2FwlpVopmE

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мурманский арктический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, при n m ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2023

Размер:

3.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

vk	29,8		29,8		18, 24км / с


		a	2, 667
		a	2, 667	.
				.

По известной скорости в перигелии и рассчитанной круговой скоро-

сти находим эксцентриситет орбиты:

vП		vk		1	e

			1		e
			1		e
1	e		vП		2	20, 48	2
1	e		vП			20, 48	2
							1, 26
1	e		vk			18, 24	1, 26
1	e		vk			18, 24
e	0,115						.
							.

Таким образом, имеются все данные для того, чтобы рассчитать пе-

ригельное расстояние, афелийное расстояние и скорость в афелии:

rП

a 1

2, 667 1

0,115

2, 236a.e.

a 1

2, 667 1

0,115

2,974a.e. ;

29,8

16, 24км / с

2,974

Ответ: T

4, 356г. ; a

2, 667a.e ; e

0,115 ; rП 2, 236a.e. ;

2,974a.e. ; vk 18, 24км / с ; vA

16, 24км / с .

Задача № 37

Определить массу Марса в массах Земли по движению его спутника Деймоса, находящегося от планеты на среднем расстоянии в 23,5·103 км и обращающегося вокруг Марса за 1,26 сут. Период обращения Луны вокруг Земли равен 27,32 сут и большая полуось лунной орбиты – 384,4·103.

Данные: a 23,5 103	км,T	1, 26cут, a	484, 4 103 км,T 27,32cут .
1	1	2	2
Найти: MM / M ?

Решение: для решения задачи воспользуемся третьим законом Кеп-

лера

T 2 M m	4 2		.
a3		G

Применим эту формулу в двух случаях, в одном для движения Деймоса вокруг Марса, а во втором при движении Луны вокруг Земли. В обоих случаях массой спутника можно пренебречь, так как m M .

T 2 M	M	4		2
1	M
a3			G
1				2 .
T 2 M		4		2 .
2
a3			G
2

Разделив первое равенство на второе получим результат:

M	M		a	3	T		2	23,5 103 3	27,32 2
		1			2					0,107
M			a			T		384, 4 103	1, 26

		2			1

Ответ: M M 0,107 .

Задача № 38

Какой должна быть масса Солнца, чтобы Земля обращалась вокруг него с современным периодом, но на вдвое большем расстоянии? Как изменятся при этом периоды обращения Марса и Сатурна, если их расстояния останутся неизменными? Современные периоды обращения этих планет – 1,881 года и 29,46 года.

Данные: T T , r1							2r , r2 rM , r3 rC ,TM 1,881лет.,TC 29, 46лет.
Найти: M ,TM ,TC							?
Решение: воспользуемся третьим законом Кеплера, пренебрегая мас-
сой Земли, Марса и Сатурна по сравнению с массой Солнца:
	T 2 M		4		2	.
	2 r	3		G		.
		3

Из этой формулы найдѐм массу Солнца в том случае, когда расстояние между Землѐй и Солнцем увеличить в два раза, не изменяя период обращения Земли:


M	4 2 2r	3		4 3,142 2 149, 6 109 3		1, 6 1031	кг.
M	GT 2		6, 67 10 11		365 86400 2	1, 6 1031	кг.
	GT 2		6, 67 10 11		365 86400 2
M	8M , M		2 1030 кг.

Периоды обращения планет Марс и Сатурн также найдѐм из третьего закона Кеплера, оставляя их на своих орбитах увеличив массу Солнца в восемь раз:

деля первое уравнение на второе, получаем:

0,353 T

8 M

M .

Аналогично для Сатурна, так же имеем:

0,353 T

8 C

C .

Таким образом, можно рассчитать – TM 243d , T 10, 42 лет .

Ответ: T

243d , T 10, 42 лет .

Задача № 39

Определить круговую и параболическую скорость на поверхности Луны, Венеры и Марса. Массы и радиусы этих тел в земных параметрах:

Луны 0,0123 и 0,272, Венеры 0,815 и 0,950 и Марса 0,107 и 0,533.

Данные: M1	0,0123M ; M2	0,815M ; M3 0,107M ;
R1 0, 272R ;	R2 0,95R ; R3	0,533R .
Найти: vk1; vk 2;vk 3 ; vp1; vp 2 ; vp3		?

