611

3.2.Примеры формулировок экономических задач и их решения

спомощью программ «Simply»,«Simplint» и «Rasm»

Рассмотрим несколько примеров формулировок экономических задач и их решения с использованием программ «Simply», «Simplint» и «Rasm». Задачи взяты из гл. 8, содержащей варианты задач для самостоятельного решения.

Задача 4. Магистральные дороги области строятся двух типов:сасфальтобетоннымибетоннымверхнимпокрытием. Известны: наличие ресурсов и нормы расходования их на строительство 1 км дорог разного типа, а также прибыль дорожно-строи- тельной организации от реализации 1 км дорог с различным покрытием (табл. 3.6). Требуется определить, сколько километровдорог различноготипа можнопостроитьпри условии максимальногоиспользованияналичныхресурсовиполучениядорож- но-строительнойорганизациеймаксимальнойприбыли.

Исходные данные задачи 4 приведены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Исходные данные для решения задачи 4

Для решения задачи введем условные обозначения:

X1 –протяженностьстроящихся асфальтобетонныхдорог, км; X2 – протяженность строящихся бетонных дорог, км. Ограничения решения задачи по материальным ресурсам

записываются в виде следующих неравенств:

31

при этом следует учитывать, что по смыслу задачи значения X1

иX2 не могут быть отрицательными (X1 0 и X2 0). Целевая функция оформляется в следующем виде:

F(X) = 5X1 + 7X2 max.

Решение данной задачи с помощью программы «Simply» приводится в прил. Д.

Задача 5. Требуется построить жилые дома для работников предприятия. Известна потребность в квартирах двух типов: однокомнатных – 400, двухкомнатных – 1000. Архитекторы и строители представили к застройке четыре варианта домов, которые вмещают известное количество квартир обоих типов. Определена стоимость строительства каждого дома. Необходимо решить вопрос о том, какое количество домов того или иного варианта требуется построить, чтобы обеспечить потребность предприятия в квартирах, исходя из минимума затрат на строительство. Учесть, что количество домов должно быть целым числом.

Исходные данные задачи 5 приведены в табл. 3.7.

Формируем математическую модель. Принимаем за неизвестныеxi –количестводомовварианта i(i=1, 2,3, 4),тогда задача ЛП будет иметь следующий вид.

Целевая функция выглядит так:

F(X) 96x1 +120x2 + 20x3 +18x4 min.

Ограничения:

30x1 + 40x2 +10x3 +0x4 400;

50x1 +30x2 +0x3 +10x4 1000; x1 x2 x3 x4 xi — целые числа.

32

Результатырешениязадачиспомощьюпрограммы«Simplint» приведены в прил. Е.

Однойизважнейшихорганизационныхиэкономическихзадач в строительстве является задача оптимального распределения машин по производственным объектам. Рассмотрим математическую модель этой задачи, предложенной в работе [8].

Критерием оптимальности в математической модели является минимум энергозатрат:

где Эсум – суммарные энергозатраты на производство работ, кВтЧ-год/ед.изм. (ед.изм. – единица измерения объема работ); Xij –продолжительность работы i-й машины на j-м объекте, ч; m –количествомашин; n –количествопроизводственных объектов; Эудij – удельная энергоемкость работы i-й машины на j-м производственном объекте, кВт-ч/ед.изм., равная:

где Nдвi – мощность двигателя i-й машины, кВт; Пэij – часовая эксплуатационнаяпроизводительность i-ймашинынаj-мобъек- те, ед.изм./ч.

Следуетотметить,чтоэксплуатационнаяпроизводительность машины одной марки на различных объектах будет различной, поскольку условия работы на разных объектах неодинаковы. Эксплуатационную производительность для каждого объекта можно определить с помощью коэффициента местных условий, который характеризует специфические условия на производственных объектах:

где Птi – техническая производительность i-й машины, ед.изм./ч; Kуслj – коэффициент, учитывающий местные условия на j-м объекте (коэффициент местных условий может принимать значения от 0 до 1).

