Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2FwlpVopmE

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 2. Небесная механика

Издавна люди стремились объяснить движение планет и других не-

бесных тел, принимая Землю за центр мироздания, относительно которой и происходит видимое движение. Известна система Птолемея, объясняющая такое движение. Эта система получила название геоцентрической системы мира.

Коперник, исходя из наблюдательных данных, пришѐл к заключе-

нию, что все планеты, в том числе и Земля с Луной обращаются вокруг Солнца. Эта гелиоцентрическая система лежит в основе объяснения ис-

тинных движений планет и других объектов Солнечной системы.

Эмпирические законы движения планет удалось открыть И. Кеплеру,

который использовал длительный период наблюдений положений Марса,

которые производил датский астроном Тихо Браге, а также сам Кеплером.

1.Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых

(общем для всех планет) находится Солнце.

2.Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади.

3.Квадраты периодов обращений планет вокруг Солнца пропорцио-

нальны кубам больших полуосей их эллипсов.

Основные законы механики, сформулированные И. Ньютоном, и от-

крытый им закон Всемирного тяготения решили основную задачу небес-

ной механики по объяснению законов движения планет, и дали возмож-

ность построить в дальнейшем совершенную теорию, разработанную многими математиками и астрономами.

Наша задача будет состоять в том, чтобы провести анализ методов

«Небесной механики», построенных на примере решения Ньютоном зада-

чи «о двух тела» движущихся по закону тяготения.

Задача двух тел в небесной механике

Будем рассматривать движение спутника P m относительно цен-

трального тела S M , где m – масса спутника, а M – масса центрального тела, причѐм m M рис. 9.

Рис. 9

Спутник под действием центрального тела получает ускорение:

a	G	M	r	,
		r 2 r
1

центральное тело в этом случае:

a2	G	m	r	.
		2
		r	r

При относительном движении спутника ускорение имеет вид:

a a	a	k 2	r	, где k 2	G M m .
		r2
1	2		r

Рассмотрим проекции ускорения на выбранные оси координат

d 2 x

a cos

a, i

k 2 x

dt 2

d 2 y

a cos

a, j

k 2 y

d 2 z

a cos

a, k

k 2 z

dt 2

Таким образом, уравнения движения спутника относительно цен-

трального тела запишутся:

d 2 x	k	2 x
dt 2			r3

d 2 y	k 2			y	(2.1)
dt 2				r3

d 2 z	k	2		z
dt 2			r3

Для интегрирования системы будем искать еѐ частные интегралы.

Умножая второе уравнение на z , а третье на y и складывая их, а также аналогично для других пар уравнений системы (2.1), получим:


z	d 2 y		y		d 2 z	0
		dt 2			dt 2
x	d 2 z		z	d 2 x		0
		dt 2			dt 2
y		d 2 x	x		d 2 y		0
		dt 2			dt 2

Левая часть системы есть полная производная

Далее интегрируем

Умножая первое уравнение слева и справа на x ,	аналогично второе
на y , а третье на z и складывая эти уравнения, получим:
C1x C2 y C3 z 0,	(2.2)

где x, y, z – текущие координаты, C1,C2 ,C3 – постоянные интегрирования.

Таким образом, полученное уравнение является уравнением плоскости,

проходящей через начало координат и можно утверждать, что движение спутника относительно центрального тела происходит в плоскости, прохо-

дящей через центр масс центрального тела.

Повернѐм координатные оси так, чтобы плоскость x , S, y совпала с

плоскостью, в которой происходит движение спутника относительно цен-

трального тела. В этом случае z 0 и

0 , а тогда C

0,C 0 . Уравнение

движения спутника в плоскости получит вид:

(2.3)

Перейдѐм к полярным координатам:

x r cos y r sin

Следовательно,

dx	cos		dr	r sin	d

dt			dt		dt	(2.4)

dy		dr			d
	sin			r cos

dt		dt			dt

Подставляя полученные выражения в (2.3), окончательно получим:

r 2 d C3 . (2.5)

Рассмотрим физический смысл полученного уравнения.

На рис. 10 показана часть траектории движения спутника относи-

тельно центрального тела.

Рис. 10

Пусть r

и r1

радиус-векторы положения спутника для моментов вре-

мени t и t

t . За время t

перемещение спутника r . Рассмотрим тре-

угольник SPP

и найдѐм его площадь, учитывая физически малое переме-

щение по орбите:

rr sin

(2.6)

далее перейдѐм к пределу при

t 0 , несколько видоизменив (2.6):

lim

sin

t 0

t 0 2

В итоге получим

r 2

Отсюда видно, что, так как в левой части полученного выражения стоит скорость изменения площади, то C3 в (2.5) есть не что иное, как уд-

военная секторная скорость спутника.

Теперь, рассмотрим основной закон механики для вращательного движения:

	dL	M r F ,
	dt

	где L – момент импульса, а M 0 - момент силы. Следовательно,

L r mv const

Полученное выражение для момента импульса перепишем в виде:

r	dr		L	dt ,		или	dS	L	dt ,
r	dr			dt ,		или	dS		dt ,
		m						2m
интегрируя, получаем:
S	S0		L		t t0 .

			2m
			2m
Отсюда видно,						что (2.5)	есть следствие постоянства момента им-

пульса спутника при движении относительно центрального тела, а также

C3 можно рассматривать как вектор с компонентами C1,C2 ,C3 , направлен-

ным перпендикулярно плоскости движения, согласно направлению L . Мо-


дуль C3		можно вычислить по формуле:

		C2	C2	C2
	C
3		1	2	3

C3 есть удвоенная секторная скорость спутника (закон площадей).