Решение: запишем формулу для первой космической скорости в двух

случаях – для планеты и Земли:

v	GM

		R	,
		R

v		GM
		GM

		R
		R

поделив первую формулу на вторую, получим:

v	M	R	v ,
	M	R

таким образом, можем рассчитать круговые скорости:

vk1

0, 0123

7, 91 1, 66км / с

0, 272

M 2

vk 2

0,815

7, 91

7, 22км / с .

0, 95

vk 3

0,107

7, 91

3, 49км / с

0, 533

Параболическая скорость из интеграла энергии даѐт следующее вы-

ражение:

vp 2 vk ,

соответственно, параболические скорости для планет получатся:


vp1		2	vk1		2 1, 66		2,35км / с
vp 2		2	vk 2		2	7, 22	10, 21км / с .
vp3	2		vk 3	2		3, 49	4,94км / с
Ответ: vk1				1, 66км / с ; vk 2 7, 22км / с ; vk 3 3, 49км / с ;
vp1	2,35км / с ; vp 2 10, 21км / с ; vp3 4,94км / с .

Задача № 40

Определить скорость запуска и периоды обращения искусственных спутников Земли, движущихся вокруг неѐ по круговым орбитам на рас-

стояниях половины и двух еѐ радиусов от поверхности.

Данные: r1 0,5R , r2 2R .

Найти: v1, v2 ,T1,T2 - ?

Решение: воспользуемся формулой для первой космической скоро-

сти с учѐтом радиуса орбиты спутника

vI	GM	.

	R

Скорость запуска тогда получим

Беря отношение этих формул, получим интересующее нас условие

7, 91

6, 46км / с

R 0, 5R

1, 5

7, 91 4, 5км / с

Теперь определим период обращения спутника движущегося по кру-

говой орбите

2 r

Таким образом, можно получить

1, 5R

2 3,14 1, 5 6, 378 103

9300, 43c 2ч35м

6, 46 103

2 3,14 3 6, 378 103

ч м

26293, 55c

7 18

4, 5 103

Ответ: v

6, 46км / с ; v

4,5км / с ; T

2ч35м ; T

7ч18м .

Задача № 41

Как изменятся периоды и скорость обращения спутников предыду-

щих задач, если масса центрального тела возрастѐт в n раз, его радиус – в

m раз и в частном случае при m=n?

Данные: m1			nM ; r1 mR ;
Найти: v1,T1			?
Решение: запишем формулы для первой космической, как обычно, и
видоизменѐнной:

vI	GM

	R	,
	R

v1	GnM

	mR
	mR

разделив второе выражение на первое, получим:

Теперь аналогично для периода обращения спутника:

Тогда, поделив, получим:

, при n

m ,

m .

Ответ:

и 1 ; m

и m .

Задача № 42

Найти скорость и периоды обращения искусственных спутников при одинаковой высоте в 200 и 1 000 км на поверхность Земли,

Луны, Марса и Юпитера. Массы этих небесных тел в той же последова-

тельности равны 1, 0,0123, 0,107 и 318, а радиусы – 6370, 1738, 3400 и 71400 км.

Данные:

M1	M ; M2	0, 0123M ; M3 0,107M ; M4 318 ; h1 200, h2 1000км ;
R1	6378; R2	1378; R3 3400; R4 71400км ;

Найти: v1,1, v1,2,v2,1, v2,2,v3,1, v3,2 , v4,1, v4,2 ;T1,1,T1,2,T2,1,T2,2,T3,1,T3,2 ,T4,1,T4,2 ?

Решение: запишем формулы для расчѐта скоростей и периодов для спутников планет:

v		GM

		R	h

T	2		R h .
			v

Для спутника обращающегося вокруг Земли:

v1,1		6, 67 10 11				6 1024			7, 79км / с
	6378				200		103

v1,2			6, 67 10 11			6 1024			7, 36км / с
	6378				1000		103					.
T	2 3,14			6378			200	103		5302, 93с	1ч , 47	1ч28м , 3
				7, 79 103
1,1
T	2 3,14				6378		1000	103		6295, 95с	1ч , 75	1ч45м
					7, 36 103
1,2

