2FwlpVopmE
.pdf
гом склонения ( PMmP ) и южной половиной небесного меридиана
( PZQSP ). Часовой угол измеряется дугой ( t Qm ) небесного экватора от
южной половины небесного меридиана до круга склонения в направлении вращения небесной сферы, т.е. к западу. Часовые углы, как правило, изме-
ряются в единицах времени, в пределах от 0 до 24h , но также и в угловых
единицах, в пределах от 0 до 3600 .
Второй координатой в этой системе является склонение ( ). На про-
тяжении суток склонение звѐзд и других далѐких объектов остаѐтся неиз-
менным, а часовой угол непрерывно изменяется пропорционально времени на 24h за один оборот небесной сферы.
В астрономии часовым углом t точки весеннего равноденствия из-
меряется звѐздное время. Обозначив момент по звѐздному времени через
S , получим: |
|
|
|
S |
t |
|
(1.2) |
Так как рис. t Q , а у светила M прямое восхождение |
m , то |
||
часовой угол этого же светила |
|
||
t |
Qm |
t |
|
или |
|
|
|
t |
S |
, |
(1.3) |
т.е. часовой угол любого светила всегда равен моменту по звѐздному вре-
мени минус прямое восхождение этого светила.
Эклиптическая система координат
Солнце перемещается среди звѐзд с запада к востоку по большому кругу небесной сферы, который называется эклиптикой. Плоскость эклип-
тики . В рис. 5 наклонена к плоскости небесного экватора под уг-
лом 23027 .
11
Рис. 5
Диаметр ПП , перпендикулярный к плоскости эклиптики, называется осью эклиптики и пересекается с поверхностью небесной сферы в север-
ном полушарии в северном полюсе эклиптики П (лежащем в северном по-
лушарии) и в южном полюсе эклиптики П (в южном полушарии).
Эклиптика пересекается с небесным экватором в двух точках: в точ-
ке весеннего равноденствия и в точке осеннего равноденствия . В точ-
ке весеннего равноденствия Солнце пересекает небесный экватор, перехо-
дя из южного полушария небесной сферы в северное. В точке осеннего
равноденствия Солнце переходит из северного полушария в южное.
Точки эклиптики, отстоящие от равноденственных на 900, называют-
ся точкой летнего солнцестояния (в северном полушарии) и точкой зимне-
го солнцестояния (в южном полушарии).
Большой полукруг небесной сферы ПМП , проходящий через полю-
сы эклиптики и через светило M , называется кругом широты светила.
Эклиптика и точка весеннего равноденствия лежат в основе эклип-
тической системы небесных координат. Одной координатой в этой системе
является эклиптическая широта |
светила M , которой называется дуга |
|
12 |
mM круга широты от эклиптики до светила, или центральный угол mOM между плоскостью эклиптики и направлением на светило M .
Эклиптические широты отсчитываются в пределах от 00 до 900 к
северному полюсу эклиптики ( П ) и от 00 до 900 к еѐ южному полюсу
( П ).
Эклиптическая широта определяет положение светила на круге ши-
роты. Положение же самого круга широты на небесной сфере определяется другой координатой – эклиптической долготой . Эклиптической долго-
той светила М называется дуга m эклиптики от точки весеннего рав-
ноденствия |
до круга широты, проходящего через светило, или |
централь- |
ный угол |
Om (в плоскости эклиптики) между направлением |
на точку |
весеннего равноденствия и плоскостью круга широты, проходящего через светило. Эклиптические долготы отсчитываются в сторону видимого го-
дичного движения Солнца по эклиптике, т.е. с запада к востоку в пределах от 00 до 3600 . Светила, находящиеся на одном круге широты, имеют оди-
наковые эклиптические долготы.
Преобразование координат
Преобразованием небесных координат называется вычисление сфе-
рических координат одной системы по сферическим координатам другой системы.
Чтобы ознакомиться с методом получения формул сферической гео-
метрии рассмотрим следующий пример (рис. 6).
Если мы имеем две прямоугольные системы координат ( K ) и ( K ), у
которых начала отсчѐта совпадают, а оси повернуты друг относительно друга на угол ( ), то один и тот же вектор A , исходящий из начала коор-
динат, имеет в этих двух системах разные проекции – ( x, z ) в системе ( K ) и
( x , z ) в системе ( K ).
