605

Согласно эмпирическому правилу описательной статистики примерно 68 % ошибок прогнозов должны попадать в пределы одной стандартной ошибки регрессии (СОР) от линии наименьших квадратов и около 95 % ошибок прогнозов должны находиться в пределах 2*СОР от линии наименьших квадратов.

В нашем примере абсолютное значение примерно 68 % ошибок должно быть меньше или равно $13772, а абсолютное значение примерно 95 % ошибок должно быть меньше или равно $27544, или 2*13772. Анализируя значения ошибок в столбце E табл. 5.3, б, видим, что 9 из 14, или 64 %, ошибок прогнозов находятся в пределах одной СОР от линии наименьших квадратов и что все 100 % ошибок прогнозов находятся в пределах 2*СОР от линии наименьших квадратов.

На основании оценки параметров линейного тренда можно сделать вывод о том, что полученная модель удовлетворительно описывает эмпирические данные и может быть использована в прогнозировании текущих расходов завода, связанных с выпуском холодильников.

Любое значение ошибки прогноза, располагающееся на расстоянии более 2*СОР от линии наименьших квадратов, называется резко отклоняющимся значением. Выявление источников таких отклоняющихся значений помогает улучшить эффективность бизнеса. Например, в какой-то месяц фактические текущие расходы оказались на $30000 больше, чем ожидалось. Если нам удастся установить причину этого и предотвратить ее появление, мы наверняка повысим эффективность работы завода.

Аналогично анализируем месяц, где фактические издержки оказались на $30000 меньше, чем ожидалось. Если мы сможем установить причину этого отклонения и обеспечить ее более частое проявление, то также повысим эффективность работы завода.

Какие функции MS Excel можно использовать при оценке прямолинейной зависимости, чтобы определить крутизну и точку пересечения с осью y линии, обеспечивающей

наиболее точную аппроксимацию данных?

Это функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК, которые находятся в категории Статистические, возвращают в точку вызова наклон (крутизну) и точку пересечения линии наименьших квадратов с осью y .

Имеют соответственно синтаксис:

Введя в клетку G2 табл. 5.3, а формулу = НАКЛОН(C2:C15;B2:B15), получим наклон (64,2687) линии наименьших квадратов (см. табл. 5.3, б).

Аналогично, записав в клетку G3 табл. 5.3, а формулу = ОТРЕЗОК(C2:C15;B2:B15), по-

линии наименьших квадратов значение R2 равно 0,688202841 (см. табл. 5.3, б).

Рассмотрим теперь случай, когда результативный показатель Y (количественный) зависит от нескольких (независимых между собой) количественных признаков-факторов X = (X1, X2 ,..., Xn ) и есть предположение, что эта зависимость линейная. В этом случае мате-

построения используются инструменты линейного многофакторного регрессионного анализа (множественная регрессия). Вид и параметры уравнения регрессии устанавливаются с помощью метода наименьших квадратов отклонений эмпирических данных от ожидаемых значений.

91

MS Excel ограничены 15-ю независимыми переменными [13], кроме того, они должны находиться в смежных столбцах;

•поскольку входной интервал Y и входной интервал X включают заголовки столбцов, то следует включить флажок Метки;

•флажок Уровень надежности полученных результатов [6] можно не включать (по умолчанию этот уровень задается равным 95 % в соответствующем текстовом поле справа от флажка);

•полученные результаты выведем на новый лист с именем Регрессия, поэтому надо включить переключатель Новый рабочий лист и задать в соответствующем текстовом поле справа от переключателя имя этого листа; лист с именем Регрессия добавится в книгу автоматически;

•включив флажок Остатки, мы просим вывести для каждого месяца спрогнозированное по полученной модели значение текущих расходов и остаток, равный разности между фактическими и спрогнозированными значениями текущих расходов завода.

3. Результаты анализа данных выводятся на лист Регрессия в виде четырех таблиц: Регрессионная статистика, Дисперсионный анализ, Параметры уравнения регрессии, Вывод остатков (рис. 5.5, 5.6).

Какое уравнение для прогноза наилучшее?

Из таблицы Параметры уравнения регрессии (см. рис. 5.5, столбец Коэффициенты) видим, что лучшее уравнение имеет вид:

Текущие _ расходы = 34440,97 +1,82* Холод _ А + 5,09* Холод _ B + 4,83* Холод _ C . (5.7)

Рис. 5.4. Диалоговое окно с заголовком «Регрессия»

В таблице Регрессионная статистика (см. рис. 5.5) выведен показатель Множественный R, вычисляемый по формуле R2 , он равен 0,83. Если Множественный R ≥ 0,7 , то связь между зависимой переменной Y и независимыми переменными X1, X2 , X3 считается сильной.

Далее необходимо проверить значимость полученного уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, фактическим (экспериментальным) данным и достаточно ли включенных в уравнение независимых переменных ( X1, X2 , X3 ) для описания зависимой переменной Y . Проверка значимости

уравнения производится по данным таблицы Дисперсионный анализ (см. рис. 5.5). Уравнение регрессии значимо для прогнозирования, если выражение (1-Значимость F) близко к 1. Из таблицы Дисперсионный анализ (столбец Значимость F) видим, что выражение (1-0,000603959) равно 0,999396041 и близко к 1. Следовательно, полученное модельное уравнение регрессии значимо для прогнозирования.

