611

Для сохранения гистограммы необходимо выполнить после-

довательность команд: Расчет Сохранить в файл Плотность распределения вероятности.

В прил. Б приводится листинг работы программы «Sample»и графическое представление результатов.

2.МНОГОФАКТОРНЫЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИНАОСНОВЕБАЗ

ДАННЫХНАБЛЮДЕНИЙ(ИСПЫТАНИЙ)

Строительствозданийисооруженийпредставляетсобойсложную стохастическуюсистему, в которой происходят разнообразные и многочисленные организационно-технологические сбои. Причинами сбоев является множество факторов, дестабилизирующихпроизводство.Установлениезависимостивлияниякако- го-либо фактора на результаты определенного строительного процесса возможно путем построения математических моделей на основе баз данных наблюдения (испытаний) производственныхпроцессов.

2.1.Шаговый регрессионныйметод. Программа«Мodell»

Для создания многофакторных математических моделей используется шаговый регрессионный метод [5]. Осуществление этого метода начинается с построения простой корреляционной матрицы и включения в регрессионное уравнение переменной, наиболеекоррелируемойсоткликом.Длявключениявуравнение выбирается переменная с наибольшей величиной квадрата частногокоэффициента корреляциии т.д.

Дляпроверки введенных на первомшагепеременных сцелью выяснения их взаимосвязи с другими переменными на каждом шаге вычисляется частный F-критерий (критерий Фишера) для каждой переменной уравнения и сравнивается с заранееизбраннойпроцентной точкойсоответствующегоF-распределения.Это позволяет оценить вклад переменной в предположение, что она введена в модель последней, независимо от момента ее фактического введения. Переменная, чей вклад незначителен, исключается из модели. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут рассмотрены все переменные.

21

Общий F-критерий служит для определения статистической значимости модели, рассматриваемой на каждом этапе, и рассчитывается следующим образом:

F = Среднийквадрат,обусловленныйрегрессией.

Среднийквадрат,обусловленныйостатком

Длясравнениявлиянияиустановленияотносительнойважностикаждогоизфакторовиспользуетсянормированиекоэффициентов регрессии:

где bi – коэффициент уравнения регрессии посленормирования; ai – коэффициент уравнения регрессии до нормирования; Sxi – средняя квадратичная ошибка переменной Хi; Syi – средняя квадратичная ошибка отклика Yi.

Нормированиекоэффициентоврегрессиивозможнолишьпри случайных переменных Хi.

Далее для полученной модели строится вектор ошибок и проверяется соответствие его закону нормального распределения, что является необходимым условием для использования критериев t и Fпри получении доверительных интервалов.

Проверка соответствия вектора ошибок закону нормального распределения осуществляется с помощью критерия согласия Пирсона – 2. Для этого строится эмпирическое распределение вектора ошибок, определяется значение 2, и в соответствии с выбранным уровнем надежности критерия (чаще всего выбирается = 0,05 [95 %] или = 0,01 [99 %]) по таблицам, приведенным в работах [3–5], определяется теоретическое значение

2 .

Если 2 = 2 , тонет основанияотвергатьгипотезуонормальности распределения вектора ошибок.

Для проверки неадекватности модели используют средний квадрат ошибки S2 как оценку величины 2, предполагая, что модель правильна. Если эти величины отличаются на порядок и более, делается вывод о неадекватности модели.

22

Проверказначимостиуравнениярегрессии(длянулевойгипотезы Н0: в1 = в2 =... = 0) производится с помощью отношения средних квадратов SS(R / в0)/(р – 1), которое рассматривается как распределенная случайная величина F (р – 1,v ), где SS(R / в0) – сумма квадратов с учетом поправки на оценку коэффициента модели в0; р – число степеней свободы регрессии; v – число степеней свободы вектора ошибок, равное n – р; n – количество вариантов, для которых строится модель.

Для«статистическизначимого»уравнениярегрессии дисперсионное отношение должно превосходить теоретическое значение F (р – 1, v, 1 – ) с заданным уровнем значимости .

Число наблюдений равно числу расчетов в соответствующей задаче. Уровень риска для доверительного интервала обозначает вероятность совершения ошибки первого рода и используется для расчета доверительных интервалов уровня 1 – коэффициентоврегрессии. Доляобъясненнойвариации,%, –это квадрат коэффициента множественной корреляции R2. Средний отклик означает среднее арифметическое всех наблюдаемых значений отклика (переменной Y ). Стандартная ошибка, %, от среднегооткликарассчитываетсякакотношениевеличиныстандартного отклонения остатков к среднему отклику.

Построение многофакторных математических моделей производится с помощью программы «Modell».

Программа «Modell» написана на алгоритмическом языке Delphi для ПЭВМ РС/AТ. Программное обеспечение предусматривает проверку принадлежности наборов показателей отдельного опыта данной выборке с целью поиска и исключения выбросов.

Исходныеданныепрограммы«Modell»приведенывтабл. 2.1. Факторы выборки приведены в табл. 2.2.