Среди условий оптимизации распределения техники необходимо выделить следующие:

33

1) полное выполнение объемов работ на объектах ресурсами имеющегося парка машин:

где Vj – планируемый объем работ на j-м производственном объекте, ед. изм.;

2)своевременное выполнение объемов работ в соответствии

симеющимся фондом рабочего времени машин:

где Фi – фонд рабочего времени i-й машины в планируемом периоде, ч;

3) продолжительность работы машины при расчетах не должнаприниматьотрицательныхзначений:

Xij (3.8)

Учитывая отмеченные ограничения, экономико-математи- ческаямодель оптимизации распределенияпарка машин попроизводственным объектам будет иметь следующий вид:

i m j n

Эсум Эудij Xij min; i 1 j 1

i m

Vj Пэij Xij ,

i 1

j n

j 1

Xij 0;

Рассмотренная математическая модель реализована в программе «Rasm». Приведем пример формулировки и решение задачи наилучшего распределения парка машин по объектам.

34

Задача 11. Требуется определить оптимальный план распределения землеройных машин по производственным объектам согласноисходнымданным,приведеннымвтабл.3.8. Производственныйпландолженпредусматриватьполноевыполнениеобъемов работ имеющимся парком машин на каждом из пяти производственных объектов (V1, V2, V3, V4, V5) в сроки, ограниченные фондомрабочеговременимашин. Приоптимизациираспределения техники суммарныеэнергозатраты должныбыть минимальные.

1.Определить оптимальную продолжительность работы машин на объектах.

2.Рассчитать энергозатраты на разработку грунта по производственным объектам.

3.Определитьрезервмашинноговремени покаждой машине. Для решения задачи введем условное обозначение:

Xij – продолжительностьработы i-й машинына j-мобъекте, ч. Тогда существующие ограничения в ресурсах запишутся в

виде следующих неравенств:

37,6X11+65,8X21 +18,8X31 +23,5X41 +37,6X51 +47,0X61 =77000; 38,0X12+66,5X22 +19,0X32 +23,8X42 +38,0X52 +47,5X62 =46000; 36,8X13+64,4X23 +18,4X33 +23,0X43 +36,8X53 +46,0X63 =38000; 34,4X14+60,2X24 +17,2X34 +21,5X44 +34,4X54 +43,0X64 =73000; 36,0X15+63,0X25+18,0X35+22,5X45+36,0X55+45,0X65=110000;

35

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 1620;

X21 + X22 + X23 + X24 + X25 1620;

X31 + X32 + X33 + X34 + X35 2330;

X41 + X42 + X43 + X44 + X45 2330;

X51 + X52 + X53 + X54 + X55 2315;

X61 + X62 + X63 + X64 + X65 2315;

при этом следует учитывать, что по смыслу задачи значения X11 … X65 не могут быть отрицательными X11 0 … X65 0.

Целевая функция будет выглядеть так:

F(X) = 4,202X11 + 4,158X12 + 4,293X13 + 4,593X14 + 4,389X15 +

+4,027X21+ 3,985X22 + 4,115X23 + 4,402X24 + 4,206X25+

+2,340X31+ 2,316X32 + 2,391X33 + 2,558X34 + 2,444X35+

+2,340X41+ 2,311X42 + 2,391X43 + 2,558X44 + 2,444X45+

+1,569X51+ 1,553X52 + 1,603X53 + 1,715X54 + 1,639X55+

+2,021X61+2,000X62+2,065X63 +2,209X64 +2,111X65 min.

Результаты решения задачи с помощью программы «Rasm»

приводятся в прил. Ж.

4.ТРАНСПОРТНАЯЗАДАЧА.ПРОГРАММА«Transy»

Встроительстве постоянно приходится решать задачи доставки грузов (конструкций, материалов и т.п.) на объекты от поставщиковприусловии,чторасходынадоставкудолжныбыть наименьшими. Такую задачу принято называть транспортной.

Математическую модель транспортной задачи можно записать в том виде, в котором она представлена в [7].

Найти матрицу перевозимых объемов грузов X = (xij) при известной матрице стоимостей перевозок C = (cij), доставляющую экстремум целевой функции

i n j m

36

i 1

3)движениегрузовдолжнопроисходитьотпунктов отправлениякпунктам назначения:

xij > 0 ( i = 1, m; j = 1, n); (4.4) 4)должнобытьвыполненоусловиесбалансированности(зам-

кнутости задачи)

Существует рядметодоврешениятранспортной задачи. Один из них реализован в программе «Transy». Рассмотрим пример содержательной постановки транспортной задачи и ее решение.

Задача 12. На железной дороге в нескольких пунктах размещены балластные карьеры, производительность которых приведена в табл. 4.1. Известны места и объемы досыпки балласта (табл. 4.2) и тарифная плата за его перевозку от мест заготовки до участков укладки (табл. 4.3). Требуется определить план доставки балласта на участки отсыпки исходя из минимума затрат на перевозку.