93

94

Рис. 5.5. Итоговые результаты расчетов в форме таблиц: Регрессионная статистика, Дисперсионный анализ, Параметры уравнения регрессии

Рис. 5.6. Прогнозные значения текущих расходов и остатки

Посмотрим теперь, какие из независимых переменных (Холод_А, Холод_B, Холод_C) полезны для прогнозирования ежемесячных текущих расходов? Любая независимая переменная, P-Значение которой (см. рис. 5.5, таблица Параметры уравнения регрессии, столбец P-Значение) меньше или равно 0,05 (при заданном уровне надежности 95 % уровень значимости α =1− 0,95 = 0,05) , считается полезной для прогнозирования зависимой переменной. Таким образом, чем меньше P-Значение, тем выше влияние на прогноз зависимой переменной. Наши P-Значения трех независимых переменных — 0,2729 (Холод_A), 0,0097 (Холод_B), 0,0133 (Холод_C) можно интерпретировать следующим образом:

•если при прогнозировании ежемесячных текущих расходов мы используем переменные Холод_B и Холод_C, то существует 73–процентная (1-0,27) вероятность того, что переменная Холод_A улучшит прогноз;

•если при прогнозировании ежемесячных текущих расходов мы используем переменные Холод_A и Холод_C, то существует вероятность 99,1 % (1-0,009), что переменная Холод_B улучшит прогноз;

•если при прогнозировании ежемесячных текущих расходов мы используем переменные Холод_A и Холод_B, то существует вероятность 98,7 % (1-0,013) того, что переменная Холод_C улучшит прогноз.

Наши P-Значения указывают, что переменная Холод_A не добавляет заметной прогнозной способности переменным Холод_B и Холод_C. Другими словами, если мы знаем значения переменных Холод_B и Холод_C, то можем спрогнозировать ежемесячные текущие расходы практически с такой же точностью, как если бы мы дополнительно использовали Холод_A в качестве независимой переменной. Следовательно, мы можем не применять Холод_A в качестве независимой переменной и в прогнозе использовать только независимые переменные Холод_B и Холод_C.

Учитывая результаты проведенного выше анализа, удалим из фактических данных (см. табл. 5.4) столбец C и пересчитаем регрессию. Результаты сделанных изменений приведены в таблицах Регрессионная статистика пересчитанной регрессии, Дисперсионный анализ пересчитанной регрессии, Параметры уравнения пересчитанной регрессии, Остатки пересчитанной регрессии (рис. 5.7, 5.8).

Окончательный вид полученного модельного уравнения регрессии:

Из таблицы Регрессионная статистика пересчитанной регрессии видно, что значение R2 = 0,67. Это означает, что независимые переменные Холод_B и Холод_С совместно объясняют 67 % изменений в ежемесячных текущих расходах. Заметим, что в первоначальной регрессии, включавшей независимую переменную Холод_A, значение R2 равнялось 0,69. Это говорит о том, что добавление Холод_A в качестве независимой переменной позволит дополнительно объяснить только 2 % изменений в ежемесячных текущих расходах. Эта незначительная разница подтверждает исключение переменной Холод_A из числа независимых.

В таблице Вывод остатков пересчитанной регрессии (см. рис. 5.8) для каждого месяца мы имеем спрогнозированные текущие расходы, а также остаток, равный разнице между фактическими и прогнозируемыми расходами. Например, для первого месяца прогнозируемые расходы равны 43038,89, а фактические расходы — 44439; остаток 1400,10 указывает, что наш прогноз меньше фактических расходов на 1400,10.

Рис. 5.8. Прогнозные значения текущих расходов и остатки пересчитанной регрессии

С целью закрепления практических навыков использования инструментов регрессионного анализа MS Excel в моделировании зависимостей между экономическими показателями выполните контрольные задания и представьте работу к защите преподавателю.

Контрольные задания

1. Парная регрессия.

В табл. 5.5 приведены фактические данные о сменной добыче угля (Y, т) на одного рабочего и мощности угольного пласта (X, м) по 10 шахтам [6].

Проверьте логическое предположение о наличии линейной зависимости между показателями X и Y. Постройте математическую модель зависимости, оцените ее качество и возможность использования для прогноза. Найдите прогнозное значение Y для X = 10 м.

97

щие доходы от продаж, а годы уберем (табл. 5.8). Далее выделим в этой таблице диапазон A1:B18, вызовем Мастера диаграмм, на вкладке Стандартная выберем тип диаграммы Точечная, Вид 2, подпишем название диаграммы, на вкладке Легенда включим флажок Добавить легенду, сохраним диаграмму (рис. 5.9) и присвоим листу имя Тенденция. На рис. 5.9 наблюдается тенденция к росту квартальных доходов универмага от продажи игрушек, однако из-за продаж четвертого квартала доходы первых трех кварталов кажутся не столь значительными, и это затрудняет выявление тенденции.

Параметры включим переключатель Другое:, в соответствующее текстовое поле введем Скользящее среднее за 4 квартала и нажмем кнопку ОК. В результате Excel построит кривую тренда на основе значений скользящего среднего за четыре квартала (рис. 5.10).

Рис. 5.9. Квартальные доходы универмага от продажи игрушек, представленные методом диаграмм

Для каждого квартала Excel отображает среднее значение за текущий и три последних квартала. Конечно, для скользящего среднего за четыре квартала наша кривая среднего начина-

99