13
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
Из рисунка непосредственно видно, что |
||||||
x |
OB |
OD |
DB |
OD |
FN . |
|
Но из |
NFB и |
ODN легко видеть, что |
||||
FN |
z sin |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
OD |
x cos |
, |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
x |
x cos |
z sin . |
|
|
||
Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
z |
OC |
OF |
F C |
OF |
CL . |
|
Но из |
OF'C и |
CLN следует |
||||
OF |
z cos |
, |
|
|
|
|
CL |
x sin |
, |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
z |
z cos |
x sin . |
|
|
||
Итак, формулы перехода от координат ( x, z ) к координатам ( x , z ) |
||||||
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
x |
x cos |
z sin |
|
(1.4) |
||
z |
z cos |
x sin |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
14 |
Формулы (1.4) показывают поворот прямоугольной системы коорди-
нат ( K ) на угол ( ) к системе ( K ) относительно оси ( y ), координата кото-
рой в этом случае остаѐтся неизменной. Аналогично можно найти форму-
лы перехода при повороте относительно оси ( x ) и ( z ).
Однако систему преобразований координат (1.4) можно переписать в более общем виде:
x |
x cos |
z sin |
y |
y |
|
z |
z cos |
x sin |
Последняя система позволяет формулы перехода записать в матрич-
ном виде:
x |
cos |
0 |
sin |
x |
|
y |
0 |
1 |
0 |
y , |
(1.5) |
z |
sin |
0 |
cos |
z |
|
где представлена матрица поворота относительно оси ( y ). Для матриц по-
ворота относительно осей ( x ) и ( z ) можно получить аналогичные форму-
лы:
1 |
0 |
0 |
|
cos |
sin |
0 |
0 |
cos |
sin |
и |
sin |
cos |
0 . |
0 |
sin |
cos |
|
0 |
0 |
1 |
Формулы, которые здесь были рассмотрены, можно применить, как пример, к получению формул перехода от горизонтальной сферической системы координат к экваториальной сферической системе координат.
Спроектируем радиус-вектор r на оси прямоугольной декартовой системы координат ( x, y, z ), связанной с плоскостью истинного горизонта и полюсом ( Z ):
x r cosh cos A
y r cosh sin A . z r sinh
15
Далее спроектируем радиус-вектор r на оси прямоугольной декарто-
вой системы координат ( x , y , z ), связанной с плоскостью небесного эква-
тора и полюсом ( P ):
x |
r cos |
cos t |
|
|
|
|
|
y |
r cos |
sin t . |
|
|
|
|
|
z |
r sin |
|
|
|
|
|
|
Теперь воспользуемся формулами системы (4) можно найти: |
|
||||||
cos |
cos t |
cos 900 |
0 |
sin |
900 |
cosh cos A |
|
|
|
|
|
|
|||
cos |
sin t |
0 |
1 |
|
0 |
cosh sin A . |
(1.6) |
sin |
|
sin 900 |
0 |
cos |
900 |
sinh |
|
Система (1.6) и позволяет получить необходимые формулы. Сначала выполним умножение:
cos |
cos t |
cosh cos Acos 900 |
sin |
900 |
cos |
sin t |
cosh sin A |
|
. |
sin |
cosh cos Asin 900 |
cos 900 |
sinh |
|
Таким образом, получим искомые формулы:
cos 900 |
cos 900 |
h cos 900 |
sin |
900 h sin |
900 |
cos 1800 A |
|||
sin |
900 |
sin t |
sin |
900 |
h sin 1800 |
A |
|
|
(1.7) |
sin |
900 |
cos t |
sin |
900 |
cos 900 |
h |
cos 900 |
sin 900 |
h cos 1800 A |
Первая из формул системы (1.7) это теорема косинусов для сфериче-
ского треугольника, вторая теорема синусов и, наконец, третья формула пяти элементов. На рис. 7 выделен параллактический треугольник, сторо-
ны которого и определяются формулами системы (1.7).
Применение этих формул применимы для перехода от координат выбранной системы координат к заданной, то есть от экваториальной к го-
ризонтальной, в других случаях от экваториальной к эклиптической, как показано на рис.7 и обратно.
16
Рис. 7
Измерение времени
На наблюдениях суточного вращения небесного свода и годичного движения Солнца, т.е. на вращении Земли вокруг оси и на обращения Зем-
ли вокруг Солнца, основано измерение времени.
По углу поворота Земли от некоторого начального положения можно судить о протекшем времени. За начальное положение Земли принимается момент прохождения плоскости земного меридиана места наблюдения че-
рез избранную точку на небе.