Таблица 4.3

Тарифная плата за перевозку единицы балласта от карьера до участка укладки, тыс. р.

37

Вприл. И приводится решение задачи с использованием про-

граммы «Transy».

5.ЗАДАЧАКОММИВОЯЖЕРА.ПРОГРАММА«Kommy»

Встроительной практике нередки случаи, когда необходимо за одну поездкудоставлять грузы на автомобиле(автопоезде) на n объектов, находящихся на удаленном расстоянии от склада поставщика и друготдруга.Можнослучайнымобразомвыбрать маршрут следования так, чтобы автомобиль побывал на каждом объектетолькоодин раз и вернулся на склад, новопрос: будетли лучшим этот маршрут с точки зрения затрат на поездку – остается открытым.

Ответ на этот вопрос дает известная математическая модель, называемая задачей коммивояжера. Формулируется она так: коммивояжер (агент по сбыту), отправляясь из своего города, должен кратчайшим маршрутом ровно по одному разу посетить п – 1 заданных городов и вернуться назад.

Эта оптимизационная задача и различные ее модификации в действительности возникают не только при доставке товаров на дом,ноивситуацияхсовершенноиногохарактера[7].Математические модели задачи коммивояжера содержат большое количество переменных и ограничений. Поэтому общие методы ЛП для их решения обычно не используются. Предпочтение отдается вычислительной схеме, известной под названием «метод ветвей и границ». При небольших значениях п решение задачи коммивояжера можно найти путем перебора всех замкнутых маршрутов, проходящих по одному разу через каждый из городов. Будем называть такие маршруты допустимыми. Пусть города пронумерованы числами 1, 2, …, п, расстояния между

ними равны m(i, j) (i, j 1,n), причем значения m(i, j) и m(j, i) необязательно совпадают. При отсутствии дороги между пунктами i и j можно считать, что она есть, но m(i, j) . Всякая перестановка (a1, a2, …, аn) из элементов 1, 2, …, п определяет допустимый маршрут:

a1 a2 a3 …. an. (5.1)

Тогда для решения задачи коммивояжера, перебирая все возможные перестановки (a1, a2, …, аn), достаточно вычислять

38

длины соответствующих маршрутов и запоминать лучшие из них. Именно эта идея и реализована в программе «Kommy». Причем учитываются только перестановки (5.1), где an = 1, что возможно ввиду замкнутости (5.1). Таким образом, для п городов просматривается и анализируется (n – 1)! маршрутов.

Исходные данные программного обеспечения для решения задачи коммивояжера с помощью программы «Kommy» приведены в табл. 5.1, 5.2.

Пример работы программы «Kommy» приведен в прил. К.

6.ОПТИМИЗАЦИЯПОРТФЕЛЯЦЕННЫХБУМАГ.

ПРОГРАММА «Mark»

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Существует несколько вариантов задач оптимизации рискового портфеля. Заслуживает внимания идея, использовавшаяся нобелевским лауреатом Г. Марковицем для оптимизации портфеля ценных бумаг. Ниже приводится постановка и метод решения этой задачи [9].

Под стоимостью портфеля понимают суммарную стоимость всех составляющих его ценных бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р , то величину d = 100(P – Р )/P естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Таким образом, доходность портфеля – это доход на единицу его начальной стоимости.

39

Пусть хi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Переход к долям означает то, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых ценных бумаг i-го вида в расчете на одну денежнуюединицу.

Доходность всего портфеля dp рассчитывается следующим образом. С одной стороны, через год капитал портфеля будет равен 1 + dp, с другой – стоимость бумаг i-го вида увеличиться с xi до xi +di xi , поэтому суммарная стоимость портфеля будет равна:

xi xidi 1 xidi .

Приравнивая оба выражения, получаем, что доходность

i n

портфеля dp xidi.

i 1

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходность бумаг и их доли.

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени и является случайной величиной. Пусть mi – средняя ожидаемая доходность и i – среднее квадратическое отклонение этой случайной доходности, т.е. mi = M [di] – математическое ожиданиедоходности и

ri Vii ,

где Vii – вариация или дисперсия i-й доходности. Тогда mi, ri будут называться эффективностью и риском i-й ценной бумаги соответственно. Через Vij обозначается ковариация доходностей ценных бумаг i-го и j-го вида (или корреляционный момент

Kij).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля – случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля

обозначается через mp и называется эффективностью портфеля.

40