Приведем пример построения математической модели (регрессионного уравнения) в программе «Modell» на основе исходных данных, представленных в табл. 2.3.

23

Таблица 2.1

Исходные данные

24

Листинг работы программы «Modell» приведен в прил. В.

2.2.Построениедоверительныхинтервалов. Программа «Diagramm»

Часто при построении многофакторных математических моделей требуется оценить и отобразить графически доверительный интервал, которому с заданной вероятностью принадлежит найденное решение. Рассмотрим эту проблему на примере простейшей задачи.

Пусть у нас имеется большое количество предметов с нормальным распределением некоторых характеристик (например, полный склад однотипных овощей, размер и вес которых варьируется). Мы желаем знать средние характеристики всей партии товара, но у нас нет ни времени, ни желания измерять и взвешивать каждый овощ. Как определить характеристики партии овощей выборочной проверкой?

Если бы мы измерили весь склад овощей (это множество элементовпринятоназыватьгенеральнойсовокупностью),томы узнали бы со всей доступной нам точностью среднее значение веса всей партии. Назовем это среднее значение Хср.ген генеральным средним. Нормальное распределение определяется полностью, если известно его среднее значение и отклонение . Пока

25

мынезнаемниХср.ген,ни генеральнойсовокупности, мыможем взять некоторую выборку, замерить нужные нам значения и посчитать для этой выборки среднее значение Хср.выб и среднее квадратическое отклонение Sвыб.

Известно, что если наша выборочная проверка содержит большое количество элементов (обычно n > 30) и они взяты действительнослучайнымобразом, то sгенеральной совокупности почти не будет отличаться от Sвыб.

Кроме того, в случае нормального распределения мы можем пользоваться следующими формулами:

а) с вероятностью 95 %

Связь значения t созначением вероятности Р(t), с которой мы желаемзнатьдоверительный интервал,можновзятьизтабл. 2.4.

Таблица 2.4

Зависимость значения t от вероятности Р(t)

Такимобразом, мыопределили, вкакомдиапазоненаходится среднее значение для генеральной совокупности (с заданной вероятностью).

Если у нас нет достаточно большой выборки, томы не можем утверждать, что генеральная совокупность имеет = Sвыб. Кроме того, проблематична и близость выборки к нормальному распределению. В этом случае вместо в формулу подставляют

Sвыб:

26

нозначениеtдляфиксированнойвероятностиР(t)будетзависеть от количества элементов в выборке n. Чем больше n, тем полученный доверительный интервал будет ближе к значению, полученномуспомощьюформулы(2.5).Значенияtвэтомслучае берутся из табл. 2.5.

Таблица 2.5

Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99

Рассмотрим другой пример.

Из работников фирмы случайным образом отобрано 30 человек. По результатам выборки оказалось, что средняя ежемесячная зарплата составляет 10 тыс. р. при среднем квадратическом отклонении 3 тыс. р. Определить среднюю зарплату в фирме с вероятностью 0,99.

Решение. По условию имеем n = 30, Хср= 10000, S = 3000,

Р = 0,99. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой (2.6), соответствующей критерию Стьюдента. Потабл.2.5дляn=30иР=0,99находимt=2,756,следовательно:

т.е. искомый доверительный интервал 8491 < Хср.ген < 11509. Итак, с вероятностью 0,99 можно утверждать, что интервал

(8491; 11509) содержит внутри себя среднюю зарплату в фирме.

27

Программное обеспечение «Diagramm» предназначено для построения графиков и доверительных интервалов уравнения регрессии. Втабл.2.6–2.9приведеныисходныеданныепрограм- мы.

28

Пример построения графика регрессионного уравнения и доверительных интервалов в программе «Diagramm» на основе данных табл. 2.3 (см. п. 2.1) содержится в прил. Г.

3.ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1.Формулировка задачи

Общей задачей линейного программирования (ОЗЛП) называется задача, состоящая в определении экстремального (максимальногоилиминимального)значениялинейнойфункции[6,7]

гдеaij,ci, bi –фиксированныедействительныечисла; –один иззнаковотношения: , ,=.Другимисловами,вОЗЛПнаходится оптимальное значение линейной функции (3.1) на множестве решений системы равенств и неравенств (3.2) при условии неотрицательности (3.3) некоторых переменных. Заметим, что требование неотрицательности может быть наложено на все переменные (L = {1, 2, …, n}) или вообще отсутствовать (L = 0).

ФункцияF(X)называетсялинейнойформой илицелевойфункцией задачи (3.1) – (3.3), а условия (3.2) и (3.3) – ее ограничениями.

Совокупность чисел X =( x1, x2,..., xn), удовлетворяющая ограничениям (3.2) и (3.3), называется допустимым решением или планом задачи.

План X (x1*,x2*,...,xn*), при котором целевая функция принимает минимальное или максимальное значение, называется оптимальным.

Оптимальное решение задачи находится симплекс-методом, который реализован в программе «Simply».

29

Исходные данные программного обеспечения для решения ОЗЛП симплекс-методом приведены в табл. 3.1–3.5.

Таблица 3.1

Исходные данные

30