Продолжительность основной единицы времени, называемой сутка-
ми, зависит от избранной точки на небе. В астрономии за такие точки при-
нимаются: а) точка весеннего равноденствия; б) центр видимого диска Солнца (истинное Солнце); «среднее солнце» – фиктивная точка, положе-
ние которой на небе может быть вычислено для любого момента времени.
Соответственно вводятся звѐздные, истинные солнечные и средние сол-
нечные сутки.
17
Промежуток времени между двумя последовательными одноимѐн-
ными кульминациями точки весеннего равноденствия на одном и том же географическом меридиане называется звѐздными сутками. За начало звѐздных суток на данном меридиане принимается момент верхней куль-
минации точки весеннего равноденствия.
Время, протекшее от верхней кульминации точки весеннего равно-
денствия до любого другого еѐ положения, выраженное в долях звѐздных суток (в звѐздных часах, минутах и секундах), называется звѐздным време-
нем.
Угол, на который Земля повернѐтся от момента верхней кульмина-
ции точки весеннего равноденствия до какого-нибудь другого момента,
равен часовому углу точки весеннего равноденствия в этот момент. Следо-
вательно, звѐздное время s на данном меридиане в любой момент числен-
но рано часовому углу точки весеннего равноденствия t , выраженному в
часовой мере, т.е.
s t
Точка весеннего равноденствия на небе ничем не отмечена. Непо-
средственно измерить еѐ часовой угол или заметить момент прохождения еѐ через меридиан нельзя. Поэтому практически для установления начала заѐздных суток или звѐздного времени в какой-либо момент надо измерить
часовой угол t какого-либо светила M , прямое восхождение которого известно (рис. 8).
Тогда, |
поскольку t Qm, |
m , а часовой угол точки весеннего рав- |
ноденствия t |
Q и, по определению, равен звѐздному времени s , |
|
s t |
t , |
|
т.е. звѐздное время в любой момент равно прямому восхождению какого-
либо светила плюс его часовой угол.
18
Рис. 8
В момент верхней кульминации светила его часовой угол t |
0 , и то- |
|
гда |
|
|
s . |
|
|
В момент нижней кульминации светила его часовой угол t |
12h , и |
|
звѐздное время: |
|
|
s |
12h . |
|
Измерение времени звѐздными сутками и их долями наиболее просто и поэтому весьма выгодно при решении многих астрономических задач.
Но в повседневной жизни пользоваться звѐздными сутками крайне не-
удобно. Поэтому в этом случае используют видимое движение Солнца для задания солнечных суток.
Промежуток времени между двумя последовательными одноимѐн-
ными кульминациями Солнца (точнее, центра солнечного диска) на одном и то же географическом меридиане называется истинными солнечными сутками. За начало истинных солнечных суток на данном меридиане при-
нимается момент нижней кульминации Солнца (истинная полночь).
Время, протекшее от нижней кульминации Солнца до любого друго-
го его положения, выраженное в долях истинных солнечных суток (истин-
19
ных солнечных часах, минутах и секундах), называется истинным солнеч-
ным временем T .
Истинное солнечное время T на данном меридиане в любой момент численно равно часовому углу Солнца t , выраженному в часовой мере,
плюс 12h , т.е.
T t 12h .
Измерение времени истинными солнечными сутками просто, но
пользоваться истинным солнечным временем в повседневной жизни так же неудобно, как и звѐздным. Неудобство возникает потому, что продолжи-
тельность истинных солнечных суток – величина непостоянная. Это про-
исходит потому, что Солнце движется не по небесному экватору, по эк-
липтике, |
наклоненной к небесному экватору на значительный угол |
23027 |
и движение Солнца по эклиптике по эллиптической орбите не- |
равномерно.
Чтобы получить сутки постоянной продолжительности, и в то же
время связанные с движением Солнца, в астрономии введены понятия двух фиктивных точек – среднего эклиптического и среднего экваториального солнца. Среднее эклиптическое солнце равномерно движется по эклиптике со средней скоростью Солнца и совпадает с ним около 3 января и 4 июля.
Среднее экваториальное солнце равномерно движется по небесному эква-
тору с постоянной скоростью среднего эклиптического солнца и одновре-
менно с ним проходит точку весеннего равноденствия.
Следовательно, в каждый момент времени прямое восхождение среднего экваториального солнца равно долготе среднего эклиптического солнца. Их же прямые восхождения одинаковы только четыре раза в году,
а именно, в моменты прохождения ими точек равноденствий и в моменты прохождения средним эклиптическим солнцем точек солнцестояний.
20