Следовательно, выведен II закон Кеплера.

Возвратимся к (1) и продолжим интегрирование.

d 2 x	k	2		x	dx
dt 2	k		r3			dt
dt 2			r3			dt
d 2 y	k 2			y		dy	,
dt 2	k 2			r3		dt	,
dt 2				r3		dt
d 2 z	k	2		z	dz
dt 2	k		r3			dt
dt 2			r3			dt

Сначала умножив каждое из уравнений соответственно на dxdt , dydt , dzdt

и затем, сложив их, получим:

dx d 2 x dy d 2 y dz d 2 z

k 2

dt2

dt dt 2

Далее ищем полную производную

1 d

dx 2

dy 2

dz 2

k 2 1 d

2 dt

Преобразуем полученное выражение:

dV 2

k 2

dr2

или

dV 2

2k 2

Интегрируя, получим:

V 2

k 2

(2.7)

Получен интеграл живых сил или интеграл энергии.

Продолжим интегрировать выражение (2.7) в полярных координатах.

По определению:

V 2	dx 2	dy	2
			,
	dt	dt

Подставляя сюда выражения из (2.4), получим:

V 2	r2	d	2	dr	2
					.
		dt		dt	.
		dt		dt

Таким образом, для интегрирования интеграла энергии можно полу-

чить следующую систему уравнений:

dr 2

2k 2

(2.8)

и будем определять зависимость между r и

. Получим

1 .

(2.9)

dr d

Подставляя (2.8) в первое уравнение системы (2.9) получим исходное уравнение, которое нужно преобразовать

C 2

(2.10)

Пусть

, умножим (2.10) слева и справа на

и выделим пол-

C 2

ный квадрат:

U 2

k 2

k 4

C 2

C 4

C 2

тогда

k 2

k 4

k 2

k 4

A2 , но

Пусть

U ,

и получим следующее вы-

C 2

C 4

ражение:

A2 U 2 .

(2.11)

Перепишем (2.11) в виде удобном для интегрирования

d .

Получили хорошо известный табличный интеграл, где знаки

опре-

деляют arcsin и arccos . Функции синус и косинус отличаются фазой. Здесь удобно выбрать arccos .


arccos	U	C ,

	A	5

где C5 – постоянная интегрирования. Проделаем ряд преобразований:


U					cos							C5

A
A

1			k 2							C		4				k 4				cos				C
r																				cos				C
r		C				2			C			2				C 4								5
		3						3							3

				k 2				k 2														2
1				k 2				k 2										C C				2
												1						4		3			cos	C
												1											cos	C
r			C 2					C 2											k 4					5
		3						3

	2																2
C	2											C		C			2
	3						p,	1				4			3						e
k 2							p,	1					k		4						e
k 2													k		4
1		1 e cos														C5
r											p

Окончательно получим:

r	p		.		(2.12)


	1 e cos	c5
Полученное уравнение является обобщѐнным уравнением всех кони-
ческих сечений кривых второго порядка, где					e – есть эксцентриситет,
а p – параметр.
Если 0 <e <1 , то это эллипс и p				a 1 e2	, где a – большая полуось
эллипса. В других случаях, если e 0, e				1, e >1 , то такие кривые соответст-

венно окружность, парабола, гипербола (рис. 11).

Рис. 11

Уравнение (2.12) есть не что иное, как первый (обобщѐнный) закон Кеплера, расширяющий описание движение спутника по отношению к центральному телу, чем эмпирический закон, полученный Кеплером.

Теперь можно найти и третий (обобщѐнный) закон Кеплера. Этот за-

кон применим только к замкнутым орбитам, таким, например, как окруж-

ность или эллипс:

p	a 1			e2
				(2.13)
		C	2	(2.13)
p		3
p		k 2
		k 2

C32 – по смыслу второго закона Кеплера, есть удвоенная секторная ско-

рость, стало быть, эта постоянная может быть выражена через площадь эл-

липса.

	2 2 ab
			, b a 1 e2 , k 2	G M m .	(2.14)
C
C
3		P
		P
				49

Приравнивая правые части (2.13) и пользуясь (2.14), получим иско-

мое выражение, которое и есть третий (обобщѐнный) закон Кеплера).

P – период обращения спутника:

P2 M m	4		2	.	(2.15)
a3		G

Выражение постоянных интегрирования через элементы орбит

Элементы орбит планет рис. 12.

Рис. 12

Введѐм следующие элементы – шесть элементов орбиты, опреде-

ляющие положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел.

большая полуось	a	;
эксцентриситет e	;
наклонение i ;
долгота восходящего узла			;
долгота перицентра		;

момент прохождения небесного тела через перицентр t0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.05 Mб20ceUX1GQi2.pdf
#
15.04.20232.65 Mб30rFIKm9Cqd.pdf
#
15.04.2023417.45 Кб11hWlnteKhp.pdf
#
15.04.20231.13 Mб22FR6Pr4400.pdf
#
15.04.20233.32 Mб62FwlpVopmE.pdf
#
15.04.2023955.27 Кб62vcTnguyvU.pdf
#
15.04.20231.84 Mб23DJKUg2Zsr.pdf
#
15.04.20231.11 Mб123VeB9x3bUa.pdf
#
15.04.20231.86 Mб149MoPwZx1g.pdf
#
15.04.20231.39 Mб24AtZAKAFwW.pdf