Для спутника обращающегося вокруг Луны:


v2,1			6, 67 10 11		0, 0123 6 1024			1, 59км / с
v2,1	1738				200	103		1, 59км / с

v2,2				6, 67 10 11	0, 0123 6 1024			1, 34км / с
v2,2	1738				1000	103		1, 34км / с	.
T	2 3,14 1738				200	103	7654, 5с 2ч ,13 2ч07м
T	1, 59 103						7654, 5с 2ч ,13 2ч07м
2,1	1, 59 103
T		2 3,14 1738			1000	103	12831,82с 3ч , 56		3ч34м
T	1, 34 103						12831,82с 3ч , 56		3ч34м
2,2	1, 34 103

Для спутника обращающегося вокруг Марса:

v3,1			6, 67 10 11		0,107		6 1024		3, 45км / с
v3,1	3400				200	103			3, 45км / с

v3,2				6, 67 10 11	0,107		6 1024		3,12км / с
v3,2	3400				1000	103			3,12км / с
								.
T	2 3,14 3400				200		103	6553с 1ч ,82 1ч50м
T	3, 45 103							6553с 1ч ,82 1ч50м
3,1	3, 45 103
T		2 3,14 3400			1000		103		8856, 4с 2ч , 46 2ч 28м
T	3,12 103								8856, 4с 2ч , 46 2ч 28м
3,2	3,12 103

Для спутника обращающегося вокруг Юпитера:


v4,1		6, 67 10 11			318 6 1024					42,1км / с
v4,1	71400				200		103			42,1км / с

v4,2			6, 67 10 11		318 6 1024					41, 9км / с
v4,2	71400				1000		103			41, 9км / с
T	2 3,14			71400		200		103		10680, 5с 2ч , 97 2ч58м
T				42,1 103						10680, 5с 2ч , 97 2ч58м
4,1				42,1 103
T	2 3,14			71400		1000			103	10851, 4, 4с 3ч , 01 3ч01м
T				41, 9 103						10851, 4, 4с 3ч , 01 3ч01м
4,2				41, 9 103

Ответ:

v	7, 79, v	7,36км / с;T	1ч 29	м , 3,T	1ч 45м ;
1,1	1,2	1,1		1,2
v	1, 59, v	1, 34км / с;T	2ч07м , 3,T		3ч34м ;
2,1	2,2	2,1		2,2
v	3, 45, v	3,12км / с;T	1ч50	м , 3,T	2ч28м ;
3,1	3,2	3,1		2,2
v	42,1, v	41, 9км / с;T	2ч58м , 3,T		3ч01м .
4,1	4,2	4,1		4,2

Задача № 43

На какой минимальной высоте и с какой скоростью должны быть выведены на эллиптические орбиты с эксцентриситетом 0,100 и 0,600 искусственные спутники, чтобы они обращались с периодами в 2ч и 8ч вокруг Меркурия и Венеры, массы которых, в сравнении с земной, соответственно

0,055 и 0,815, а радиусы – 2440 км и 6050 км?

Данные:

e	0,1; e	0, 6;T	2ч ;T	8ч ; M	1	0.055M ; M	2	0.815M ; R	2440; R 6050км .
1	2	1	2		1		2	1	2
	Найти: h, v		?

Решение: для нахождения искомых результатов вычислений необходимо найти большую полуось орбиты в каждом случае рис.2.6(з). Воспользуемся третьим законом Кеплера:

T 2 M		4			2	,
	a3			G		,
тогда,

a	3		GT 2 M				.
a	3						.
		4		2

Теперь для каждой из двух планет два варианта периода обращения с двумя эксцентриситетами.

Для движения относительно Меркурия:

6, 67 10 11	7, 2 103	2	0, 055 6 1024	3069930,1м 3069, 93км
a1,1	4 3,142			3069930,1м 3069, 93км
3

6, 67 10 11	28,8 103	2	0, 055 6 1024	7735739, 2м 7735, 74км
a1,2	4 3,142			7735739, 2м 7735, 74км
3

