2FwlpVopmE

длину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.

Решение: на рис. 2.4(з) показано расположение Земли, Венеры и Солнца в нижнем соединении. Согласно радиолокации расстояние от Зем-

ли до Венеры получим по формуле:

Рис. 2.4(з)

Полученная величина расстояния соответствует 0, 2767 а.е., тогда для

1 а.е., соответствующей расстоянию от Земли до Солнца, то есть для, так называемой, астрономической единицы из пропорции получаем величину

a 149, 4 106 км .

Теперь рассчитаем параллакс Солнца:

71

Задача № 28

Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при еѐ среднем (384 000 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км)

геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли – 6 378 км.

Решение: На рис. 2.5(з) показана схема вычисления горизонтального

экваториального параллакса Луны. Угол мал и составляет минуты дуги,

поэтому можно синус угла заменить значением самого угла в радианной мере:

Рис. 2.5(з)

Учитывая, что 1рад 570 ,3 и переводя в пропорции рад в секунды дуги, можно переписать:

3438 R . r

Таким образом, можно вычислить необходимые величины:

72

Задача № 29

Синодический период обращения астероида Эрота составляет

2,316 года. 23 января 1975 г., в эпоху великого противостояния, его гори-

зонтальный экваториальный параллакс был равен 58 , 26 , а радиус-вектор Земли мало отличался от еѐ перигельного расстояния (эксцентриситет зем-

ной орбиты – 0,017). На каком расстоянии от Земли прошѐл в этот день ас-

тероид и чему равны большая полуось и эксцентриситет его орбиты?

Решение: Зная синодический период астероида и период обращения Земли вокруг Солнца, найдѐм сидерический период астероида:

Подставляя численные значения, получим:

это позволяет найти большую полуось орбиты астероида:

Теперь найдѐм расстояние между Землѐй и астероидом, учитывая, что по условию задачи оба они находятся вблизи точки перигелия рис. 2.6(з) для своих орбит:

73

r206235 6378 22580813 км. ,

58 , 26

что составляет 0,151 а.е. Расстояние Земли в перигелии:

rП 1 e 1 0,017 0,983 а.е. ,

тогда перигельное расстояние астероида будет равно:

Рис. 2.6(з)

Эксцентриситет орбиты астероида рассчитаем, воспользовавшись известной формулой:

rП aA 1 e1 ,

отсюда:

e1 0, 222.

Ответ: aA 1, 458 ; r 0,151; e1 0, 222 .

Задача № 30

Узнать линейные размеры большого диаметра Красного пятна на Юпитере и диаметр радиационного пояса планеты, если пятно видно с Земли под углом около 10 , а радиоизлучение планеты наблюдается из ок-

ружающего еѐ пространства вплоть до расстояния в от центра еѐ дис-

ка. Параллакс Юпитера принять равным 2 , 09 .

74

Найти: d , D ?

Решение: Зная параллакс Юпитера, можно найти расстояние до пла-

неты:

203235 R 203235 6378 629453669.9км .

Теперь по известному расстоянию и угловым размерам красного пятна и радиоизлучения планеты можно определить размеры этих образо-

ваний

Здесь было учтено, что размеры радиоизлучения планеты вдвое больше указанной величины радиуса.

Ответ: d 30000км ; D 5 106 км .

Задача № 31

На каких примерно расстояниях обращаются вокруг Марса его спут-

ники Фобос и Деймос, которые по наблюдениям с Земли при среднем про-

тивостоянии планеты удаляются от неѐ соответственно на 24 , 7 и 61 ,8 ?

Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а.е.

Данные: 1 24 , 7 ; 2 61 ,8 ; aM 1,524 ;

Найти: r1, r2 ?

Решение: учитывая, что указанные данные соответствуют среднему противостоянию, то расстояние до Марса находим из условия

1, 534 1 0, 524 а.е.

75

Результат вычисления выражается в астрономический единицах. По условию задачи его целесообразней перевести в км., то есть

0, 524a.e. 78390400км . Формула для вычисления запишется:

r 206265 .

Подставляя значения в формулу, получим: r1 9400км , r2 23500км .

Ответ: r1 9400км ; r2 23500км .

Задача № 32

Меркурий и Луна вращаются в направлении своего орбитального движения, первый с периодом 58d , 65 , а вторая с периодом 27d ,32 . Период обращения Меркурия вокруг Солнца равен 88d , а Луна обращается вокруг него вместе с Землѐй. Чему равна продолжительность солнечных суток на Меркурии и на Луне?

Данные: T1 58d , 65 ; T2 27d , 32 ; T

Найти: Td1,Td 2 ?

Решение: продолжительность суток на планетах найдѐм, используя

формулы:

Таким образом, продолжительность суток на этих планетах будет

равно:

76

Задача № 33

Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?

формул:

Подставляя численные значения, имеем

Теперь вычислим примерное гелиоцентрическое расстояние, на котором они находятся:

29,8 , vk r

здесь круговая скорость задаѐтся в км/с, а r в астрономических единицах:

r 5, 2 .

77

Задача № 34

Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, пе-

ригельном и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты

первого астероида равны 2,73 а.е. и 0,078, а второго – 1,97 а.е. и 0,778.

Данные: a1 2, 73 а.е. ; e1 0, 078 ; a2 1,97 а.е.; e2 0, 778 ;

Найти: v1,2 ;vП1,2 ;vA1,2 ;vk1,2 ;vp1,2 ?

Решение: Зная большую полуось и эксцентриситет, найдѐм предва-

рительно перигельное и афелийное расстояния по формулам:

Вычислим круговую, а также скорости в перигелии и афелии орбит астероидов, а также круговую и параболическую скорость на этих рас-

стояниях по формулам:

Таким образом, имеем:

78

Соответственно, для второго астероида по этим же формулам, под-

ставляя численные значения, получаются свои результаты.

Ответ: 18, 0;19, 5;и16, 7 км / с ; и18, и25, 4;18,8и26, 6;17, 4и24, 6 км / с ; для

первого астероида; 21, 2; 60, 0; и7,5 км / с ; и 21, 2, и30, 0; 45,1и63,8;15, 9и22, 5 км / с ;

для второго астероида.

Задача № 35

На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если еѐ скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической

Решение: по условию комета двигалась по параболической орбите.

Изначально формула для расчѐта расстояния относительно Солнца можно найти из интеграла энергии:

m M , поэтому ею можно пренебречь. G – постоянная тяготения, a –

79

большая полуось орбиты. В случае параболической орбиты r , поэтому

формула для вычисления расстояния до кометы перепишем в следующем виде:

Задача № 36

Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298

года, а его скорость в перигелии – 20,48 км/с. Чему равны сидерический период астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, пери-

гельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцен-

трическом расстоянии и в афелии?

можность найти его сидерический период, зная период обращения Земли вокруг Солнца, исходя из формулы:

Далее можно найти большую полуось орбиты по формуле:

Зная большую полуось, находим круговую скорость:

80