие программы ЛИРА, реализован как интегрированная система прочностного анализа и проектирования строительных конструкций на основе метода конечных элементов и позволяет определять напряженнодеформированное состояние конструкций от статических и динамических воздействий, а также выполнять ряд функций проектирования элементов конструкций.
В основу комплекса положена система функциональных модулей, связанных между собой единой информационной средой.
Функциональные модули SCAD делятся на четыре группы: в первую группу входят модули, обеспечивающие ввод исходных данных в интерактивном графическом режиме (графический препроцессор) и графический анализ результатов расчета (графический постпроцессор).
Модули второй группы служат для выполнения статического и динамического расчетов (процессор), а также вычисления расчетных сочетаний усилий, комбинаций загружений, главных и эквивалентных напряжений, реакций, нагрузок на фрагмент схемы, анализ устойчивости (эти модули условно называются расчетными постпроцессорами).
Документирование результатов расчета выполняется модулями третьей группы.
В четвертую группу включаются проектирующие модули (проектирующие постпроцессоры), которые служат для подбора арматуры в элементах железобетонных конструкций, а также проверки сопротивления и подбора сечений элементов стальных конструкций.
Модульная структура дает возможность сформировать для каждого пользователя такую конфигурацию SCAD, которая максимально отвечает его потребностям по классу решаемых задач, средствам создания расчетных схем, анализу и документированию результатов расчета.
Высокопроизводительный процессор позволяет решать задачи статики и динамики с большим количеством степеней свободы (до 392000).
Библиотека конечных элементов содержит различные виды стержневых элементов, включая шарнирно-стержневые, рамные, балочного ростверка на упругом основании, позволяет учитывать сдвиг в сечении стержня. Пластинчатые элементы, которые представлены трех- и четырехузловыми элементами плит, оболочек и балок-стенок, могут содержать дополнительные узлы на ребрах и обеспечивают решение задач для материалов с различными свойствами (с учетом ортотропии, изотропии и анизотропии). Кроме того, библиотека включает различные виды объемных элементов, а также специальные элементы для моделирования связей конечной жесткости, упругих связей и другие.
Для формирования геометрии расчетных схем в комплексе предусмотрена широкая гамма средств, таких как функции создания схем по параметрическим прототипам конструкций, генерации сеток элементов на плоскости и в пространстве, копирование фрагментов схем, сборки из подсхем и групп, различные функции геометрических преобразований. В режиме графического диалога задаются все основные параметры схем, включая жесткостные характеристики элементов, условия опирания и примыкания, статические и динамические нагрузки и др. Графический интерфейс максимально приближен именно к технологии создания и модификации расчетных схем и учитывает особенности обработки информации этого вида.
В комплекс включены параметрические прототипы многоэтажных и одноэтажных рам, ферм с различным очертанием поясов и решеток, балочные ростверки, а также поверхности вращения (цилиндр, конус, сфера и тор). В процессе их формирования могут быть автоматически назначены условия опирания, типы и жесткости конечных элементов. Библиотека параметрических прототипов постоянно расширяется и совершенствуется.