Теперь найдѐм перигелий орбиты Меркурия, учитывая два возмож-

ных эксцентриситета:

rП1	a1,1	1		e1		3069,93 1	0,1	2762,94км		.
										.
rП 2	a1,1	1		e2		7735, 73 1	0, 6	3094,92км
Вычисляем высоты:
h1,1	rП1		R1		2762, 94 2440 323км
h	r		R		3094, 92 2440 654км .
1,2	П 2	1
Найдѐм скорости движения, воспользовавшись интегралом энергии
v2	GM		2		1	,
v2	GM		rП		a	,
			rП		a
Тогда:

v	6, 67 10 11					0, 055 6 1024		2	1	10	6	2959,8м / с	2,96км / с
											6

1,1							2, 763		3, 069
							2, 763		3, 069				.
													.
v	6, 67 10 11					0, 055 6 1024		2	1	10	6	3373,38м / с	3,37км / с
											6

1,2							3, 094		7, 736
							3, 094		7, 736

Здесь приведен расчѐт для планеты Меркурий, но совершенно анало-

гично, подставляя численные значения для планеты Венеры, находим не-

обходимые результаты.

Ответ: h1,1	323км _ v1,1	2,96км / с ;	h1,2	654км _ v1,2	3, 37км / с ;
h2,1	724км _ v2,1	7, 26км / с ;	h2,2	1534км _ v2,2	8, 28км / с ;

Задача № 44

Найти массу Луны (в массах Земли) по движению еѐ искусственных спутников, обращавшихся над лунной поверхностью в пределах высоты: «Луна-19» (28 ноября 1971 г.) от 77 км до 385 км, с периодом в 2ч11м; «Лу-

на-20» (19 февраля 1972 г.) от 21 км до 100 км, с периодом в 1ч54м. В скоб-

ках указана дата выведения спутника на селеноцентрическую орбиту.

Диаметр Луны – 3476 км.

Данные:	h1,1 77 _ h1,2	385км; h2,1 21_ h2,2	100км .
T 2ч11м	7,86 103 с;T	1ч54м 6,84 103 с ; D	3476 км
1	2

Найти: M ?

Решение: воспользуемся третьим законом Кеплера и первым шагом найдѐм большую полуось орбиты рис.16(з)

a		h1				D		h2
a						2		,
						2
	T 2 M					4 2
	T 2 M					4 2
	a3					G
тогда:
a			h1,1				D	h1,2		77 3476			385		106		1,969 106 м
a															106		1,969 106 м
1							2					2						,
							2					2						,
соответственно, рассчитаем массу Луны:
M		4				2a3		4		3,14 2		1,969 106			3		7, 3 1022 кг	0, 0122M

					GT		2	6, 67 10			11		3		2
							2								2

												7.86 10						.
																		.
Аналогично, во втором случае:
a				h2,1			D		h2,2	21		3476	100			106	1,8 106 м ,
a																106	1,8 106 м ,
2							2					2
							2					2
M		4				2a3		4		3,14 2		1,8 106			3		7,37 1022 кг	0, 0123M

					GT		2	6, 67 10			11	6,84 10		3	2
							2								2



Ответ: M								0, 0122M ; M					0, 0123M .

Задача № 45

Спутник связи «Молния-3», выведенный 14.14.1975 на орбиту с вы-

сотой перигея 636 км над южным полушарием Земли, обращается вокруг планеты с периодом 12ч16м . Найти большую полуось и эксцентриситет ор-

биты спутника, его апогейную высоту, скорость в перигее и апогее и про-

должительность полѐта над противоположными полушариями Земли.

Данные: hП 636км;T 12ч16м .

Найти: a, e, hA , vП , vA ,t1,t2 ?

Решение: большую полуось найдѐм, зная период обращения спутни-

ка и массу Земли:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.20231.05 Mб20ceUX1GQi2.pdf
#
15.04.20232.65 Mб30rFIKm9Cqd.pdf
#
15.04.2023417.45 Кб11hWlnteKhp.pdf
#
15.04.20231.13 Mб22FR6Pr4400.pdf
#
15.04.20233.32 Mб62FwlpVopmE.pdf
#
15.04.2023955.27 Кб62vcTnguyvU.pdf
#
15.04.20231.84 Mб23DJKUg2Zsr.pdf
#
15.04.20231.11 Mб123VeB9x3bUa.pdf
#
15.04.20231.86 Mб149MoPwZx1g.pdf
#
15.04.20231.39 Mб24AtZAKAFwW.pdf