2.8.2. Методы развертывания вековых определителей

Определение частот свободных колебаний сводится к решению системы однородных уравнений, которая в матричной форме имеет вид

( А - Л Е ) у = 0 .

Характеристическое уравнение для данной системы запишется:

Раскрывая определитель, подставляя найденные значения перемещений и учитывая, что mi=m3=m и т2=2т, будем иметь кубическое уравнение

Решая данное кубическое уравнение, найдем три корня:

Теперь найдем частоты собственных колебаний:

"3 = 1/лД7 = 0,5887(^ /)/от

Таким образом, наименьшей частоте колебаний соответствует наибольшее значение А,.

Непосредственное вычисление коэффициентов характеристического полинома (2.59) эквивалентно вычислению определителей различных порядков. Задача эта, вообще говоря, технически трудно осуществима для больших значений п. Поэтому созданы специальные методы развертывания вековых определителей (методы А.Н.Крылова, А.М.Данилевского, Леверрье и др.[12]). Но в большинстве практических задач бывает достаточно определить только одну наименьшую частоту, поэтому при решении характеристического уравнения ставится задача найти только одно характеристическое число А,тах.

2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения

матрицы

С помощью итерационных методов можно определить максимальное по модулю собственное число матрицы А без раскрытия характеристического определителя. Существуют разные варианты итерационного процесса [12] для нахождения наибольшего по модулю собственного значения Я/ матрицы А. Все они с разной скоростью позволяют получить решение требуемой точности. Рассмотрим один из таких методов.

Пусть det(A-AE) = 0 - характеристическое уравнение. Я/,

Л 2 Я,,, - его корни, являющиеся собственными значениями матрицы А.

Предположим, что |Я,| > |Я2| > |Я3| >...> \Ли\,

где Я| - наибольшее по модулю собственное число.

Тогда для нахождения приближенного значения корня используется следующая схема:

1) выбирают произвольно начальный вектор X,

2) составляют последовательные итерации:

j f iy=AX,

^ 2) =а а х =а 2х ,

)6Ъ)=а а 2х =а ъх ,

Х{'") =АА!"лХ=АтХ, Я<"'+|) =АА'"Х=А т+]Х,

3) выбирают из последовательности два последних значения

Таким образом, взяв достаточно большой номер итерации т, можно с любой степенью точности вычислить наибольший по модулю корень Л\ характеристического уравнения матрицы. Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора Х"'\ в частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

Скорость сходимости этого процесса зависит от выбора начального вектора X. При неудачном выборе формула (2.62) может не дать нужного корня или даже вообще не иметь смысла,

Последнее легко заметить по «прыгающим» значениям этого отношения. В таких случаях следует изменить начальный вектор.

В качестве первого собственного значения можно взять А("'+,). В задачах на собственные колебания вектор X выбирается исходя из предположения о моде колебаний, в основе которою

лежат предположения о физическом явлении или знание результатов модельных испытаний.

■Пример 2.12. Найти минимальную частоту собственных колебаний системы с тремя степенями свободы, рассмотренной в примере 2.11.

Определение частот свободных колебаний сводится к решению системы однородных уравнений, которую в матричной форме можно записать:

Применим метод последовательных приближений, описанный выше.

Введем обозначение р - ^ - Л лтогда с учетом того, что /wy=/wj=w

т

и т2=2т, вместо (2.63) получим